Studi di Funzioni Esponenziali

Svolgimento degli studi di funzione del testo Matematica.blu 2.0 Vol. 5

(Bergamini, Trifone, Barozzi)

Esercizi a partire da pag. 1886 p. 3

.................................................. p. 12

....................................................... p. 21

.................................................... p. 31

........................................... p. 40

............................................. p. 49

.................................................... p. 58

............................................. p. 67

....................................... p. 76

.................................... p. 84

.......................................... p. 93

............................................ p. 102

....................................... p. 111

..................................................... p. 119

.................................... p. 128

........................................... p. 137

............................................ p. 146

................................................ p. 155

.................................. p. 164

p. 173

p. 184

p. 193

p. 202

p. 211

p. 220 1

Studio della prima funzione

Studio della seguente funzione:

2

y x x

= ⅇ

Generalità sulla funzione

** **

Funzione né pari né dispari

Dominio

** **

Non ci sono condizioni da applicare per il calcolo del dominio

Creato da Roberto Caria per skuola.net

2 Dominio della funzione



oppure

 = x∈

∀

Grafico del dominio e dello studio del segno

3

2

1 0

0

-1

-2

-3 0 1 2

-2 -1

Intersezioni con gli assi cartesiani

** **

0 ; 0

( )

Creato da Roberto Caria per skuola.net 3

Limiti e asintoti

** **

Limiti 2

lim 0 y 0

x x asintoto orizzontale

ⅇ = ⇒ =

x→-∞ 2

lim x x

ⅇ = ∞

x→∞

Asintoti

y 0

=

Studio della continuità

** **

La funzione è continua in tutto il suo dominio

Creato da Roberto Caria per skuola.net

Derivata prima, punti stazionari e punti di non derivabilità

** **

y 2)

x

(1) x

(x)=ⅇ (x +

Studio del segno della derivata prima e ricerca dei punti stazionari

0

-∞ -2 ∞

x

ⅇ

x 2

+

x ↗ ︵ ↘ ︶ ↗

Punti stazionari determinati con lo studio del segno della derivata prima

4

;

-2 Massimo relativo

  →

2

ⅇ

0 ; 0 Minimo relativo

( ) →

Creato da Roberto Caria per skuola.net 5

Punti stazionari determinati col metodo delle derivate successive

4

;

-2 Massimo relativo

  →

2

ⅇ

0 ; 0 Minimo relativo

( ) →

Derivate successive utilizzate per calcolare i punti stazionari

f 2)

x

1

( ) x

(x) = ⅇ (x +

2 4 2

f x

2

( ) x

(x) = ⅇ x + +

Passaggi per determinare i punti stazionari

2

x y 0 y

(1) (2)

= -2 ( -2 ) = ( -2 ) = -

1 2

ⅇ

x 0 y 0 0 y 0 2

(1) (2)

= ( ) = ( ) =

2

La funzione non ha punti di non derivabilità

Creato da Roberto Caria per skuola.net

Derivata seconda e punti di flesso

** **

2

y 4 2

x

(2) x

(x)=ⅇ x + +

Studio del segno della derivata seconda e ricerca dei punti di flesso

-∞ ∞

2 2 2

-2 - -

x

ⅇ

2 4 2

+ +

x x ︶ ︵ ︶

⟷ ⟷

Punti di flesso 2

2 ; 4 2 -2-

 

-2 - 6 +  ⅇ

2

2 2 ; 4 2 -2

 

- 6 - ⅇ

Coefficienti angolari delle tangenti nei punti di flesso

2

m 2 2 -2-

= 1 +  ⅇ

1 2

m 2 1 -2

= -2  - ⅇ

2

Tangenti nei punti di flesso

2

t y 2 2 5 2 7

-2- x x

= ⅇ  + + +

)

1 2

t y 2 1 5 2 7

-2 x

= -2 ⅇ  - + -

)

2

Creato da Roberto Caria per skuola.net 7

Grafici della funzione

** **

Grafico panoramico 600

500

400

300

200

100 2 4

-4 -2

Creato da Roberto Caria per skuola.net

8 Grafico in dettaglio 1.5

1.0

0.5 1

-4 -3 -2 -1 -0.5

-1.0

Creato da Roberto Caria per skuola.net 9

Grafico in dettaglio con proporzioni 1:1 1.5

1.0

0.5 1

-4 -3 -2 -1 -0.5

-1.0

Tempo di elaborazione: 2.1417967 s

Creato da Roberto Caria per skuola.net 1

Studio della seconda funzione

Studio della seguente funzione:

x

ⅇ

y = 3

x

Generalità sulla funzione

** **

Funzione né pari né dispari

Dominio

** **

Condizioni per determinare il dominio

0

x ≠

Creato da Roberto Caria per skuola.net

2 Dominio della funzione

]-∞;0[ ⋃ ]0;∞[

oppure

 = -{0}

Grafico del dominio e dello studio del segno

3

2

1 0

0

-1

-2

-3 0 1 2

-2 -1

Non ci sono intersezioni con gli assi cartesiani

Creato da Roberto Caria per skuola.net 3

Limiti e asintoti

** **

Limiti

x

lim 0 y 0

ⅇ asintoto orizzontale

= ⇒ =

3

x

x→-∞ x x 0

lim ⅇ asintoto verticale

= -∞ ⇒ =

3

x

x→0 - x x 0

lim ⅇ asintoto verticale

= ∞ ⇒ =

3

x

x→0 + x

lim ⅇ = ∞

3

x

x→∞

Asintoti

y 0

=

x 0

=

Studio della continuità

** **

Punti di discontinuità x

x lim ⅇ

Discontinuità di II specie

=0 = -∞

1 3

x

x→0 - x

lim ⅇ = ∞

3

x

x→0 +

f( 0 ) = ∄

Creato da Roberto Caria per skuola.net

Derivata prima, punti stazionari e punti di non derivabilità

** **

3)

x

ⅇ (x -

y (1) (x)= 4

x

Studio del segno della derivata prima e ricerca dei punti stazionari

0 3

-∞ ∞

⨯

x

ⅇ 3

-

x ⨯

4

x ↘ ↘ ︶ ↗

Punti stazionari determinati con lo studio del segno della derivata prima

3

3 ; ⅇ Minimo relativo

  →

27

Creato da Roberto Caria per skuola.net 5

Punti stazionari determinati col metodo delle derivate successive

3

3 ; ⅇ Minimo relativo

  →

27

Derivate successive utilizzate per calcolare i punti stazionari

x

f ⅇ (x-3)

1

( ) (x) = 4

x 2

x x+12

ⅇ x -6

f 2

( ) (x) = 5

x

Passaggi per determinare i punti stazionari

3

x 3 y 3 0 y 3 ⅇ

(1) (2)

= ( ) = ( ) =

1 81

La funzione non ha punti di non derivabilità

Creato da Roberto Caria per skuola.net

Derivata seconda e punti di flesso

** **

2 6 12

x x

ⅇ x - +

y (2) (x)= 5

x

Studio del segno della derivata seconda e ricerca dei punti di flesso

0

-∞ ∞

⨯

x

ⅇ ⨯

5

x ⨯

2 6 12

- +

x x ︵ ︶

Lo studio del segno della derivata seconda non restituisce punti di flesso

**********

Se lo studio del segno della derivata seconda è stato restituito in forma semplificata

è possibile che il tempo concesso per i calcoli non sia stato sufficiente

per determinare i punti di flesso

**********

Creato da Roberto Caria per skuola.net 7

Grafici della funzione

** **

Grafico panoramico 3

2

1 2 4

-4 -2 -1

-2

Creato da Roberto Caria per skuola.net

8 Grafico in dettaglio

1.5

1.0

0.5 1 2 3 4

-1 -0.5

-1.0

Creato da Roberto Caria per skuola.net 9

Grafico in dettaglio con proporzioni 1:1

1.5

1.0

0.5 1 2 3 4

-1 -0.5

-1.0

Tempo di elaborazione: 1.7381333 s

Creato da Roberto Caria per skuola.net 1

Studio della terza funzione

Studio della seguente funzione:

-x

ⅇ

y = x

Generalità sulla funzione

** **

Funzione né pari né dispari

Dominio

** **

Condizioni per determinare il dominio

0

x ≠

Creato da Roberto Caria per skuola.net

2 Dominio della funzione

]-∞;0[ ⋃ ]0;∞[

oppure

 = -{0}

Grafico del dominio e dello studio del segno

3

2

1 0

0

-1

-2

-3 0 1 2

-2 -1

Non ci sono intersezioni con gli assi cartesiani

Creato da Roberto Caria per skuola.net 3

Limiti e asintoti

** **

Limiti

-x

lim ⅇ = -∞

x

x→-∞ -x x 0

lim ⅇ asintoto verticale

= -∞ ⇒ =

x

x→0 - -x x 0

lim ⅇ asintoto verticale

= ∞ ⇒ =

x

x→0 + -x 0 y 0

lim ⅇ asintoto orizzontale

= ⇒ =

x

x→∞

Asintoti

x 0

=

y 0

=

Studio della continuità

** **

Punti di discontinuità -x

x lim ⅇ

Discontinuità di II specie

=0 = -∞

1 x

x→0 - -x

lim ⅇ = ∞

x

x→0 +

f( 0 ) = ∄

Creato da Roberto Caria per skuola.net

Derivata prima, punti stazionari e punti di non derivabilità

** **

1)

-x

ⅇ (x +

y (1) (x)=- 2

x

Studio del segno della derivata prima e ricerca dei punti stazionari

0

-∞ -1 ∞

-1 ⨯

-x

ⅇ ⨯

2

x ⨯

1

+

x ↗ ︵ ↘ ↘

Punti stazionari determinati con lo studio del segno della derivata prima

; Massimo relativo

( -1 -ⅇ ) →

Creato da Roberto Caria per skuola.net 5

Punti stazionari determinati col metodo delle derivate successive

; Massimo relativo

( -1 -ⅇ ) →

Derivate successive utilizzate per calcolare i punti stazionari

-x

f ⅇ (x+1)

1

( ) (x) = - 2

x

2

-x x+2

ⅇ x +2

f 2

( ) (x) = 3

x

Passaggi per determinare i punti stazionari

x y 0 y

(1) (2)

= -1 ( -1 ) = ( -1 ) = -ⅇ

1

La funzione non ha punti di non derivabilità

Creato da Roberto Caria per skuola.net

Derivata seconda e punti di flesso

** **

2 2 2

-x x

ⅇ x + +

y (2) (x)= 3

x

Studio del segno della derivata seconda e ricerca dei punti di flesso

0

-∞ ∞

⨯

-x

ⅇ ⨯

3

x ⨯

2 2 2

+ +

x x ︵ ︶

Lo studio del segno della derivata seconda non restituisce punti di flesso

**********

Se lo studio del segno della derivata seconda è stato restituito in forma semplificata

è possibile che il tempo concesso per i calcoli non sia stato sufficiente

per determinare i punti di flesso

**********

Creato da Roberto Caria per skuola.net 7

Grafici della funzione

** **

Grafico panoramico 15

10

5 2 4

-4 -2 -5

-10

-15

-20

Creato da Roberto Caria per skuola.net

8 Grafico in dettaglio 1 0.5 1.0

-2.0 -1.5 -1.0 -0.5 -1

-2

-3

Creato da Roberto Caria per skuola.net 9

Grafico in dettaglio con proporzioni 1:1 1 0.5 1.0

-2.0 -1.5 -1.0 -0.5 -1

-2

-3

Creato da Roberto Caria per skuola.net

10

Tempo di elaborazione: 1.7262588 s

Creato da Roberto Caria per skuola.net 1

Studio della quarta funzione

Studio della seguente funzione

** **

2

y x x

= ⅇ + ⅇ

La funzione si semplifica nel seguente modo:

y 1)

x x

= ⅇ (ⅇ +

Studio della seguente funzione: 2

y x x

= ⅇ + ⅇ

Generalità sulla funzione

** **

Funzione né pari né dispari

Dominio

** **

Non ci sono condizioni da applicare per il calcolo del dominio

Creato da Roberto Caria per skuola.net

2 Dominio della funzione



oppure

 = x∈

∀

Grafico del dominio e dello studio del segno

3

2

1 8

-8

0

-1

-2

-3 0 5 10

-10 -5

Intersezioni con gli assi cartesiani

** **

0 ; 2

( )

Creato da Roberto Caria per skuola.net 3

Limiti e asintoti

** **

Limiti 2

lim 0 y 0

x x asintoto orizzontale

ⅇ + ⅇ = ⇒ =

x→-∞ 2

lim x x

ⅇ + ⅇ = ∞

x→∞

Asintoti

y 0

=

Studio della continuità

** **

La funzione è continua in tutto il suo dominio

Creato da Roberto Caria per skuola.net

Derivata prima, punti stazionari e punti di non derivabilità

** **

y 1)

x x

(1) (x)=ⅇ (2 ⅇ +

Studio del segno della derivata prima e ricerca dei punti stazionari

-∞ ∞

x

ⅇ

2 1

x

ⅇ + ↗

Lo studio del segno della derivata prima non restituisce punti stazionari

**********

Se lo studio del segno è stato restituito in forma semplificata

è possibile che il tempo concesso per i calcoli non sia stato sufficiente

per determinare i punti stazionari

**********

Creato da Roberto Caria per skuola.net 5

Il metodo delle derivate successive non restituisce punti stazionari

La funzione non ha punti di non derivabilità

Creato da Roberto Caria per skuola.net

Derivata seconda e punti di flesso

** **

y 1)

x x

(2) (x)=ⅇ (4 ⅇ +

Studio del segno della derivata seconda e ricerca dei punti di flesso

-∞ ∞

x

ⅇ

4 1

x

ⅇ + ︶

Lo studio del segno della derivata seconda non restituisce punti di flesso

**********

Se lo studio del segno della derivata seconda è stato restituito in forma semplificata

è possibile che il tempo concesso per i calcoli non sia stato sufficiente

per determinare i punti di flesso

**********

Creato da Roberto Caria per skuola.net 7

Grafici della funzione

** **

Grafico panoramico 1500

1000

500 2 4

-4 -2

Creato da Roberto Caria per skuola.net

8 Grafico in dettaglio 3

2

1 2 4 6

-6 -4 -2 -1

Creato da Roberto Caria per skuola.net 9

Grafico in dettaglio con proporzioni 1:1 3

2

1 2 4 6

-6 -4 -2 -1

Tempo di elaborazione: 1.3052415 s

Creato da Roberto Caria per skuola.net 1

Studio della quinta funzione

Studio della seguente funzione: 2

y x

-2 x

= ⅇ

Generalità sulla funzione

** **

Funzione né pari né dispari

Dominio

** **

Non ci sono condizioni da applicare per il calcolo del dominio

Creato da Roberto Caria per skuola.net

2 Dominio della funzione



oppure

 = x∈

∀

Grafico del dominio e dello studio del segno

3

2

1 0

0

-1

-2

-3 0 1 2

-2 -1

Intersezioni con gli assi cartesiani

** **

0 ; 0

( )

Creato da Roberto Caria per skuola.net 3

Limiti e asintoti

** **

Limiti 2

lim x

-2 x

ⅇ = ∞

x→-∞ 2 0 y 0

lim x

-2 x asintoto orizzontale

ⅇ = ⇒ =

x→∞

Asintoti

y 0

=

Studio della continuità

** **

La funzione è continua in tutto il suo dominio

Creato da Roberto Caria per skuola.net

Derivata prima, punti stazionari e punti di non derivabilità

** **

y 1)

x

(1) -2 x

(x)=-2 ⅇ (x -

Studio del segno della derivata prima e ricerca dei punti stazionari

0 1

-∞ ∞

-2

-2 x

ⅇ 1

-

x

x ↘ ︶ ↗ ︵ ↘

Punti stazionari determinati con lo studio del segno della derivata prima

0 ; 0 Minimo relativo

( ) →

1

1 ; Massimo relativo

  →

2

ⅇ

Creato da Roberto Caria per skuola.net 5

Punti stazionari determinati col metodo delle derivate successive

0 ; 0 Minimo relativo

( ) →

1

1 ; Massimo relativo

  →

2

ⅇ

Derivate successive utilizzate per calcolare i punti stazionari

f 1)

x

-2

1

( ) x

(x) = -2 ⅇ (x -

2 8 2

f x

-2

2

( ) x x

(x) = ⅇ 4 - +

Passaggi per determinare i punti stazionari

x 0 y 0 0 y 0 2

(1) (2)

= ( ) = ( ) =

1 2

x 1 y 1 0 y 1

(1) (2)

= ( ) = ( ) = -

2 2

ⅇ

La funzione non ha punti di non derivabilità

Creato da Roberto Caria per skuola.net

Derivata seconda e punti di flesso

** **

2

y 4 1

x

(2) -2 x x

(x)=2 ⅇ 2 - +

Studio del segno della derivata seconda e ricerca dei punti di flesso

1 1

1 1

- +

-∞ ∞

2 2

2 -2 x

ⅇ 2

2 4 1

- +

x x ︶ ︵ ︶

⟷ ⟷

Punti di flesso

1 1 2

1 ; 4 2 -2

- 6 - ⅇ

 

4

2

1 32 2

; 2

1 -2-

 +  ⅇ

+ 

 2

Coefficienti angolari delle tangenti nei punti di flesso

2

2 -2-

2+  ⅇ

m = -

1 2 2

2 -2

 -2 ⅇ

m = -

2 2

Tangenti nei punti di flesso

1 2

t y 2 1 5 2 7

-2 x

= ⅇ 2  - - +

)

1 2

1 2

t y 2 5 2 7

-2- x

= ⅇ -2 1 +  + +

)

2 2

Creato da Roberto Caria per skuola.net 7

Grafici della funzione

** **

Grafico panoramico 15 000

10 000

5000 2 4

-4 -2

Creato da Roberto Caria per skuola.net

8 Grafico in dettaglio 1.0

0.5 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5

-1.0 -0.5 -0.5

-1.0

Creato da Roberto Caria per skuola.net 9

Grafico in dettaglio con proporzioni 1:1

1.0

0.5 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5

-1.0 -0.5 -0.5

-1.0

Tempo di elaborazione: 1.8824829 s

Creato da Roberto Caria per skuola.net 1

Studio della sesta funzione

Studio della seguente funzione:

2

y -x

= ⅇ

Generalità sulla funzione

** **

Funzione pari

Dominio

** **

Non ci sono condizioni da applicare per il calcolo del dominio

Creato da Roberto Caria per skuola.net

2 Dominio della funzione



oppure

 = x∈

∀

Grafico del dominio e dello studio del segno

3

2

1 8

-8

0

-1

-2

-3 0 5 10

-10 -5

Intersezioni con gli assi cartesiani

** **

0 ; 1

( )

Creato da Roberto Caria per skuola.net 3