Studi di Funzioni Logaritmiche

Svolgimento degli studi di funzione del testo Matematica.blu 2.0 Vol. 5

(Bergamini, Trifone, Barozzi)

Esercizi a partire da pag. 1896 p. 3

.......................................... p. 12

............................................... p. 21

...................................... p. 31

..................................... p. 39

............................................... p. 48

...................................... p. 57

..................................... p. 65

..... p. 74

............................................... p. 83

................ p. 92

...................................... p. 101

...................... p. 1110

................................. p. 119

.......................... p. 128

.................................. p. 137

...................................... p. 146

...................................... p. 155

.................................. p. 164

................................... p. 173

.......................................... p. 182

.................................... p. 191

............................ p. 200

...................................... p. 209

...................................... p. 218

Studio della seguente funzione

2

y log(x)

x

=

Generalità sulla funzione

** **

Funzione né pari né dispari

Dominio

** **

Condizioni per determinare il dominio

0

x >

Creato da Roberto Caria per skuola.net

2 Dominio della funzione

]0;∞[

 =

Grafico del dominio e dello studio del segno

3

2

1 0 1

0

-1

-2

-3 0 1 2 3

-2 -1

Intersezioni con gli assi cartesiani

** **

1 ; 0

( )

Creato da Roberto Caria per skuola.net 3

Limiti e asintoti

** **

Limiti

2

lim log(x) 0

x =

x→0 + 2 log(x)

lim x = ∞

x→∞

La funzione non ammette asintoti

Studio della continuità

** **

Punti di discontinuità 2

x lim log(x)

Discontinuità di III specie x funzione non definita a sinistra di 0

=0 =

1 x→0 - 2 log(x) 0

lim x =

x→0 +

f( 0 ) = ∄

Creato da Roberto Caria per skuola.net

Derivata prima, punti stazionari e punti di non derivabilità

4 Derivata prima, punti stazionari e punti di non derivabilità

** **

y log(x) 1)

(1) (x)=x (2 +

Studio del segno della derivata prima e ricerca dei punti stazionari

1

0

-∞ ∞

ⅇ

⨯

x

2 log(x) 1

+ ↘ ︶ ↗

Punti stazionari determinati con lo studio del segno della derivata prima

1 1

; - Minimo relativo

  →

2 ⅇ

ⅇ

Creato da Roberto Caria per skuola.net 5

Punti stazionari determinati col metodo delle derivate successive

1 1

; - Minimo relativo

  →

2 ⅇ

ⅇ

Derivate successive utilizzate per calcolare i punti stazionari

f 2 log(x)

1

( ) x x

(x) = +

f 2 log(x) 3

2

( ) (x) = +

Passaggi per determinare i punti stazionari

1 1

1

x y 0 y 2

(1) (2)

=   =   =

1 ⅇ ⅇ

ⅇ

La funzione non ha punti di non derivabilità

Creato da Roberto Caria per skuola.net

Derivata seconda e punti di flesso

6 Derivata seconda e punti di flesso

** **

y log(x) 3

(2) (x)=2 +

Studio del segno della derivata seconda e ricerca dei punti di flesso

1

0

-∞ ∞

3/2

ⅇ

2 log(x) 3

+ ︵ ︶

⟷

Punti di flesso

1 3

;

 

3/2 3

2

ⅇ ⅇ

Coefficienti angolari delle tangenti nei punti di flesso

2

m = -

1 3/2

ⅇ

Tangenti nei punti di flesso

3/2

1-4

t y x

ⅇ

=

)

1 3

2 ⅇ

Creato da Roberto Caria per skuola.net 7

Grafici della funzione

** **

Grafico panoramico 40

30

20

10 2 4

-4 -2

Creato da Roberto Caria per skuola.net

8 Grafico in dettaglio 1.0

0.5 0.5 1.0 1.5 2.0

-1.0 -0.5 -0.5

-1.0

Creato da Roberto Caria per skuola.net 9

Grafico in dettaglio con proporzioni 1:1

1.0

0.5 0.5 1.0 1.5 2.0

-1.0 -0.5 -0.5

-1.0

Tempo di elaborazione: 2.6338857 s

Creato da Roberto Caria per skuola.net 1

Studio della seguente funzione

x

y = log(x)

Generalità sulla funzione

** **

Funzione né pari né dispari

Dominio

** **

Condizioni per determinare il dominio

0

x >

log(x) 0

≠

Creato da Roberto Caria per skuola.net

2 Dominio della funzione

]0;1[ ⋃ ]1;∞[

oppure

 = ]0;∞[-{1}

Grafico del dominio e dello studio del segno

3

2

1 0 1

0

-1

-2

-3 0 1 2 3

-2 -1

Non ci sono intersezioni con gli assi cartesiani

Creato da Roberto Caria per skuola.net 3

Limiti e asintoti

** **

Limiti

lim 0

x =

log(x)

x→0 + x 1

lim x asintoto verticale

= -∞ ⇒ =

log(x)

x→1 - x 1

lim x asintoto verticale

= ∞ ⇒ =

log(x)

x→1 +

lim x = ∞

log(x)

x→∞

Asintoti

x 1

=

Studio della continuità

** **

Punti di discontinuità

x lim x

Discontinuità di II specie

=1 = -∞

1 log(x)

x→1 -

lim x = ∞

log(x)

x→1 +

f( 1 ) = ∄

Creato da Roberto Caria per skuola.net

Derivata prima, punti stazionari e punti di non derivabilità

4 Derivata prima, punti stazionari e punti di non derivabilità

** **

log(x) 1

-

y (1) (x)= 2

log (x)

Studio del segno della derivata prima e ricerca dei punti stazionari

0 1

-∞ ⅇ ∞

log(x) 1

- ⨯ ⨯

2

log (x) ↘ ↘ ︶ ↗

Punti stazionari determinati con lo studio del segno della derivata prima

; Minimo relativo

( ⅇ ⅇ ) →

Creato da Roberto Caria per skuola.net 5

Punti stazionari determinati col metodo delle derivate successive

; Minimo relativo

( ⅇ ⅇ ) →

Derivate successive utilizzate per calcolare i punti stazionari

log(x)-1

f 1

( ) (x) = 2

log (x)

2-log(x)

f 2

( ) (x) = 3

log

x (x)

Passaggi per determinare i punti stazionari 1

x y 0 y

(1) (2)

= ⅇ ( ⅇ ) = ( ⅇ ) =

1 ⅇ

La funzione non ha punti di non derivabilità

Creato da Roberto Caria per skuola.net

Derivata seconda e punti di flesso

6 Derivata seconda e punti di flesso

** **

log(x) 2

-

y (2) (x)=- 3

log

x (x)

Studio del segno della derivata seconda e ricerca dei punti di flesso 2

0 1

-∞ ∞

ⅇ

-1 ⨯ ⨯

x

log(x) 2

- ⨯

3

log (x) ︵ ︶ ︵

⟷

Punti di flesso

2

2 ; ⅇ

 

ⅇ 2

Coefficienti angolari delle tangenti nei punti di flesso

1

m =

1 4

Tangenti nei punti di flesso

1 2

t y = x + ⅇ 

)

1 4

Creato da Roberto Caria per skuola.net 7

Grafici della funzione

** **

Grafico panoramico 8

6

4

2 2 4

-4 -2 -2

-4

Creato da Roberto Caria per skuola.net

8 Grafico in dettaglio

5

4

3

2 2 4 6 8

1

0

-1

Creato da Roberto Caria per skuola.net 9

Grafico in dettaglio con proporzioni 1:1

5

4

3

2 2 4 6 8

1

0

-1

Tempo di elaborazione: 3.5445604 s

Creato da Roberto Caria per skuola.net 1

Studio della seguente funzione

2

y logx 1

= -

Generalità sulla funzione

** **

Funzione pari

Dominio

** **

Condizioni per determinare il dominio

2 1 0

x - >

Creato da Roberto Caria per skuola.net

2 Dominio della funzione

]-∞;-1[ ⋃ ]1;∞[

 =

Grafico del dominio e dello studio del segno

3

2

1 1 2

2 -1

-

0

-1

-2

-3 0 1 2 3

-3 -2 -1

Intersezioni con gli assi cartesiani

** **

2 ; 0 2 ; 0

   

-

Creato da Roberto Caria per skuola.net 3

Limiti e asintoti

** **

Limiti 2

lim logx 1

- = ∞

x→-∞ 2

logx 1 x

lim asintoto verticale

- = -∞ ⇒ = -1

x→-1 - 2

logx 1 x 1

lim asintoto verticale

- = -∞ ⇒ =

x→1 + 2

logx 1

lim - = ∞

x→∞

Asintoti

x = -1

x 1

=

Studio della continuità

** **

Punti di discontinuità 2

x lim logx 1

Discontinuità di II specie

=-1 - = -∞

1 x→-1 - 2

lim logx 1 -1

funzione non definita a destra di

- =

x→-1 +

f( -1 ) = ∄

2

x lim logx 1

Discontinuità di II specie funzione non definita a sinistra di 1

=1 - =

2 x→1 - 2

lim logx 1

- = -∞

x→1 +

f( 1 ) = ∄

Creato da Roberto Caria per skuola.net

Derivata prima, punti stazionari e punti di non derivabilità

4 Derivata prima, punti stazionari e punti di non derivabilità

** **

2 x

y (1) (x)= 1) 1)

(x - (x +

Studio del segno della derivata prima e ricerca dei punti stazionari

0 1

-∞ -1 ∞

⨯ ⨯

2 ⨯

1

-

x ⨯

x ⨯ ⨯

1

+

x ↘ ↗

Lo studio del segno della derivata prima non restituisce punti stazionari

**********

Se lo studio del segno è stato restituito in forma semplificata

è possibile che il tempo concesso per i calcoli non sia stato sufficiente

per determinare i punti stazionari

**********

Creato da Roberto Caria per skuola.net 5

Il metodo delle derivate successive non restituisce punti stazionari

La funzione non ha punti di non derivabilità

Creato da Roberto Caria per skuola.net

Derivata seconda e punti di flesso

6 Derivata seconda e punti di flesso

** **

2

2 1

x +

y (2) (x)=- 2 2

1)

1) (x +

(x -

Studio del segno della derivata seconda e ricerca dei punti di flesso

1

-∞ -1 ∞

-2 ⨯ ⨯

2

1)

(x - ⨯ ⨯

2

1)

(x + ⨯ ⨯

2 1

+

x ︵ ︵

Lo studio del segno della derivata seconda non restituisce punti di flesso

**********

Se lo studio del segno della derivata seconda è stato restituito in forma semplificata

è possibile che il tempo concesso per i calcoli non sia stato sufficiente

per determinare i punti di flesso

**********

Creato da Roberto Caria per skuola.net 7

Grafici della funzione

** **

Grafico panoramico 3

2

1 2 4

-4 -2 -1

-2

Creato da Roberto Caria per skuola.net

8 Grafico in dettaglio 6

4

2 1 2

-2 -1 -2

-4

-6

Creato da Roberto Caria per skuola.net 9

Grafico in dettaglio con proporzioni 1:1 6

4

2 1 2

-2 -1

Creato da Roberto Caria per skuola.net

10 -2

-4

-6

Tempo di elaborazione: 2.2787465 s

Creato da Roberto Caria per skuola.net 1

Studio della seguente funzione

x

y log

= 

2

x +

Generalità sulla funzione

** **

Funzione né pari né dispari

Dominio

** **

Condizioni per determinare il dominio

0

x >

x+2 2 0

x + ≠

Creato da Roberto Caria per skuola.net

2 Dominio della funzione

]-∞;-2[ ⋃ ]0;∞[

 =

Grafico del dominio e dello studio del segno

3

2

1 0

-2

0

-1

-2

-3 0 1 2

-4 -3 -2 -1

Non ci sono intersezioni con gli assi cartesiani

Creato da Roberto Caria per skuola.net 3

Limiti e asintoti

** **

Limiti

lim log 0 y 0

x asintoto orizzontale

 = ⇒ =

x+2

x→-∞ log x

lim x asintoto verticale

 = ∞ ⇒ = -2

x+2

x→-2 -

log x 0

lim x asintoto verticale

 = -∞ ⇒ =

x+2

x→0 + log 0 y 0

lim x asintoto orizzontale

 = ⇒ =

x+2

x→∞

Asintoti

y 0

=

x = -2

x 0

=

Studio della continuità

** **

Punti di discontinuità

x lim log x

Discontinuità di II specie

=-2  = ∞

1 x+2

x→-2 -

lim log x -2

funzione non definita a destra di

 =

x+2

x→-2 +

f( -2 ) = ∄

x lim log x

Discontinuità di II specie funzione non definita a sinistra di 0

=0  =

2 x+2

x→0 -

lim log x  = -∞

x+2

x→0 +

f( 0 ) = ∄

Creato da Roberto Caria per skuola.net

Derivata prima, punti stazionari e punti di non derivabilità

4 Derivata prima, punti stazionari e punti di non derivabilità

** **

2

y (1) (x)= 2)

x (x +

Studio del segno della derivata prima e ricerca dei punti stazionari

0

-∞ -2 ∞

⨯ ⨯

2 ⨯

x ⨯ ⨯

2

+

x ↗ ↗

Lo studio del segno della derivata prima non restituisce punti stazionari

**********

Se lo studio del segno è stato restituito in forma semplificata

è possibile che il tempo concesso per i calcoli non sia stato sufficiente

per determinare i punti stazionari

**********

Creato da Roberto Caria per skuola.net 5

Il metodo delle derivate successive non restituisce punti stazionari

La funzione non ha punti di non derivabilità

Creato da Roberto Caria per skuola.net

Derivata seconda e punti di flesso

6 Derivata seconda e punti di flesso

** **

4 1)

(x +

y (2) (x)=- 2

2 2)

x (x +

Studio del segno della derivata seconda e ricerca dei punti di flesso 0

-∞ -2 -1 ∞

-4 ⨯ ⨯

2

x ⨯

1

+

x ⨯ ⨯

2

2)

(x + ︶ ︵

Lo studio del segno della derivata seconda non restituisce punti di flesso

**********

Se lo studio del segno della derivata seconda è stato restituito in forma semplificata

è possibile che il tempo concesso per i calcoli non sia stato sufficiente

per determinare i punti di flesso

**********

Creato da Roberto Caria per skuola.net 7

Grafici della funzione

** **

Grafico panoramico 3

2

1 2 4

-4 -2 -1

-2

-3

Creato da Roberto Caria per skuola.net

8 Grafico in dettaglio 6

4

2 1

-3 -2 -1 -2

-4

-6

Tempo di elaborazione: 2.0358509 s

Creato da Roberto Caria per skuola.net 1

Studio della seguente funzione

1

y = log(x)

Generalità sulla funzione

** **

Funzione né pari né dispari

Dominio

** **

Condizioni per determinare il dominio

0

x >

log(x) 0

≠

Creato da Roberto Caria per skuola.net

2 Dominio della funzione

]0;1[ ⋃ ]1;∞[

oppure

 = ]0;∞[-{1}

Grafico del dominio e dello studio del segno

3

2

1 0 1

0

-1

-2

-3 0 1 2 3

-2 -1

Non ci sono intersezioni con gli assi cartesiani

Creato da Roberto Caria per skuola.net 3

Limiti e asintoti

** **

Limiti

1

lim 0

=

log(x)

x→0 + 1 x 1

lim asintoto verticale

= -∞ ⇒ =

log(x)

x→1 - 1 x 1

lim asintoto verticale

= ∞ ⇒ =

log(x)

x→1 + 1 0 y 0

lim asintoto orizzontale

= ⇒ =

log(x)

x→∞

Asintoti

x 1

=

y 0

=

Studio della continuità

** **

Punti di discontinuità 1

x lim

Discontinuità di II specie

=1 = -∞

1 log(x)

x→1 - 1

lim = ∞

log(x)

x→1 +

f( 1 ) = ∄

Creato da Roberto Caria per skuola.net

Derivata prima, punti stazionari e punti di non derivabilità

4 Derivata prima, punti stazionari e punti di non derivabilità

** **

1

y (1) (x)=- 2

log

x (x)

Studio del segno della derivata prima e ricerca dei punti stazionari

0 1

-∞ ∞

-1 ⨯ ⨯

x ⨯ ⨯

2

log (x) ↘ ↘

Lo studio del segno della derivata prima non restituisce punti stazionari

**********

Se lo studio del segno è stato restituito in forma semplificata

è possibile che il tempo concesso per i calcoli non sia stato sufficiente

per determinare i punti stazionari

**********

Creato da Roberto Caria per skuola.net 5

Il metodo delle derivate successive non restituisce punti stazionari

La funzione non ha punti di non derivabilità

Creato da Roberto Caria per skuola.net

Derivata seconda e punti di flesso

6 Derivata seconda e punti di flesso

** **

log(x) 2

+

y (2) (x)= 3

2 log

x (x)

Studio del segno della derivata seconda e ricerca dei punti di flesso

1

0 1

-∞ ∞

2

ⅇ

⨯ ⨯

2

x ⨯

3

log (x) ⨯

log(x) 2

+ ︶ ︵ ︶

⟷

Punti di flesso

1 12

;

 

2

ⅇ

Coefficienti angolari delle tangenti nei punti di flesso

2

m ⅇ

= -

1 4

Tangenti nei punti di flesso

1 2

t y 1

x

= -ⅇ -

)

1 4

Creato da Roberto Caria per skuola.net 7

Grafici della funzione

** **

Grafico panoramico 4

2 2 4

-4 -2 -2

Creato da Roberto Caria per skuola.net

8 Grafico in dettaglio 1.0

0.5 0.5 1.0 1.5 2.0

-1.0 -0.5 -0.5

-1.0

-1.5

Creato da Roberto Caria per skuola.net 9

Grafico in dettaglio con proporzioni 1:1

1.0

0.5 0.5 1.0 1.5 2.0

-1.0 -0.5 -0.5

-1.0

-1.5

Tempo di elaborazione: 3.2694787 s

Creato da Roberto Caria per skuola.net 1

Studio della seguente funzione

** **

1 log(x)

-

y = log(x)

La funzione si semplifica nel seguente modo:

1

y 1

= -

log(x)

Studio della seguente funzione

1 log(x)

-

y = log(x)

Generalità sulla funzione

** **

Funzione né pari né dispari

Dominio

** **

Condizioni per determinare il dominio

0

x >

log(x) 0

≠

Creato da Roberto Caria per skuola.net

2 Dominio della funzione

]0;1[ ⋃ ]1;∞[

oppure

 = ]0;∞[-{1}

Grafico del dominio e dello studio del segno

3

2

1 0 1 ⅇ

0

-1

-2

-3 0 1 2 3 4

-2 -1

Intersezioni con gli assi cartesiani

** **