Serie numeriche

SERIE NUMERICHE

DOMANDA: È possibile sommare infiniti numeri?

DEFINIZIONE: Sia _n≥0 una successione di numeri reali denominato _n≥0

∑_k=0ⁿa_k=a₀, a₁, ..., a_n

Si con _m = ∑_k=0^m a_k

• S₀=a₀
• S₁=a₀+a₁
• S₂=a₀+a₁+a₂

I_m si dice serie numerica di termine generale a_n

S^* di ∑_m=0^∞ con termine generale a_m

Se _m ∈ ℜ, allora la serie si dice convergente

Se _m ∑

OSS: Non è essenziale che a_n

ESEMPIO

• a_n=5 ∈ ℕ
• S₀=5 S₁=a₀

S_m=(m+1)5

^lim S_n=^lim (m+1)5 = +∞ ∑_m=0^∞ 5 è divergente

a_n=2^-n

• S_m=1

^lim S_n=2 ∑_m=0^∞ 2 è convergente

3.SERIE GEOMETRICA DI RAGGIO α ∈ ℜ

∑₀^k

SERIE NUMERICHE

DOMANDA: È POSSIBILE SOMMARE INFINITI NUMERI ?

DEFINIZIONE

Sia

denotiamo = ₀ + ₁ + ₂ + ... +

e con _{m -> +∞} m -> +∞

Si dice SERIE NUMERICA di TERMINE GENERALE

Se è detta SOMMA PARZIALE m

Si dice TERMINE GENERALE

La serie è detta CONVERGENTE se ∑^∞₌₀ è

Si dice che la serie è DIVERGENTE se ∑^∞₌₀

Si dice che la serie è INDETERMINATA se ∑^∞₌₀

OSS: NON È ESSENZIALE CHE PARTA DA “0”, posso considerare

esempio: ₌₀

Es: = 5 ∀∈ℕ

₀ = ₀ = 5

₁ = ₀ + ₁ = 5+5 = 10

₂ = ₀ + ₁ + ₂ = 15

= (₊₁₎₅

^lim _{-> +∞} = ^lim _{-> +∞}(+1)5 = +∞

∑^∞₌₀5 è DIVERGENTE

2) = 1/2

^lim _{-> +∞} = ∑

3) Serie geometrica di ragione ∈ℝ

Se = 1

Se ≠ 1

limn→+∞ αⁿ⁺¹ = {0 se α ∈ (-1, 1)+∞ se α > 1+∞ se α < -1

limn→+∞ S_m = limn→+∞ αⁿ⁺¹ / 1 - α = {0 se α ∈ (-1, 1)λ / 1-α se α ∈ (-λ, λ)∞ se α < -λ

Riassunto∑n→∞ αⁿ = {λ / 1-α se α ∈ (-λ, λ)€ indeterminata α < -λ

4 Serie armonica

∑m=1 1/m = +∞

5 Serie di Mengoli

∑m=1 1 / m(m+1)

1 / x(x+1) = {a/x + b/x+1ax + bx / x(x+1) = (a+b)x + α / x(x+1){b=−a−1a=1

a/x = 0 => b = 0b = a−1 α = a

ν ∈ ℝ{0,−}

dim > 11 / n(n+1) = 1/m − 1/m+1

S_m = α1 + α2 + ⋯ + α_m = (1 − 1/2) + (1/2 − 1/3) + ⋯ + (n/3/m) = 1 − 1/m+1

limn→+∞ S_m = limn→+∞ = 1

∑m=1 (1 / m(m+1)) converge (α e 1)

Q55 Questa serie si dice anche telescopicaS_m = 1 − 1/m+1Q55 In generale non è facile allocare la somma di una serie, cioè limn→+∞ S_m quando è convergente

è comunque interessante stabilire il carattere di una serie, ossia stabilire se essa è convergente o divergente o indeterminata.

Teorema (condizione necessaria per le serie convergenti)

se _m=0^∞ a_m è convergente, allora

lim_m→∞ a_m = 0

Dim

_m=0^∞ a_m convergente ⇒ ∃ lim_m→∞ s_m = c ∈ ℝ

⇒ ∃ lim_m→∞ s_m = L

∀ m∈ ℕ a_m = s_m - s_m-1 ⇒ lim_m→∞ a_m = lim_m→∞ s_m - s_m-1 = L - L = 0

NB (il viceversa non è vero)

se lim_m→∞ a_m = 0 non è detto che _m=0^∞ a_m sia convergente

Controesempio

_m=0^∞ a_m = 1/ m = ∞ ha lim_m→∞ 1/ m = 0

Def

Stabilire il carattere di una serie _m=0^∞ a_m vuol dire stabilire se _m=0^∞ a_m

converge, diverge o è indeterminata

Il carattere di una serie non cambia se si cambia un numero finito di termini di una serie

a_m = 1 / m + 1

b_m=0

• n=3
• b₃ = 7
• b₂ = 10
• b_m = 1 / m+1 ∈ m ‹ 3

_m=0^∞ b_m = lim_m→∞ (b₀ + b₁ + b_n,b_n+1,) = lim_m→∞ b₀,b₁,b₂,a₀,a₁,a_m (b₀+a₀,a₁,a_n)

Oss

_m=0^∞ a_m ha lo stesso carattere di _m=3^∞ a_m e di _m=2^∞ a_m

Oss

Se c ∈ ℝ {0} allora

_m=0^∞ a_m e _m=0^∞ (c a_m) hanno lo stesso carattere

In particolare, se _m=0^∞ a_m converge allora

_m=0^∞ (c a_m) = c _m=0^∞ a_m

Serie a termini positivi

Sia _an ≥ 0 _∀n ∈ ℕ

_∀n ≥ 0 _∀m ∈ ℕ Σ^m_{n=0 an} = _Sm può essere (solanto) convergente o divergente (positivamente)

Infatti _∀n ∈ ℕ _Sn ≤ _Sm, _∀m ≥ _n ∈ ℕ. _an ≥ 0 _→ {_Sn} è una successione crescente quindi tende al suo estremo superiore

Criteri per serie a termini positivi

Criterio del confronto

_∀n ≥ 0 a_n ≤ b_n allora Σ^∞_m=0 b_m converge → Σ^∞_m=0 a_m converge

E Σ^∞_n=0 b_n diverge → Σ^∞_m=0 a_n diverge

Criterio del confronto asintotico

Se _∀n ∈ ℕ a_n > 0, b_n > 0 e

^lim_m→∞ ^a_m/_bm = l

E Σ^∞_m=0 a_m diverge ↔ Σ^∞_m=0 b_m diverge

Esempio

1. Stabilire il carattere di Σ^∞_m=0 ¹/_m³

Σ^∞_m=1 ¹/_m² diverge ⇓ Σ^∞_m=0 ¹/_m a_n = ¹/_m³ ⇒ _&exists;n, _∀n ⇒

Vm > 1 1/m2 1/am

^{a_n → qui il criterio di confronto non si può}

Sappiamo anche che Σ^∞_m=1 ¹/_m³(m+1) converge

m³ r_m (m+1)

m³ r_m

m² - n - 1 > 0

Considero x^-1 = k - ^λ/_x > 0

^λ/_x - ^1+√5/₂

k _← ^-1-√5/_{2 ∨} x_> ^1+√5/₂

^1+√5/₂ ^∀ x ^{> 1+}/_∂ x > ^1+√5/_{2 ∃}

4/₂ = 2

V_m ³ 0 m² - 1 ³ 0

V_m ≥ 0

m³ r_m (n+1) ⊃ 0 ^λ/_{m³ rm}

Σ^∞_m=3 ≥ Σ^∞_m(n+1) ≅ Σ^∞_m=2 ^λ/_m(n+1) converge

Σ∞m=0 1/m3 λ/m(n+1)

&eq; ¹/_m³

∑_m=2^∞ Λ / m^s converge ⇒ ∑_m=2^∞ Λ / m^s converge

2.

∑_m=2^∞ 1 / m^s A _m = Λ / m^s b_n = Λ / m^n(1-s)

lim_{m → ∞} A_nm / A_m lim_{m → ∞} m / 1 = m^n-1 / n^s lim_{n → ∞} M_n+1 / n^s = lim_{n → ∞} n / m^s = lim_{n → ∞} m / n = 1 + 1 / m^s Λ

C.C.A

lim → due allora converge

CRITERO della serie

se ∃ lim_{n → ∞} n¹/ⁿ ∈ R ²

Allora r

Λ ⇒ ∑ a_m diverge

r Λ ⇒ ∑ a_m converge

r = questo critero non ci aiuta

ESEMPIO

3.

Se 9 n

provando a usare il criterio della radice

lim_{n → ∞} n / n = lim_{n → ∞} n / n = 0 = r Λ

critero della radice ∑_m=2^∞ vⁿ / mⁿ converge Vⁿ.

CRITERIO del RAPPORTO

se ∃ lim_m→∞ a_m+1 = R C R²

Allora r Λ ⇒ ∑ a_m converge

r Λ ⇒ ∑ a_m diverge

r = questo critero non ci aiuta

ESEMPIO

4.

∑_m=1^∞ 1 / m₁ = . 1 /(m)! = family Λ / m₁

a_mm = firmo [1 / m₁ ] = [1 / (m)!] = [1 / (m)!]

Further improvement 1 / (m+1)! ⇒ lim_{m → ∞} a_m+1 / a_m = lim_{m → ∞} 1 / m+1 = 0 Λ

CRITERO del RAPPORTO ⇒ ∑_m=A^∞ D_{m → ∞} converge

CRITERIO dell'INTEGRALE

Se L (O, +o) ⇒ R

f ( ^→ ) 0 → 0 = 0

Si contina e DEREGE in (O, +o)

if n ∈ N denotato (con a_n) = β (n)

Allora ∑_m=10 am Λ ∑ ^{Drake Ñ} ∫ g ⇔

IDEA DELLA DIT

y = ∫f(x)

f : [0,∞) → ℝ

f > 0 f continua e decrescente

∫_n^∞ am ↔ ∫₀^∞ f(x) dx

∫₀^∞ f(x) dx L < ∞ ⇒ ∑_m=n^∞ am L < ∞ ⇒ ∑_n=0^∞ am L < ∞

ESEMPIO

5. SERIE ARMONICA

∑_m=0^∞ 1/m

Sia f(x) = 1/x definita almeno in (A,∞)

Dato f > 0 f continua e decrescente

∫_n^∞ 1/x

Quindi per il criterio dell'integrale

∫_a^∞ 1/x dx converge ⇔ ∫_A^∞ 1/x dx converge

ma 1/x dx diverge ⇒ ∑_m=1^∞ 1/m diverge

y = 1/k

Serie Armonica Generalizzata

6. Sia a > 0 quale è il partire di

∑_m=1^∞ 1/m^a ?

Usiamo il criterio dell'integrale

f(x) = 1/x^a f > 0 continua e decrescente in [A,∞]

∫₁^∞ 1/x^a dx =

∫₁^∞ 1/x^a = | → → → A

→ → → α < 1

⇒ ∫₁^∞ | converges ⇔ α > 1

→ → → diverges

α ≤ 1

Serie a termini di segno variabile

Def. Si dice che Σ a_m è assolutamente convergente se Σ |a_m| è convergente.

Teorema

Se Σ a_m è assolutamente convergente, allora Σ a_m è anche convergente.

Notazione

Se Σ a_m converge, a volte si dice che Σ a_m converge semplicemente.

Def.

Si dice che Σ a_m è una serie a termini di segno alterno se a_m ≥ 0 ∨ a_m+1 ≤ 0 e a_m ≤ 0 ∨ a_m+1 ≥ 0.

Criterio di Leibniz

Sia {a_m} ≠ 0 ∨ Λ N tale che: a_m → 0 e {a_m} sia decrescente allora Σ (-1)^m a_m converge.

Esempio 7.

1. Σ (-1)^{m 1}⁄_m

Non converge assolutamente. Infatti: Σ ¹⁄_m diverge però (-1)^{m 1}⁄_m converge. Σ (-1)^{m 1}⁄_m è un esempio di serie che converge (semplicemente) ma non assolutamente.

Esempio 8.

1. Σ (-1)^{m 1}⁄_m^α

Per α > 0, decrescente e infinita: Σ (-1)^{m 1}⁄_m^α converge se e solo se Σ ¹⁄_m^α diverge.

Operazioni con le serie

1. Se Σ a_m e Σ b_m convergono, allora:
   • Σ (a_m + b_m) converge a:
     • Σ a_m + Σ b_m