2003 - Liceo scientifico ordinamento prova suppletiva

Sessione suppletiva LS_ORD 2003 Soluzione di De Rosa Nicola

PROBLEMA 1

Del triangolo ABC si hanno le seguenti informazioni:

l = °

AB=3cm; AC=2cm; C AB 60 .

l

Si tracci la bisettrice di C AB e se ne indichi con D l'intersezione con il lato BC.

a) Si calcoli la lunghezza del lato BC e delle parti in cui esso risulta diviso dal punto D.

b) Si determinino il coseno dell'angolo in B, la misura di AD e, disponendo di un calcolatore, le

misure approssimate degli altri due angoli interni di vertici B e C.

c) Si trovi sul lato AD, internamente a esso, un punto P tale che la somma s dei quadrati delle sue

2

distanze dai vertici A, B e C sia m essendo m un parametro reale dato.

d) Si discuta tale ultima questione rispetto al parametro m.

Soluzione

Si consideri la figura sottostante che raffigura la geometria del problema:

1)

Il lato BC si può calcolare attraverso il teorema di Carnot, per cui:

( )

= + − ⋅ ⋅ =

ˆ

2 2

BC AC AB 2 AC AB cos C A

B

( ) 1

= + − ⋅ ° = + − ⋅ = − =

4 9 12 cos 60 4 9 12 13 6 7

2

Ora per il noto teorema della bisettrice di un angolo interno ad un triangolo, vale la seguente

= = −

= CD x , DB 7 x la proporzione si scrive:

. Ponendo

proporzione: AC : AB CD : DB

( ) 2 7 3 7

= − → = − → = = = − =

2 : 3 x : 7 x 3 x 2 7 2 x CD x , DB 7 x

5 5

2)

Per il teorema di Carnot vale la seguente equazione:

( ) + − + −

2 2 2 9 7 4 2 7

AB CB AC

= = =

ˆ

cos C B

A ⋅

2 7

AB CB 6 7

ed ancora per lo stesso teorema si ha: 1

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( )

= + − ⋅ ⋅ =

ˆ

2 2 2 cos

AD AB DB AB DB C B

A

63 3 7 2 7 63 36 108 6 3

= + − ⋅ ⋅ ⋅ = + − = =

9 2 3 9

25 5 7 25 5 25 5

Ora ( ) ⎛ ⎞

2 7 2 7

⎜ ⎟

= ⇒ = ≅ °

ˆ ˆ

cos C B

A C B

A arccos 40 53

'

36

' '

⎜ ⎟

7 7

⎝ ⎠

= ° − ° − ° ≅ °

ˆ

B

C A 180 60 40 53

'

36

' ' 79 06

'

24

'

3) 6 3

= ≤ ≤ .

Poniamo AP x ,

0 x 5

Applicando il teorema di Carnot due volte si ha:

( ) 3

= + − ⋅ ⋅ ° = + − ⋅ ⋅ ⋅ = − +

2 2 2 2 2

2 cos 30 4 2 2 2 3 4

PC AP AC AP AC x x x x

2

( ) 3

= + − ⋅ ⋅ ° = + − ⋅ ⋅ ⋅ = − +

2 2 2 2 2

2 cos 30 9 2 3

PB AP AB AP AB x x x 3 3 x 9

2

Si ha allora: = + + = − + =

2 2 2 2 2

s AP PC PB 3 x 5 3 x 13 m

e cioè si deve discutere il seguente sistema: ⎧

⎪ = − +

2

⎧ − + = y x x

3 5 3 13

2 2

x x m

3 5 3 13 ⎪

⎪

⎪ ⇔ = 2

⎨ ⎨ y m

6 3

≤ ≤ ⎪

⎪ x

0

⎩ 6 3

⎪

5 ≤ ≤

x

0

⎪

⎩ 5

= − +

2

y 3 x 5 3 x 13 è una parabola con concavità rivolta verso l’alto e vertice

La prima equazione

⎛ ⎞

5 3 27

⎜ ⎟

= = 2

nel punto V , , mentre la seconda y m è l’equazione di una retta parallela all’asse

⎜ ⎟

6 4

⎝ ⎠

delle ascisse.

4) = 2

Il valore minimo che può assumere la retta y m è in corrispondenza del vertice della parabola e

27 6 3

= = ≤ ≤

2 0 x i valori assunti

y m ; inoltre agli estremi dell’intervallo di analisi

cioè quando 4 5 2

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199

= = = = =

2 2 2

dalla retta 13

,

y m sono y m y m .

= 0

x 6 3 25

=

x 5

Il tutto è sotto rappresentato:

Il sistema allora ammette le seguenti soluzioni:

27 199 3 3 199

≤ ≤ ⇔ ≤ ≤

2

2 soluzioni per m m ;

4 25 2 5

199 199

< ≤ ⇔ < ≤

2 13

1 soluzione per m m 13 .

25 5 3

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Soluzione

Si consideri la figura seguente:

1)

Le due piramidi, quella iniziale VABCD e quella sezionata VA’B’C’D’ sono simili, per cui i

quadrati delle altezze stanno come le aree di base cioè vale la seguente

= che può essere anche riscritta nel modo seguente:

proporzione: a : b VH : VH ' bh

= + ⇒ + ⋅ = ⋅ ⇒ =

a : b ( h VH ' ) : VH ' bh b VH ' a VH ' VH ' .

−

a b

Ora il volume del tronco di piramide può essere calcolato come differenza tra i volumi delle due

piramidi e cioè ⎛ ⎞

⎛ ⎞

bh bh

1 1 =

− ⋅

= − = ⋅ + ⎜ ⎟

⎜ ⎟

2 2

V V V a h b −

−

' ' ' '

tronco VABCD VA B C D ⎝ ⎠

⎝ ⎠

a b a b

3 3

⎡ ⎤ ⎡ ⎤

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞

b b a b

1 1

= + − = − =

⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟

2 2 2 2

⎢ ⎥ ⎢ ⎥

h a b h a b

1 − − − −

⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⎣ ⎦ ⎣ ⎦

a b a b a b a b

3 3 ( )

( )

⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤

− − + + ( )

3 3 3 3 2 2

a b a b a b a b ab

1 1 1 1

= − = = = + +

2 2

⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥

h h h h a b ab

− − − −

⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

a b a b a b a b

3 3 3 3 4

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2)

La piramide è a base quadrata, per cui, v