Serie numeriche

Serie numeriche

Domanda: è possibile sommare infiniti numeri?

Definizione

Sia {a_n} una successione di numeri reali.

Denotiamo con S_m = ∑_k=0^m a_k = a₀ + a₁ + ... + a_m e con ∑_m=0^∞ a_m = lim S_m (= lim_m→∞ ∑_k=0^m a_k).

∑_m=0^∞ a_m si dice serie numerica di termine generale a_m.

S_m si dice somma parziale m-esima della serie ∑_m=0^∞ a_m.

a_m si dice termine generale di ∑_m=0^∞ a_m.

Se lim_m→∞ S_m è R, allora la serie si dice convergente.

Se lim_m→∞ S_m = +∞ (-∞) allora la serie si dice divergente.

Se lim_m→∞ S_m non esiste allora la serie si dice indeterminata.

Oss: non è essenziale che a_m sia da 0^?, posso considerare {a_n}_n>=n0, n₀ ∈ N.

Esempi

1. a_n = 5     ∀n ∈ N

S₀ = a₀ = 5     S₁ = a₀ + a₁ = 10     S₂ = a₀ + a₁ + a₂ = 15.

S_n = (n+1)5.

lim S_m = lim (m+1)5 = +∞.

∑_m=0^∞ 5 è divergente.

2. a_n = 1/2ⁿ.

S_m = 1 + 1/2 + 1/4 + ... + 1/2^m.

lim S_m = 2 => ∑_n=0^∞ 1/2ⁿ = 2 è convergente.

3. Serie geometrica di ragione x ∈ R: ∑_n=0^∞ xⁿ.

Nel caso precedente x = 1/2.

Se x = 1    S_m = 1⁰ + 1¹ + ... + 1^m = m+1 => ∑_n=0^∞ 1ⁿ = +∞.

Se x != 1    S_m = x⁰ + x¹ + ... + x^m = 1 + x + x² + ... + x^m = (1 + x + x² + ... + x^m)(x-1) = x + x² + ... + x^m + x^m+1 - (1 + x + ... + x^m) = (x^m+1 - 1)/(x - 1) = (1 - x^m+1)/(1 - x).

Serie numeriche

Domanda: è possibile sommare infiniti numeri?

Definizione

Sia {a_n} una successione di numeri reali.

Definiamo un S_m = ∑_k=0^m a_k = a₀ + a₁ + ... + a_m e con ∑_m=0^∞ a_m = lim_m→∞ S_m (= lim_m→∞ ∑_k=0^m a_k).

∑_m=0^∞ a_m si dice serie numerica di termine generale a_m.

S_m si dice somma parziale m-esima della serie ∑_m=0^∞ a_m.

a_m si dice termine generale di ∑_m=0^∞ a_m.

Se lim_m→∞ S_m è R, allora la serie si dice convergente.

Se lim_m→∞ S_m = +∞ (o -∞) allora la serie si dice divergente.

Se il lim_m→∞ S_m non esiste allora la serie si dice indeterminata.

Oss: non è essenziale che a_n parta da 0^?, posso considerare {a_n}_{n≥ n0}, n₀ ∈ N.

Esempi

1. a_m = 5     ∀m ∈ N

S₀ = a₀ = 5     S₁ = a₀ + a₁ = 10     S₂ = a₀ + a₁ + a₂ = 15.

S_m = (m+1)5.

lim_m→∞ S_m = lim_m→∞ (m+1)5 = +∞.

∑_m=0^∞ 5 è divergente.

2. a_m = 1/2^m.

S_m = 1 + 1/2 + 1/4 + ... + 1/2^m.

lim_m→∞ S_m = 2 => ∑_m=0^∞ 1/2^m = 2 è convergente.

3. Serie geometrica di ragione α ∈ R: ∑_n=0^∞ αⁿ.

Nel caso precedente α = 1/2.

Se α = 1    S_m = 1⁰ + 1¹ + ... + 1^m = m+1 => ∑_n=0^∞ 1ⁿ = +∞.

Se α ≠ 1    S_m = α⁰ + α¹ + ... + α^m = 1 + α + α² + ... + α^m = (1 + α + ... + α^m)(α - 1)= (α^m+1 - 1)/(α - 1) = (1 - α^m+1)/(1 - α).

lim_m→∞ α^m+1 = { 0 se α ∈ (-1,1) +∞ se α > 1 ? se α ≤ -1 }.

lim_m→∞ S_m = lim_m→∞ (1 - α^m+1)/(1 - α) = { +∞ se α > 1 1/(1 - α) se α ∈ (-1,1) ? se α ≤ -1 }.

Riepilogo

∑_m=0^∞ α^m = { +∞ α > 1 1/(1 - α) α ∈ (-1,1) ∞ indeterminata α = -1 }.

4. Serie armonica: ∑_m=1^∞ 1/m = +∞.

5. Serie di Mengbol: ∑_m=1^∞ 1/(m(m+1)).

1/(x(x+1)) = a/x + b/(x+1) = (ax + a + bx)/(x(x+1)) = ((a+b)x + a)/(x(x+1)).

⇒ { a + b = 0 a = 1 } ⇒ { b = -a = -1 a = 1 } ⇒ 1/(x(x+1)) = 1/x - 1/(x+1) ⇒ ∀x ∈ R \ {0,-1}.

∀m ≥ 1    1/(m(m+1)) = 1/m - 1/(m+1).

S_m = a₁ + a₂ + ... + a_m = (1 - 1/2) + (1/2 - 1/3) + ... + (1/m - 1/(m+1)) = 1 - 1/(m+1).

lim_m→∞ S_m = lim_m→∞ (1 - 1/(m+1)) = 1.

∑_m=1^∞ 1/(m(m+1)) converge (a 1).

Oss: questa serie si dice anche telescopica.

S_m = 1 - 1/(m+1) (somma parziale sintacta).

Oss: in generale non è facile calcolare la somma di una serie, cioè lim_m→∞ S_m, quando è convergente.

È veramente interessante stabilire il carattere di una serie, cioè stabilire se essa è convergente o divergente o indeterminata.

Teorema: condizione necessaria per le serie convergenti

Se ∑_m=0^∞ a_m è convergente, allora ∃ lim_m→∞ a_m = 0.

Dim: ∑_m=0^∞ a_m convergente ⇒ ∃ lim_m→∞ s_m = l ∈ R ⇒ ∃ lim_m→∞ s_m-1 = l.

∀ m ∈ N a_m = s_m - s_m-1 ⇒ lim_m→∞ a_m = lim_m→∞ s_m - s_m-1 = l - l = 0.

NB: il viceversa non è vero.

Se a_m → 0 non è detto che ∑_m=0^∞ a_m sia convergente.

Controesempio: ∑_m=1^∞ 1/n = +∞.

Ma lim_n→∞ 1/n = 0.

Definizione del carattere di una serie

Stabilire il carattere di una serie ∑_m=0^∞ a_m vuol dire stabilire se ∑_m=0^∞ a_m converge, diverge o è indeterminata.

Il carattere di una serie non cambia se si cambia un numero finito di termini di una serie.

a_m = 1/(m+1).

b₀ = 3.

b₁ = 7.

b₂ = 740.

b_m = 1/(m+1) ∀ m ≥ 3.

Se ∑_m=0^∞ a_m ha lo stesso carattere di ∑_m=1^∞ a_m e di ∑_m=2^∞ a_m, ∑_m=3^∞ a_m, ∑_m=m0^∞ a_m.

Se c ∈ R \ {0} allora ∑_m=0^∞ a_m e ∑_m=0^∞ (c · a_m) hanno lo stesso carattere.

In particolare, se ∑_m=0^∞ a_m converge allora ∑_m=0^∞ (c · a_m) = c ∑_m=0^∞ a_m.

Serie a termini positivi

Sia a_n > 0 ∀ n ∈ N.

1. a_n > 0 ∀ n ∈ N ⇒ ∑_n=0^∞ a_n può essere (soltanto) convergente o divergente (positivamente).

Infatti ∀ n ∈ N, S_n+1 = S_n + a_n+1 ≥ S_n ⇒ {S_n} è una successione crescente quindi tende al suo estremo superiore.

Criteri per serie a termini positivi

Criterio del confronto

Se ∀ n ∈ N, 0 ≤ a_n ≤ b_n allora ∑_n=0^∞ b_n converge ⇒ ∑_n=0^∞ a_n converge e ∑_n=0^∞ a_n diverge ⇒ ∑_n=0^∞ b_n diverge.

Criterio del confronto asintotico

Se ∀ n ∈ N, a_n > 0, b_n > 0 e lim_n→∞ a_n/b_n = 1 allora ∑_n=0^∞ a_n converge ⇔ ∑_n=0^∞ b_n converge e ∑_n=0^∞ a_n diverge ⇔ ∑_n=0^∞ b_n diverge.

Esercizio 1

1. Stabilire il carattere di ∑_n=1^∞ 1/n³.

∑_n=1^∞ 1/n diverge, ∀ n > 1, n³ > n ⇒ ∀ n ≥ 1, 1/n³ ≤ 1/n.

Qui il criterio del confronto non serve.

Sappiamo anche che ∑_n=1^∞ 1/(n(n+1)) converge.

n³ ≥ n(n+1).

n² - n - 1 ≥ 0.

Considero x² - x - 1 ≥ 0.

x_1,2 = (1 ± √5)/2.

x ≤ (1 - √5)/2 ∨ x ≥ (1 + √5)/2.

(1 + √5)/2 < (1 + 3)/2 = 4/2 = 2.

∀ m ≥ 2, m² - m - 1 ≥ 0.

∀ m ≥ 2, m³ ≥ m(m+1) ⇒ 1/m³ ≤ 1/[m(m+1)].

∑_m=1^∞ 1/[m(m+1)] converge ⇒ ∑_m=2^∞ 1/[m(m+1)] converge.

1/m³ ≤ 1/[m(m+1)] ∀ m ≥ 2 ⇒ m=2 1/m³ converge => sum from m=1 1/m³ converge.

Esercizio 2

2. sum from m=1 1/m² a_m = 1/m² b_m = 1/(m(m+1)).

lim m->infty a_m/b_m = lim m->infty (1/m²)/(1/(m(m+1))) = lim m->infty (m(m+1))/m² = lim m->infty m/m + 1/m = lim m->infty 1 + 1/m = 1.

sum from m=1 b_m = sum from m=1 1/(m(m+1)) converge.

C.C.A => sum from m=1 a_m converge.

Criterio della radice

Se exists lim n->infty ⁿ√|a_n| = l in R* allora l > 1 => sum a_m diverge, l < 1 => sum a_m converge, l = 1 questo criterio non ci aiuta.

Esercizi

3. Sia ω_n considerando provando a usare il criterio della radice.

lim n->infty ⁿ√|a_m/m^m| = lim n->infty ω/m = 0 < 1.

Criterio della radice sum from m=1 a_m/m^m converge, V u>0.

Criterio del rapporto

Se exists lim n->infty a_m+1/a_m = l in R* allora l < 1 => sum a_m converge, l > 1 => sum a_m diverge, l = 1 questo criterio non ci aiuta.

Esercizio 4

4. sum from m=1^infty 1/m!   a_m = 1/m!   a_m+1 = 1/(m+1)!

⇒ a_m+1/a_m = (1/(m+1)!)/(1/m!) = m!/(m+1)! = 1/(m+1) => lim m->infty a_m+1/a_m = lim m->infty 1/(m+1) = 0 < 1.

Criterio del rapporto sum from m=1^infty 1/m! converge.

Criterio dell'integrale

Sia f: [0,+infty) -> R   f(x) > 0   V x > 0.

f continua e decrescente in [0,+infty).

V m ∈ N denotiamo con a_m = f(m).

Allora sum from m=0 a_m < +infty ⇔ integral from 0 to +infty f(x)dx < +infty.

Idea della dimostrazione

y = f(x).

f : [0, +infty) -> R.

f >= 0   f continua e decrescente.

Integrale da 0 a +infty di f(x) dx <= somma da n=3 a +infty di a_n.

Somma da n=1 a +infty di a_n <= integrale da 0 a +infty di f(x) dx.

Integrale da 0 a +infty di f(x) dx < +infty => somma da n=1 a +infty di a_n < +infty => somma da n=0 a +infty di a_n < +infty.

Esempi

5. Serie armonica.

Somma da n=0 a +infty di 1/n.

Sia f(x) = 1/x è definita almeno in (1, +infty) dove x > 0, continua e decrescente.

f(n) = 1/n.

Quindi per il criterio dell'integrale somma da n=1 a +infty di 1/n converge <=> integrale da 1 a +infty di 1/x dx converge.

Ma integrale da 1 a +infty di 1/x dx diverge => somma da n=1 a +infty di 1/n diverge.

6. Serie armonica generalizzata.

Sia alpha > 0, qual è il carattere di somma da n=1 a +infty di 1/n^alpha?

Usiamo il criterio dell'integrale.

g(x) = 1/x^alpha è > 0, continua e decrescente in (1, +infty).

Integrale da 1 a +infty di 1/x^alpha dx: L +infty se alpha > 1 = +infty <=> alpha <= 1.

=> somma da n=1 a +infty di 1/n^alpha converge α > 1 diverge α <= 1.

Serie a termini di segno variabile

Def. Si dice che ∑_n=0 a_n è assolutamente convergente se ∑_n=0 |a_n| è convergente.

Teorema

Se ∑ a_n è assolutamente convergente, allora ∑ a_n è anche convergente.

Notazione

Se ∑ a_n converge, a volte si dice che ∑ a_n converge semplicemente.

Def. Si dice che ∑ a_n è una serie a termini di segno alterno se a_2n >= 0 -> a_2n+1 <= 0 e a_2n <= 0 -> a_2n+1 >= 0.

Criterio di Leibniz

Criterio di Leibniz (valido solo per serie a termini di segno alterno).

Sia a_n >= 0 ∀n ∈ N tale che a_n -> 0 e {a_n} sia decrescente.

Allora ∑_n=0 (-1)ⁿ a_n converge.

Esempi

7. ∑_n=1^∞ (-1)ⁿ 1/n.

Non converge assolutamente, perché |(-1)ⁿ 1/n| = 1/n e ∑_n=1^∞ 1/n diverge però 1/n > 0 ∀n ∈ N, {1/n}_n>1 è decrescente e lim_n→∞ 1/n = 0 -> ∑_n=1^∞ (-1)ⁿ 1/n converge.

∑_n=1^∞ (-1)ⁿ 1/n è un esempio di serie che converge (semplicemente), ma non assolutamente.

8. ∑_n=1^∞ (-1)ⁿ 1/√n.

1/√n > 0, decrescente e infinitesima -> ∑_n=1^∞ (-1)ⁿ 1/√n converge.

N.B. ∑_n=1^∞ |(-1)ⁿ 1/√n| = ∑_n=1^∞ 1/√n diverge è una serie armonica generalizzata con α = 1/2 < 1.

Operazioni con le serie

1. Se ∑_n=0^∞ a_n e ∑_n=0^∞ b_n convergono, allora ∑_n=0^∞ (a_n+b_n) converge e ∑_n=0^∞ (a_n+b_n) = ∑_n=0^∞ a_n + ∑_n=0^∞ b_n.