Sistemi lineari

Sistemi lineari (I grado)

Facciamo una piccola introduzione riprendendo il discorso delle rette nel piano.

La forma generale è: ax + by + c = 0 con a, b, c ∈ R.

Questa relazione fra x ed y rappresenta solo rette oppure anche altri insiemi?

Se b ≠ 0: y = -a/b x - c/b, equazione del tipo y = mx + q.

Se b = 0, a ≠ 0, x = -c/a, equazione della retta parallela alle ordinate.

Se b = 0, a = 0:

• c = 0: 0x + 0y + 0 = 0, equazione sempre soddisfatta: l'insieme delle coppie (x, y) che soddisfa la relazione è tutto R².
• c ≠ 0: l'insieme delle soluzioni è vuoto.

Riassumendo

• b ≠ 0: rette y = -a/b x - c/b.
• b = 0, a ≠ 0: rette x = -c/a.
• b = 0, a = 0, c ≠ 0: insieme vuoto.
• a = 0, c = 0: l'intero piano.

Dopo questa introduzione possiamo studiare il problema che due sistemi siano equivalenti o dire che una relazione di questo tipo (scritti così particolari) rappresenta una retta nel piano.

Se però formuliamo un'altra relazione di questo tipo, ne posso formare il sistema.

Mettere a sistema due equazioni consiste nel trovare le soluzioni comuni dell'equazione.

Graficamente per loro si devono trovare i punti comuni.

Sistema lineare o di primo grado in x e y

{ ax + by + c = 0
{ a₁x + b₁y + c₁ = 0

Risolviamo algebricamente col I° metodo:

Sostituzione

Es.

{ x + y - 1 = 0
{ 3x + 5y + 9 = 0

Prendere una delle due equazioni (per esempio la prima) e risolvere una delle incognite in funzione dell'altra.

{ y = 1 - x
{ 3x + 5y + 9 = 0

Come secondo passo vado a prendere la 2^a equazione ed inserisco l'espressione ottenuta di y in funzione di x.

y = 1 - x

3x + 5(1 - x) + 9 = 0

Otteniamo che la 2^a equazione è una funzione di x poiché dipendente solo da x.

Ora possiamo risolvere:

y = 1 - x

3x + 5 - 5x + 9 = 0

y = 1 - x

x = 7

A questo punto ho trovato il valore di x e vado a sostituire nella 1^a equazione.

y = -6

x = 7

Trovo la coppia (7, -6).

Geometricamente cosa interpreto? Di distanza?

Allora la 1^a equazione rappresenta la retta y = 1 - x e la 2^a rappresenta la retta y = -³/₅x - ⁹/₅.

y = 1 - x

y = -³/₅x - ⁹/₅

Il fatto che di essere i punti comuni di intersezione fra queste due rette.

Si ottengono due rette incidenti.

1° metodo algebrico: combinazione lineare

Fissati due coppie di numeri h, k ∈ R e fissato un sistema:

f(x,y) = 0

g(x,y) = 0

Si dice combinazione lineare dell'equazione f(x,y) = 0 e g(x,y) = 0 una espressione del tipo:

h f(x,y) + k g(x,y) = 0

I coefficienti h e k sono coefficienti degli elementi della combinazione lineare.

Se h = k = 1 applicheremo la semplice somma membro a membro.

Se h = 1 e k = -1 applicheremo la semplice differenza membro a membro.

Es.

(S) f(x,y) = 0

g(x,y) = 0

(S') f(x,y) = 0

h f(x,y) + k g(x,y) = 0

k ≠ 0

S ed S' sono sistemi equivalenti cioè ogni soluzione di S è soluzione di S' e viceversa.

Dimostriamo, qui di seguito, questa proprietà:

Allora (x, y) risolve S => (x, y) risolve S'.

{ f(x, y) = 0
g(x, y) = 0 }

{ f(x, y) = 0
h f(x, y) + k g(x, y) = 0 }

Ad (x, y) sostituisco (x, y) ed ottengo:

{ f(x, y) = 0
h f(x, y) + k g(x, y) = 0 }

Qualunque siano h e k il risultato è sempre "0" quindi vuol dire che x ed y risolvono anche il sistema S'.

Vediamo ora, il viceversa: supponiamo che x, y risolvano il sistema (S') e dobbiamo dimostrare che risolve anche il sistema (S).

(S) { f(x, y) = 0
g(x, y) = 0 }

(S') { f(x, y) = 0
h f(x, y) + k g(x, y) = 0 }

Ne deriva che x, y risolvono anche il sistema, perché sostituendo ad (x, y) di S posso sostituire (x, y).

Questo progetto ci permette di sostituire due equazioni con una combinazione lineare, perché K(f₀) mi può portare a semplificare il sistema: vediamo un esempio:

{ 2x - 3y = 2
   x + 2y = 1 }

{ 2x - 3y - 2 = 0
   x + 2y - 1 = 0 }

Cerchiamo ora una combinazione lineare per ottenere un'equazione più semplice.

Se infatti moltiplico la 1^a equazione per 2 e la 2^a per 3 e poi faccio la somma ottengo, infatti, il termine "y" scompare:

7x - 7 = 0

A questo punto ho semplificato il sistema:

{ 2x - 3y - 2 = 0
   7x - 7 = 0 }

{ y = 0
   x = 1 }

(1; 0) soluzione.

Es.

{ 2x - y = 3
   -4x + 2y = -6 }

Moltiplico la 1^a eq. per 2
la 2^a eq. per 1
ed elimino e poi faccio la somma ottenendo:

{ 2x - y = 3
   0x + 0y = 0 }

In questo caso il sistema ha infinite soluzioni perché quando vado a cercare i punti comuni ho R² intersezione le soluzioni delle prime equazioni.

Indico alle sole soluzioni delle 2 equazioni per cui le soluzioni sono tutte le coppie ordinate (x, y) che rappresentano ascisse ed ordinate di un punto che sta sulla retta y = 2x - 3. Quindi sono tutte le coppie in cui posso scegliere x generico ed y in modo da tale da soddisfare 2x - y = 3. Quindi avrò (x, 2x - 3).

Es.

3x - 6y + 2 = 0

x - 2y - 1 = 0

Moltiplico per 1.

Moltiplico per -3.

3x - 6y + 2 = 0

0x + 0y + 5 = 0

La seconda equazione non ha soluzione e l'insieme delle soluzioni è l'insieme vuoto.

Nel piano le “y” fa il discorso geometrico:

y = x/2 + 1/2

y = x/2 - 1/2

Due rette parallele e distinte quindi senza punti in comune.

Problemi

Risolubili applicando sistemi lineari

Ci sono dei commensali ed al momento di pagare il conto vien detto loro:

Se fosse due in più ognuno pagherebbe

2000 lire in meno (o pagheranno gli altri totale).

Se invece, fossero stati due in meno e ognuno pagherebbe 3000 lire in più.

Quanti sono i commensali? E quanto devono pagare?

Indico poi: x = numero di commensali.

y = costo individuale.

Il costo globale = xy.

(x + 2)(y - 2000) = xy

(x - 2)(y + 3000) = xy

xy - 2000x + 2y - 4000 = xy

xy + 3000x - 2y - 6000 = xy

2y - 2000x - 4000 = 0

-2y + 3000x - 6000 = 0

Sommo membro a membro del sistema:

2y - 2000x - 4000 = 0

1000x - 10000 = 0

x = 10

2y - 20000 - 4000 = 0

y = 12000

x = 10

II° problema

Trovare due numeri tali che la loro somma ed il loro quoziente siano entrambi uguali ad un altro numero reale “a”. Risolvere le soluzioni del problema al variare di “a” in R\{0}.

{ x + y = a
x / y = a }

{ x + y = a
x = ay }

{ x + y = a
x - ay = 0 }

{ y = a - x
x(1 + a) = a² }

{ y = a - x
x = a² / (1 + a) }

{ y = a / (1 + a)
x = a² / (1 + a) }

(a² / (1 + a), a / (1 + a)) rette incidenti.

La soluzione trovata è valida per a ≠ -1.

Se a = -1:

{ x + y = -1
x + y = 0 }

Sistema privo di soluzioni perché ottengo due rette parallele e distinte.