Sistema frazionario

www.matematicamente.it

Risoluzione del sistema

\[ \begin{cases} \dfrac{2}{x-2}=\dfrac{3}{y-3}\\[4pt] \dfrac{1}{y+3}=-\dfrac{1}{2-x} \end{cases} \]

1. Risolvere con un metodo a scelta, tenendo conto delle C.E.

Svolgimento a cura di Francesca Ricci

Determiniamo per prima cosa le condizioni di esistenza:

\(x-2\neq 0 \Rightarrow x\neq 2\)

\(y-3\neq 0 \Rightarrow y\neq 3\)

\(y+3\neq 0 \Rightarrow y\neq -3\)

\(2-x\neq 0 \Rightarrow -x\neq -2 \Rightarrow x\neq 2\)

C.E.: \(x\neq 2 \land y\neq \pm 3\)

Ora possiamo risolvere il sistema, riducendo le due equazioni, una per volta, in forma normale.

\[ \dfrac{2}{x-2}-\dfrac{3}{y-3}=0 \]

\[ \dfrac{2(y-3)-3(x-2)}{(x-2)(y-3)}=0 \]

Dopo aver fatto il minimo comune multiplo, avendo posto le condizioni di esistenza, possiamo eliminare il denominatore.

\[ 2(y-3)-3(x-2)=0 \Rightarrow 2y-6-3x+6=0 \Rightarrow 2y-3x=0 \]

Passiamo ora alla seconda equazione:

\[ \dfrac{1}{y+3}=-\dfrac{1}{2-x} \Rightarrow \dfrac{1}{y+3}+\dfrac{1}{2-x}=0 \]

\[ \dfrac{(2-x)+(y+3)}{(y+3)(2-x)}=0 \]

Anche qui possiamo eliminare il denominatore:

\[ 2-x+y+3=0 \Rightarrow 2-x+y+3=0 \Rightarrow -x+y+5=0 \]

Per comodità, cambiamo segno alle equazioni, in modo da avere il coefficiente della x positivo, e mettiamo a sistema le due equazioni ottenute:

\[ \begin{cases} 2y-3x=0\\ -x+y+5=0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} 3x-2y=0\\ x-y-5=0 \end{cases} \]

Poiché è molto facile ricavare dalla seconda equazione un’incognita, risolviamo il sistema con il metodo della sostituzione:

\[ \begin{cases} 3x-2y=0\\ x=y+5 \end{cases} \]

Sostituiamo, quindi, la seconda equazione alla prima:

\[ 3(y+5)-2y=0 \Rightarrow 3y+15-2y=0 \Rightarrow y=-15 \]

Sostituiamo, poi, questo valore della y ad una delle due equazioni:

\(x=-15+5=-10\)

I valori che soddisfano il sistema sono quindi \(x=-10\) e \(y=-15\).

Questi valori sono accettabili, perché non sono fra quelli esclusi nelle condizioni di esistenza.