Teoria - Segnali e Sistemi

Linearità

Linearità: se rispetta il principio di sovrapposizione degli effetti u₁(t) → v₁(t) u₂(t) → v₂(t).

u(t) = a₁u₁(t) + a₂u₂(t) = a₁ v₁(t) + a₂ v₂(t) = v(t).

Tempo-invariante

Tempo-invariante: una traslazione nel tempo della causa corrisponde a uguale traslazione degli effetti u₁(t) → u₁(t-τ) v₁(t) = u₁(t) = u(t-τ) v(t-τ) = u(t-τ) = u(t) → v₁(t).

Causalità

Causalità: se per ogni causa non viene mai prodotta dal corrispondente effetto v(t) = [ε(t)M-A]^-1 = [sI-M-A]^-1 = ¹/_sI-M-A     ¹/_(sI-M) = v(t) = 0.

Stabilità asintotica

Stabilità asintotica: la matrice di retroazione λ: retta converga a 0.

lim_t→+∞ v(t) = 0.

Stabilità asintotica per condizioni iniziali

Stabilità asintotica: per ogni scelta delle condizioni iniziali, l'uscita libera converge a 0 asintoticamente lim_t→+∞ v_c(t) = 0.

BIBO

BIBO: a partire da condizioni iniziali nulla, rispondere (in evoluzione forzata) con uscita limitata ad ogni ingresso in forma limitata.

Continuo

Continuo Sì BIBO No AS d²v_c(t)/dt² - v(t) = du(t)/dt - u(t).

Discreto

Discreto Sì BIBO No AS 2v(k) - 3v(k-1) + v(k-2) = u(k) - u(k-1).

No BIBO

No BIBO d²v_c(t)/dt² = u(t) u(t) = ε_c(t) v(t) = = ε_δ-(t).

Linearità

Linearità: se rispetta il principio di sovrapposizione degli oggetti u₁(t) → v₁(t) u₂(t) → v₂(t).

u(t) = a₁u₁(t) + a₂u₂(t) = a₁v₁(t) + a₂v₂(t) = v(t).

Tempo-invarianza

Tempo-invarianza: u₁(t) = u₁(t-t) → v₁(t) v(t-τ) = u(t-τ) = u(t-t).

Causalità

Causalità: se ∫ y(t) dt = [emidst] - ∫e[sigmaτ] dτ, t > τ.

BIBO

BIBO: risponde ad ingressi limitati con uscite limitate.

Stabilità asintotica

Stabilità asintotica: se aumenta oscillazione, l'uscita converge a 0.

lim_t→+∞ v(t) = 0.

Stabilità asintotica ed evoluzione libera

Stabilità asintotica: per ogni scelta delle condizioni iniziali, l'evoluzione libera converge a 0 asintoticamente lim_t→+∞ v_(t) = 0.

BIBO: a partire da condizioni iniziali nulla, rispondere (in evoluzione forzata) con uscita limitata ad ogni segnale in ingresso limitato.

Continuo

Continuo Sì BIBO No AS dV(t)/dt = mu(t) -V(t) = du/dt → u(t)* No BIBO: dv(t)/dt = μ(t) u(t) = E_sC_j v(t) = c E_s C_j.

Discreto

Discreto Sì BIBO No AS v(k) - 3v(k-1) + v(k-2) = u(k) - u(k-1).

Risposta impulsiva

Continuo

Def: uscita del sistema in corrispondenza dell'impulso unitario in ingresso.

La risposta impulsiva deve soddisfare a_n + ... + a₁ = 0 a_nh(1) + a_n-1h(t-1) + ... + a₀h(t) = 0 ciò ci dice nell'espansione della risposta influiranno sempre i modi attenuativi dell'evoluzione libera.

Dato che il sistema è causale, la risposta impulsiva è nulla per t m.

h(t) = d₀u(t) + ∫₀^t b₁ e^{λi t} = Σ λ_i^k d_i t^k b_n-1 e^{λ i t} = Σ d_i tⁿ().

Un sistema LTI è causale se e solo se n(t)=0 per t -∞^t h(τ)u(t-τ) dτ = ∫_-∞^t h(t)u(t-τ) dτ.

Un sistema LTI è BIBO se e solo la sua risposta impulsiva è sommabile: |n(t)| ≤ +∞.

Discreto

Def: la risposta dell'agente alle differenze ottenute in corrispondenza all'ingresso u(k) = δ(k-1) d = 1 d = 0.

Data l'erogam alle differenze Σ a_i y(k-i) = Σ b_i u(k-i) es: il ricevitore è un modello MA h(k) = 1 / d₀ δ (k-1).

n ≥ 1 in virtù delle causalità del sistema, la risposta impulsiva è nulla per k n non nullo da k=0.

n > m h(k) = Σ d_i λ_i k b_i λ_i ¦^k d⁰ = Σ c_i d_i d_k-1 di d_k di Σ k^!-jwt∫ = A∫h(jω₀)ψ(ω₀) = j (ω+τe).

Doto un sistema LTI e BIBO di risposta impulsiva h(t), eERL Dati una risposta al segnale periodale in ingresso.

Dato h(t) = A∫.

Campionamento ideale

Sia ξ(t) una sorgente, vogliamo ricostruire la continua evoluzione dell'origine campionando il periodo τ e frequenza f_C = 1/τ.

La ricostruzione si realizza campionando la sorgente che, con la sua processa di elemento p_C(t) = 1 se t < b, 0 altrimenti.

\[ x_A(t) = \sum\limits_{k=-\infty}^{+\infty} x(t-k\tau) \ Oltre possiamo riuscire a v_A(t) a parte dei... della segnale.

Il processo affermerebbe su:

• v_A(s) ha l'aporta del Valle reale \[ v_A(β) sia oppure limitato in (B, α) con \[ B = \mathrm{inf} \{ \mathbb{R}