Spirali triangolari e quadrate

Spirali triangolari e quadrate

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Bono Marco Spirali triangolari e quadrate

Spirali “triangolari” e “quadrate”

Spirali “triangolari”

Proviamo a costruire delle spirali triangolari: per iniziare partiamo da un solo punto, come nella

figura…

Aggiungiamo ora altri due punti …

Quindi tre punti sul lato destro in alto …

E procedendo allo stesso modo possiamo costruire una spirale “triangolare” ….

E così via; ovviamente, dalla costruzione, il numero di punti di ogni triangolo successivo è uguale al

numero di punti del triangolo precedente più la lunghezza del lato del triangolo precedente

aumentata di uno.

Ossia, il numero di punti del triangolo di lato n è dato da:

Σ i

i=1,n www.matematicamente.it

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Bono Marco Spirali triangolari e quadrate

Spirali “quadrate”

Proviamo a costruire ora delle spirali quadrate: per iniziare partiamo da un solo punto, come nella

figura…

Costruiamo un quadrato con la seguente regola: spostiamo il punto in basso e aggiungiamo due

punti a lato, così ….

Ora passiamo al quadrato successivo, applicando la stessa regola … un po’ modificata, ossia

copiamo il lato del quadrato in alto ed aggiungiamone un altro, più lungo di un’unità a sinistra. Il

nuovo quadrato diventa …

Proseguendo con la regola indicata possiamo ottenere i quadrati successivi ..

Volendo esprimere la regola in formato matematico si ottiene la formula seguente:

Q = 1 + (1+2) + (2+3) + (3+4) + ….

Da questa formula risulta evidente che i numeri nelle parentesi sono i successivi numeri dispari e

quindi, per passare da un quadrato all’altro, occorre sommare un numero dispari.

Se raggruppiamo i numeri della formula precedente in modo diverso otteniamo: www.matematicamente.it

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Bono Marco Spirali triangolari e quadrate

Q = (1+1) + (2+2) + (3+3) + … + (n+n) + (n+1)

Ossia: Σ Σ

i i + (Σ i

+ (n+1) = + n+1)

Q = 2*

i=1,n i=1,n i=1,n

Σ Σ

i i + n+1

Ma è l’n-esimo numero triangolare, mentre è l’n+1-esimo numero

i=1,n i=1,n

triangolare, quindi un quadrato è esprimibile come somma di due numeri triangolari successivi.

D’altra parte è possibile dimostrare questa proprietà anche in modo grafico:

= www.matematicamente.it

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Bono Marco Spirali triangolari e quadrate

Piramidi di palle

Piramidi quadrate

Immaginiamo di disporre di un certo numero di palle di cannone e, per il nostro amore dell’ordine,

di volerle accatastare in modo da occupare meno spazio.