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Analisi 2
Esercizi svolti
Serie numeriche
Serie geometrica
Serie telescopica: la serie di Mengoli
Analisi 2
Esercizi svolti
Serie numeriche
Serie geometrica
Serie telescopica: la serie di Mengoli
Studiamo la serie:
Esaminiamo i suoi elementi: … è la serie geometrica di ragione …
Definizione
Chiamiamo serie geometrica di ragione q la serie: …
Se q = 1, la somma parziale sn è data dalla somma di n addendi tutti uguali a 1, cioè:
sn = 1 + 1 + … + 1 = n.
Dunque sn, e quindi anche la serie, diverge positivamente.
Se q ≠ 1, calcoliamo sn, scrivendo la somma dei primi n termini di una progressione geometrica con ragione q e primo termine uguale a 1:
sn = …
Si possono presentare tre casi.
- q > 1: … quindi … La serie diverge positivamente.
- −1 < q < 1: … quindi … La serie converge.
- q ≤ −1: … perché … cambia alternativamente di segno all’aumentare di n e il suo valore assoluto tende a + ∞, quindi anche … non esiste. La serie è indeterminata.
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Scienze matematiche e informatiche
MAT/05 Analisi matematica
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