Analisi 2
Esercizi svolti Serie numeriche Divergenza di una serie Somma Serie telescopica
1 Spiega perché la serie +∞ ∑ n = 1 4ⁿ ⁄ n + 1 è sicuramente divergente.
La serie +∞ ∑ n = 1 4ⁿ ⁄ n + 1 è una serie a termini positivi perché 4ⁿ ⁄ n + 1 > 0, ∀ n ∈ ℕ.
Una serie a termini positivi o è convergente o è divergente positivamente.
Condizione necessaria affinché la serie +∞ ∑ n = 1 aₙ converga è che lim n → +∞ aₙ = 0.
Questo vuol dire che se lim n → +∞ aₙ ≠ 0 allora la serie diverge positivamente.
Per questo calcoliamo lim n → +∞ 4ⁿ ⁄ n + 1 = +∞.
Poiché non viene soddisfatta la condizione necessaria per la convergenza, la serie +∞ ∑ n = 1 4ⁿ ⁄ n + 1 è sicuramente divergente.
2 Calcola la somma delle serie seguenti.
a. +∞ ∑ n = 1 ( 1 ⁄ 5 )ⁿ b. +∞ ∑ n = 1 sin(nπ) ⁄ n²
a. Il termine generale della serie è aₙ = ( 1 ⁄ 5 )ⁿ, quindi i termini della serie sono quelli della progressione geometrica con primo termine a₁ = 1 ⁄ 5, perché l’indice n parte da 1, e ragione q = 1 ⁄ 5.
La somma parziale n-esima è sₙ = 1 ⁄ 5 · 1 - ( 1 ⁄ 5 )ⁿ ⁄ 1 - 1 ⁄ 5 = 1 ⁄ 4 · [ 1 - ( 1 ⁄ 5 )ⁿ ].
+∞ ∑ n = 1 ( 1 ⁄ 5 )ⁿ = lim n → +∞ 1 ⁄ 4 · [ 1 - ( 1 ⁄ 5 )ⁿ ] = 1 ⁄ 4 · 1 = 1 ⁄ 4.
b. +∞ ∑ n = 1 sin(nπ) ⁄ n² = 0 perché tutti i termini della serie sono nulli, infatti sin(nπ) = 0 ∀ n ∈ ℕ.
3 Dimostra che la serie n=1+∞ ∑ 7/n(n+1) è telescopica e calcolane la somma
7/n − 7/n+1 = 7n + 7 − 7n/n(n+1) = 7/n(n+1), quindi la serie è telescopica perché il suo termine generale si può scrivere come differenza fra i termini consecutivi della successione: an= 7/n, con n ≥ 1.
L’n-esima somma parziale è sn = a1 − an+1 = 7 − 7/n+1 = n=1+∞ ∑ 7/n(n+1) = limn→+∞ (7 − 7/n+1) = 7.
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