Serie numeriche, divergenza, convergenza, somma e successioni

Analisi 2

Esercizi svolti Serie numeriche Divergenza di una serie Convergenza Somma Problema sulle successioni

Analisi 2 Esercizi svolti Serie Numeriche Divergenza di una serie Convergenza Somma Problema sulle successioni

Determina per quali valori di k

Determina per quali valori di k la serie _n=1^+∞ 1/(1+k)ⁿ:

• A. È a termini positivi;
• B. È convergente;
• C. Ha somma 1/5.

Affinché ogni termine sia positivo, il denominatore deve essere positivo. Ovvero il fattore in parentesi: 1+k.

A. La serie è a termini positivi

A. La serie è a termini positivi se 1+k > 0 → k > -1.

B. È convergente

B. È convergente;

La serie è convergente per -1 < 1/(1+k) < 1.

La soluzione del sistema è k < -2 ∨ k > 0.

Per k < -2 le ridotte sono negative e sono la somma dei termini di una progressione geometrica a segni alterni.

C. Ha somma 1/5

C. Ha somma 1/5.

Si tratta di una serie geometrica il cui primo termine è 1/(1+k) con ragione 1/(1+k). La somma è

Poniamo 1/k = 1/5 → k = 5.

Problema

Trova le successioni che descrivono le misure dei perimetri dei quadrati e delle circonferenze.

Ricordiamo che:

• Il raggio della circonferenza inscritta in un quadrato di lato L è r = ^L⁄₂,
• Il lato del quadrato inscritto in una circonferenza di raggio r è L = √2 r.

Indichiamo con L₁ il lato del quadrato di partenza e calcoliamo i perimetri delle prime figure inscritte:

• L₁ → P₁ = 4L₁, perimetro del primo quadrato;
• R₁ = ^L₁⁄₂ → C₁ = πL₁, perimetro della prima circonferenza;

L₂ = ^√2⁄₂ L₁ = ^√2⁄₂ L₁ → p₂ = 4 · ^√2⁄₂ L₁ = 2√2 L₁, perimetro del secondo quadrato;

r₂ = L₂⁄2 = √2⁄4 L₁ → C₂ = ^√2⁄₂ π L₁, perimetro della seconda circonferenza.

La successione dei perimetri dei quadrati è

p_n = 4L₁(^√2⁄₂)ⁿ, con n ∈ N,

cioè una progressione geometrica con primo termine 4L₁ e ragione ^√2⁄₂ < 1.

La successione dei perimetri delle circonferenze è

C_n = π L₁(^√2⁄₂)ⁿ, con n ∈ N,

cioè una progressione geometrica con primo termine π L₁ e ragione ^√2⁄₂ < 1.