Elaborato di Geometria

Analisi matematica - esame di analisi

Prova con contenuti di geometria e algebra lineare

1. Scrivere l'equazione cartesiana del piano passante per A(1,2,3) B(-1,2,4) C(2,-3,4)

   5x + 3y + 10z - 41 = 0

2. Risolvere se possibile il seguente sistema

   2x + 4y + 6z = 18

   4x + 5y + 6z = 24

   3x + y - 2z = 4

   x = 4 y = -2 z = 3

3. Dimostrare che w = (9,2,7) è combinazione lineare di u = (1,2,-1) e v = (6,4,2)

   Calcolando, con la regola di Sarrus, il determinante della matrice associata a w, u, v si ottiene il valore 0 (zero) a dimostrazione del fatto che i vettori non sono linearmente indipendenti e di conseguenza w è combinazione lineare di u e v

4. Sia φ: R³ → R³ l'omomorfismo definito da:

   φ(x,y,z) = (2x - y + z,x + 2y - 3z,x - 3y + 4z)

   Determinare una base di Ker φ e una di Im φ

   Segue

5. Trovare gli autovalori della matrice

   A = _{( 3 2 )      (-1 0 )}

   Segue

6. Classificare la conica

   2x²-4xy-y²-4x-8y+14

   La conica indicata è un Iperbole

Analisi matematica - esame di analisi

Prova con contenuti di geometria e algebra lineare

1. Scrivere l'equazione cartesiana del piano passante per A(1,2,3) B(-1,2,4) C(2,-3,4)

   5x + 3y + 10z -41 = 0

2. Risolvere se possibile il seguente sistema

   2x + 4y + 6z = 18

   4x + 5y + 6z = 24

   3x + y - 2z = 4

   x = 4 y = -2 z = 3

3. Dimostrare che w = (9,2,7) è combinazione lineare di u = (1,2,-1) e v = (6,4,2)

   Calcolando, con la regola di Sarrus, il determinante della matrice associata a w, u, v si ottiene il valore 0 (zero) a dimostrazione del fatto che i vettori non sono linearmente indipendenti e di conseguenza w è combinazione lineare di u e v

4. Sia φ: ³ → ³ l'omomorfismo definito da:

   φ(x,y,z) = (2x - y + z,x + 2y - 3z,x - 3y + 4z)

   Determinare una base di Ker φ e una di Im φ

   Segue

5. Trovare gli autovalori della matrice

   A = _{(3 2)(−1 0)}

   Segue

6. Classificare la conica

   2x²−4xy−y²−4x−8y+14

   La conica indicata è un Iperbole

Svolgimento

1)x-1 y-3 z-3

-2 0 1

1 -5 1

➔ 10(z-3)+y-2-[-5(x-1)+(-2) (y-2)

➔ 10z-30+y-2-[-5x+5+(-2y+4)]

➔ 10z-30+y-2+5x-5+2y-4 = ➔ (5x + 3y + 10z -41 = 0)

2)A=2 4 6

4 5 6

3 1 -2

RG (A)=3 M(123|123)

C=2 4 6 18

4 5 6 24

1 -2 4

RG (A)= RG (C)=3

detA=2 4 6

4 5 6 =:-20+72+24)-(90+12+32)=6

3 1 -2

18 4 6

24 5 6

4 1 -2

x= ___________________(-180 + 96 + 144) - (120 + 108 - 192)

Det A 6

2 18 6

4 24 6

3 4 -2

y= ___________________ (-96 + 324 + 96) - (432 + 48 - 144)

Det A 6

2 4 18

4 5 24

3 1 4

z= _________________ (40 + 288 + 72) - (270 + 48 + 64)

Det A 6

3)w =(9,2,7)

u =(1,2,-1)

v =(6,4,2)

1)a (1,2,-1) + b (6,4,2) + c (9,2,7) = (0,0,0)

(a+6b+9c, 2°+4b+2c, -a+2b,7c) = (0,0,0)

a+6b+9c=0

2°+4b+2c=0

-a+2b+7c=0

1 2 -2

6 4 1

9 2 7

(28 + 36 - 12) - (-36 + 4 + 84) = 0

M (12|12) =4 2

6 4= 4 - 12 = -8 ≠ 0

4)2 -1 1

1 2 3

1 -3 4

BlmA = {(2,1,1):(1,2,-3)}

dimR₃ = dimImA + dimKerA dimKerA= 3-2=1

F (x,y,z)=(2x-y+z, x+2y-3z, x-3y+4z) = (0,0,0)

2x-y+z=0

x+2y-3z=0

x-3y+4z=0

x come parametro libero

y=2x

z=-5x

y=-3x

x=0

KerA = {(0,-3,-5)}

5)A=3 2

-1 0

|A - λI|=0

A-λI=3-λ 2

-1 0-λ

A - λI =-λ 2

0-λ= (3-λ) (0-λ))-(-2)=-λ²-3λ-2

|A - λI|=0 ⇔ λ²-3λ+2=0

Le soluzioni sono 2 e 1. Sono entrambe reali.

6)2x⁴-4xy-y²-4x-8y+14