Segnali biomedici

Lezione 1

Segnale è una grandezza fisica che varia nel tempo e si indica con Y(t), fornisce informazioni su un sistema, una struttura, un organo o il processo che lo ha generato. Quindi un segnale è un’informazione funzionale mentre l’immagine è un'informazione strutturale.

Analisi di un segnale

Si occupa dell’acquisizione di informazioni (va a misurare un fenomeno per poi interpretare un sistema), della diagnosi (riconosce disfunzioni, patologie o anomalie), del monitoraggio (fornisce un’informazione continua o a intervalli su un sistema), della terapia e del controllo (modifica il comportamento di un sistema in base a una terapia per ottenere un risultato), della valutazione (analisi oggettiva per determinare la capacità di avere prestazioni funzionali).

Elaborazione di un segnale

Ha l’obiettivo di:

• Migliorare l’estrazione di informazioni contenute nel segnale (ECG è dato dal segnale più il rumore, bisogna quindi cercare di ridurre il rumore).
• Estrarre nuove informazioni da un segnale (dall’ECG riconosco i picchi R che indicano la variabilità cardiaca e quindi analizzandoli per alcuni minuti posso avere informazioni sul sistema nervoso autonomo e sul controllo della frequenza cardiaca).

Alcuni esempi di segnali biomedici sono: il potenziale d’azione, ECG, EEG, EMG, pressione arteriosa o flusso/volume respiratorio.

I segnali possono poi anche essere classificati a seconda di alcuni parametri:

• Natura del segnale: elettrica, meccanica, chimica, …
• Sistema interessato: cardiovascolare, neuromuscolare, motorio, …
• Modalità d’acquisizione: laboratorio, monitoraggio, …

Es. rilevamento di un EMG durante 2 respiri con una sovrapposizione di ECG, l’ECG può essere considerato rumore e quindi rimosso e con ulteriori operazioni di raddrizzamento e filtraggio si ottiene un segnale che rappresenta “l’ampiezza dell’EMG”.

L’interpretazione dei dati avviene con la collaborazione di strumentazione biomedica, conoscenze fisiologiche/cliniche e informatica medica. Il processo di interpretazione dei dati è sempre più automatizzato con i computer che conservano, visualizzano e interpretano i dati fornendo risposte.

Lezione 2

Il segnale Y(t) è una funzione del tempo/T 2∫ 2En = consiste nell’energia del segnale(t )dtlim Y–T /2. Un caso di segnale è quello ad energia limitata quando il segnale è limitato nel tempo o converge a zero così che lim esiste finito.

In altri casi l’energia non è limitata ma è limitata la potenza (valor medio nel tempo dell’energia)/2T1 ∫ 2P= (lim Y t)dtT –T / 2. Tramite la potenza si può ottenere l’ampiezza quadratica media o efficace del segnale (rms) ed è pari a A = P (l’ampiezza rms viene anche quantificata nella scala logaritmica dei decibel) A db = 20 log A fondamentale nello studio dei segnali ef 10 ef P db = 10 log P10.

Un confronto utile è quello tra un segnale ideale che si desidera misurare e un segnale non voluto considerato rumore, il rapporto tra le ampiezze prende il nome di rapporto segnale/rumore o SNR. Importanti sono i segnali periodici che seguono la relazione: Y(t+T) = Y(t) che hanno energia non finita. Sono quei segnali che si ripetono uguali ogni periodo.

I due principali sono il seno e il coseno che sono definiti da 3 parametri fondamentali: ampiezza, periodo e fase (dice come parte). Le sinusoidi infatti hanno la particolarità che se usate in ingresso in un sistema lineare tempo variante anche in uscita si avrà una sinusoide.

1/2T1 ∫ 2 La potenza diventa P = (t)dtYT –T / 2. Per l’analisi dei segnali alcune distribuzioni sono importanti da un punto di vista teorico sono definite come limite di una famiglia di funzioni. L’impulso consiste nel passaggio al limite di una serie di funzioni.

L’impulso o distribuzione di Dirac δ(t): Si tratta del limite di una serie di funzioni che ha base sempre più stretta ma valori sempre più alti. L’impulso è quindi nullo per ogni t 0 mentre in t = 0 ha valore illimitato ovvero non definito. L’energia è illimitata mentre l’integrale δ(t) su un intervallo che comprende t = 0 vale 1. δ(t – t1) rappresenta un impulso posizionato in t1.

Il campionamento di y(t) viene descritto come y(t)*δ(t–t1) che è un impulso di ampiezza y(t1), y(t1)*δ(t–t1) e registra solo questo valore di y(t). L’analisi di una frequenza di un segnale (analisi di Fourier) descrive il segnale Y(t) come somma di sinusoidi in numero illimitato.

Tramite la serie di Fourier un segnale periodico T viene descritto come somma di sen e cos con frequenza pari alla frequenza fondamentale f = 1/T e con frequenza multipla f = k/T. Tramite la trasformata di Fourier possiamo quindi generalizzare questo concetto a funzioni aperiodiche.

Utilità della scomposizione in somma di sinusoidi

• I sistemi lineari forzati da una sinusoide ammettono un andamento sinusoidale di uguale frequenza e di opportuna ampiezza e fase. Se l’integrale è asintoticamente stabile allora a regime converge al comportamento sinusoidale (regime sinusoidale). Se il sistema è forzato dalla somma di sinusoidi allora per il principio di sovrapposizione degli effetti si può calcolare il regime di ogni sinusoide.
• Grazie all’ortogonalità fra sinusoidi abbiamo che l’integrale del prodotto fra due sinusoidi di frequenza diversa tende a zero se l’intervallo d’integrazione tende a infinito. Quindi le sinusoidi sono utili perché fungono da basi ortogonali in cui si può scomporre una funzione.

Se ho pari frequenza vale l’ortogonalità di sinusoidi in quadratura 1/2 /ωT 2π1 ∫ ∫( ) ( ) ( ) ( ) =0lim cos ωt sin ωt dt= cos ωt sin ωt dtT→∞ /–T 2 0. L’ortogonalità implica che le potenze si sommino A(ω t+ φ)2 cos ω t+ φ A cos1 1 2 2. 1/2T1 ∫ T /2– T lim T→∞. Un segnale periodico con un numero limitato di discontinuità Dirichlet è descrivibile con una somma di seni e coseni di frequenza multipla alla fondamentale. La serie dei coefficienti costituisce lo sviluppo in serie di Fourier del segnale periodico. Inoltre se le discontinuità sono tali che il segnale e le sue derivate siano limitati allora i coefficienti convergono a zero per frequenze che tendono a infinito.

Es. ECG (scomposizione) Più armoniche utilizzo più posso riprodurre picchi stretti. La sinusoide k=0 è la componente continua. La sinusoide k=1 è l’armonica fondamentale. Le sinusoidi k=1+i sono le armoniche superiori che sono multipli interi della fondamentale e vanno a definire la morfologia del segnale.

La serie di Fourier può presentarsi in forme diverse:

• ∞ ∑ ∑ j ω t( )=m+ ( )=oppure( ) y t A cos ω t+ φ y t a e kk k k k=1k k=–∞.

La relazione che c’è tra le due forme è la seguente: è utile rappresentare le sinusoidi come fasori. La formula per il calcolo dei coefficienti della serie nota y(t) su un periodo la si ricava sfruttando l’ortogonalità delle sinusoidi e la forma in fase e quadratura.

T1 ∫ ( ) valor medio m= y t dtT 0T T2 2∫ ∫( ) ( )( ) ( ); con k 1= = C y t cos ω t dt D y t sin ω t dtk k k kT T0 0. Quindi la rappresentazione degli a in modulo e fase sull’asse delle pulsazioni per ogni è una rappresentazione discreta del contenuto in frequenza del segnale periodico ed il calcolo dei coefficienti rappresenta una trasformazione dal dominio del tempo a quello delle frequenze.

T1 ∫ – j ω t= (t )ea y dtk k T 0. Invece il calcolo dell’andamento di y(t) dai coefficienti costituisce la trasformazione inversa dal dominio delle frequenze a quello del tempo.

∞ ∑ – j ω t( )=y t a e kk K=–∞. Per quanto riguarda invece le funzioni non periodiche queste possono essere viste come funzioni di periodo infinito. Essendo T allora la distanza fra le armoniche 1/T 0 ottenendo così una funzione continua la trasformata di Fourier F { } – jωt( )=F ( ) ( )=Y ω y t y t e dt∞ –∞.

Mentre y(t) può essere riottenuta come l’antitrasformata di Fourier.

Proprietà della trasformata di Fourier

• Linearità: le componenti additive possono essere trasformate separatamente.
• Ritardo: F {y(t-τ)} = e Y(ω) lo sfasamento negativo dovuto al ritardo è -jωτ lineare in ω.
• Derivata: F {dy(t)/dt} = jωY(ω) vi è un anticipo di fase di 90° e una amplificazione proporzionale ad ω.
• Integrale: vi è un ritardo di fase di 90° e F { t ∫ y ξ dξ;} = Y(ω) / jω –∞. Un’attenuazione proporzionale ad ω.
• Scala temporale: F {y(at)} = (1/a)*Y(ω/a) se si va a restringere la durata di un impulso si allarga la banda.
• Simmetria della TdF: per y(t) reale Y(-ω) = Y(ω) ovvero si ha ReY(-ω) = ReY(ω), ImY(-ω) = -ImY(ω), |Y(-ω)| = |Y(ω)|, arg(Y(-ω)) = -arg(Y(ω)).
• Fase nulla: arg(Y(ω)) = 0 se e solo se y(-t) = y(t), si tratta di una proprietà utile per la progettazione di filtri.
• Teorema di Parseval: l’energia di un segnale nel tempo è pari all’energia della sua trasformata 2 ∫ |y(t)| dt = 1 /2π ∫ |Y(ω)| dω –∞ ∞.
• Convoluzione temporale: y * y (t) = t ∫ y (ξ)y (t–ξ)dξ –∞, nella convoluzione vale la proprietà commutativa. Questa proprietà è utilizzata per il calcolo della risposta y(t) di un sistema lineare asintoticamente stabile se noto l’ingresso u(t) e una risposta all’impulso h(t). La trasformata di Fourier di h(t) quindi rappresenta la risposta in frequenza di H(ω) e coincide con la trasformata di Laplace di h(t) per s=jω H(ω) = F{h(t)} = L {h(t)}.

Significato della convoluzione è quindi il seguente la trasformata di Fourier della convoluzione di due funzioni è uguale al prodotto delle trasformate delle funzioni stesse.

• Moltiplicazione nel tempo: F {y (t) y (t)} = (1/2π) Y (ω) * Y (ω)1 2 1 2.

Un caso particolare è quello della modulazione di ampiezza di una sinusoide, y(t)*cos(ω t) dove cos(ω t) presenta due righe spettrali (impulsi) in -ω e ω0 0 0 0 per questo Y(ω) viene replicato traslato intorno alla posizione della portante.

Lezione 3

I segnali possono essere di diverse tipologie: analogici a tempo continuo, discreti nel tempo e numerico (un segnale discreto nel tempo e nelle ampiezze). Preso un segnale analogico possiamo effettuare un campionamento nel tempo e nelle ampiezze e un processo di quantizzazione così da passare da un segnale analogico a uno digitale (conversione A/D).

Segnale tempo continuo x(t) è definito in ogni istante di tempo, tramite un campionamento di y(t) otteniamo un segnale a tempo discreto x(n) che è costituito da alcuni valori di x(t) uniformati nel tempo. Il segnale a tempo discreto si ottiene quindi prendendo alcuni valori di x(t) con un numero di campioni a scelta, l’intervallo di tempo tra due campioni si chiama T (periodo di campionamento).

Ricordando che l’impulso di Dirac è il limite di una serie di funzioni con base sempre più stretta (passaggio al limite della funzione). Possiamo dire che il campionamento di una funzione y(t) a un istante t è y(t1) * δ(t–t1) che è l’impulso di ampiezza y(t1).

Una sequenza infinita di impulsi distanti tutti un determinato T prendono il nome di pettine di Dirac che corrisponde alla sommatoria ∑ δ(t–iT ) ∞ i=–∞. Si può così arrivare ad avere un segnale campionato a passo costante T nel dominio del tempo continuo moltiplicando y(t) con il pettine di Dirac. Mentre nel tempo discreto questo segnale è visto come serie di numeri.

Forniscono le stesse informazioni, serie d’impulsi modulata usata per calcolare l’informazione persa nel campionamento se si possono interpolare i campioni, con quale approssimazione e il tipo di interpolazione ottimale. Si possono verificare degli errori nel campionamento se viene usata una F c troppo bassa:

• Quindi un segnale con banda limitata di larghezza B può essere campionato purché la frequenza di campionamento sia f > 2B_c.
• Campionare equivale a modulare l’ampiezza di una serie di impulsi spaziati T moltiplicando y(t) per un pettine di Dirac.
• Un pettine di Dirac è un segnale periodico che contiene tutte le armoniche con ampiezza, allora la trasformata di un pettine di Dirac è un altro pettine con impulsi nel dominio delle frequenze spaziati da un valore f _c= 1/T_c.
• Alla moltiplicazione nel dominio del tempo corrisponde una convoluzione nel dominio delle frequenze.

Risultato campionamento è: Teorema di Shannon o del campionamento “la frequenza di campionamento deve essere almeno doppia rispetto alla massima frequenza presente nella banda occupata dal segnale” > 2ω_C M Fissata la freq. di campionamento la massima freq. presente ω_M = /2π deve essere minore della metà di quella di campionamento ω_N = ω_C/2 = /4π. Dove ω_N prende il nome di frequenza di Nyquist.

Un fenomeno particolare è quello dell’aliasing dove segnali differenti una volta campionati possono diventare indistinguibili. Es. 3 sinusoidi 1.2, 5.2, 9.2 Hz campionate a 4 Hz danno tutte lo stesso campionamento, infatti la trasformata di Fourier della 1.2 Hz presenta due impulsi a +1.2 e -1.2 che replicati intorno ai 4 Hz danno un campionamento a 4k-1.2 e 4k+1.2 Hz e quindi considerando i vari k troviamo gli stessi impulsi in frequenza.

Filtri anti-aliasing: una volta scelta una f devo eliminare tutte le componenti oltre la frequenza di Nyquist di campionamento. Eliminando così le componenti che possono essere dovute al rumore.

Es. segnale di pressione arteriosa con freq cardiaca 66 battiti = 1.1Hz, prendo 20 armoniche con banda che va da 0 a 22 Hz. Effettuo un campionamento a 45 campioni al sec > 22*2 Hz. Inoltre il segnale è sporcato da un rumore alla freq di rete = 50 Hz. Quindi senza un filtro il segnale è sporcato da una componente a 5 Hz mentre con il filtro questa componente viene cancellata.

Un metodo per ricostruire un segnale a t. continuo è l’interpolazione fra campionati, si ottiene un risultato migliore se il segnale è sovracampionato. Se il teorema di Shannon è rispettato si può fare una ricostruzione ideale dove con un filtro passa basso ideale si eliminano le repliche della f introdotte dal campionamento.

Quantizzazione: si va a suddividere la dinamica D del segnale in n livelli dove n dipende dal numero di L bit di cui dispongo (n=2*L), invece l’ampiezza del livello è q=D/n. Il passo di quantizzazione determina la precisione della conversione di un segnale da analogico a digitale e dipende dal numero di bit.

Processo stocastico

Si va a considerare il valore di Y in un determinato istante t, come una variabile casuale che ha una propria distribuzione di probabilità p(Y ). Il segnale Y(t) viene visto come una delle tante possibili realizzazioni di un processo stocastico. Questo tipo di impostazione va a studiare quindi le caratteristiche statistiche del segnale.

Per definire un processo stocastico serve quindi conoscere la distribuzione di probabilità e le distribuzioni congiunte (ci si limita a quelle mono e bi-variate e ai momenti di primo e secondo ordine).

Diventano quindi importanti i concetti di:

• Valor medio: che è il valor atteso E(Y ) della distribuzione di probabilità p(Y ) e si calcola con la formula seguente: ∫ p (Y ) * Y₁ dY₁.
• Varianza: che esprime la dispersione intorno al valor atteso tramite le due seguenti formule: σ² = ∫(Y – E(Y ))² * p(Y ) dY₁.
• Deviazione standard: che esprime la dispersione intorno al valor atteso nella stessa unità dell’ampiezza di Y e viene anche indicata come ampiezza efficace del segnale.
• Indice di variazione %: esprime in % il rapporto tra ampiezza e polarizzazione del segnale.

In particolare, se abbiamo una distribuzione bivariata vengono considerate principalmente la correlazione e la covarianza. E(Y₁Y₂) = ∫∫ y₁y₂p(y₁, y₂)d_y1d_y2.