Segnali e sistemi (Teoria)

Somme di un segnale a supporto limitato

Somme di un segnale a supporto limitato + segnale a sup. illimitato ha energia e potenza del segnale illimitato.

!!! Segnali generici: EN: = ∫ |x(t)|² dt → E∞ : ∫ |x(t)|² dt P∞ : = x(t) dt → P∞ = 0_-∞t-taul

Energia e potenza

Em: = ∑ |x(m)|² → E∞ : = lim_N→∞ ∑ |x(m)|² P∞ : = lim_N→∞ x(m)²

Simmetrie dei segnali

Pari = x(t) = x(-t) Dispari = - x(t) Reali = x(t) = x*(t) = - x(t)

Segnali periodici

ET: = ∫ |x(t)|² dt → E∞: ∞ PT: = x(t) dt → P∞ EN: = ∑ |x(m)|² → E∞: ∑ |x(m)|²

Proprietà gradino

f(t), g(t) = f(0)g(t) x(t)* δ(t-t0) = x(t-t0) x(m)* δ(m-t0) = x(t-t0)

Sistemi LTI

Sistemi LTI: Risposta impulsiva h(m) = x(m) h(t) = e^-at x(t) = y(t)

L'uscita di un LTI è la convoluzione: Discreto = y(m) : ∑ x(k) Supporto della convoluzione è le somme dei supporti Continuo = y(t) = ∫ x(t) dt

Formulario su energia, potenza e segnali

Somma di un segnale a supporto limitato + segnale a sup. illimitato ha energia e potenza del segnale illimitato !!!

Segnali generici

EN = ∫ |x(t)|² dt > E∞ = 0 P∞ = lim_T→∞ 1/2T ∫ |x(t)|² dtt = -T a T t = -∞ a +∞ t = -∞ a +∞ Continuo

EN = ∑ |x(m)|² E∞ = lim_N→∞ 1/2N ∑ |x(n)|² P∞ = lim 1/2N+1 ∑ |x(m)|² P∞ = lim 1/2N+1 ∑ |x(n)|² N = -N a N N = -∞ a +∞ N = 0 a N Discreto

Segnali simmetrici

S _REMITTAN x(t) = x(-t) Pari x(t) = x(-t) Dispari x(-t) = -x(t) Simmetrici rispetto origine Reale x(t) = x’(-t) Immaginario x(t) = -x’(-t)

Segnali periodici

ET = ∫ |x(m)|² dt > E∞ = ∞ P∞ = 1/T ∫ |x(t)|² dt > P∞ = PT Continuo

EN = ∑ |x(m)|² > E∞ = ∞ PN = 1/N ∑ |x(m)|² > P∞ = PN Discreto

Proprietà

f(t) e δ(t) = f(0)δ(t) Recto → ∑(m) x(m)δ(m) = x(m)δ(t) ∗ 1(t-to) = 1(t-to) t = -∞ a +∞ t = -∞ a +∞

x(t) ∗ δ(t-to) = x(t-to) Recto → x(m) ∑(m-to) = x(m-to) ∫ δ(t-to) · x(t) = x(to) Continuo Discreto

Sistemi LTI e risposta impulsiva

Sistemi LTI: L’uscita ha sempre la stessa frequenza dell’entrata. Risp. impulsiva: h(m) = α^m1(m) y[m] = ∑ αⁿu[n-n0] Discreto x(m) = 1(m)1 a n0 a n∞ 1 a n0

Continuo h(t) = 1 . e ^-at1(t) x(t) = 1(t) y(t) = 1(t)0 a +∞ c . e ^-at+t∞

L’uscita di un LTI è la convoluzione: Discreto y[m] = ∑_{k=-∞ a +∞} h(n-k)x(k) Il supporto della convoluzione è Continuo y(t) = ∫_{-∞ a +∞} (h(t-τ)x(τ))dτ.

Formula per es. condizione sup-inf

• Se ho ^m+1∑_k=n allora n+^∞∑_n=0^m∑_n=0 qⁿ = _{1 - q^m+1}/^{1 - q}
• Se ho ^∞∑_n=0 qⁿ = ₁/^{1 - q}
• Se ho sommatoria col valore assoluto, tipo ^∞∑_k=0 2^-k, separo in questo modo: ^∞∑_k=0 2^-k + 4^-k pare di infinito + 0 = + infinito - termine con k=0.

Proprietà LTI

Proprietà LTI causale se e solo se L(0) h(k) e 0. BIBO se e solo se ^∞∑_k=0 |h(k)| < ∞

Risposta in frequenza H

Risposta in frequenza H: H(jω) = ^∞∫_-∞ h(t)e^-jωt dt - Continuo H(e^jω) = ^∞∑_k=-∞ h(k)e^-jωk - Discreto

Entrano x(t) esponenziale in un LTI: y(t) = H(jω)x(t) Intruso x(t) sinusoidale: modulo di H(jω) e sfasato di L(H(jω)).

Serie di Fourier

Serie di Fourier a_π = ¹/_{T0 x(t)e^-jωt dt, a∞ = ¹/T0 x(t) dt} Continuo x(t) = ^∞∑_k=−∞ a_ke^jωt - Serie di Fourier.

Coefficiente di Fourier nel caso quadrato

Coefficiente di Fourier nel caso quadrato Continuo k(t) = A₀ seno (Kωt)₀ k(0) = A_{0 don} - treno di impulsi a_π = Ampiezza A₀ e trenato in T₀Tⁿ x(jω) = A₀ t e^-jωTo Trovare X(jω) avendo i coeff di Fourier: X(jω) = ^∞