Scienza delle Costruzioni - Il problema di Saint-Venant

Il problema di Saint Venant

Eseguiremo lo studio della trave.

Cos'è la trave?

Definizione: la trave è un solido in cui una dimensione (cioè L) prevale sulle altre due (cioè B e H).

Alla trave sono applicate delle forze.

Ipotesi generali

1. Forma del solido: la trave ha asse rettilineo e sezione retta costante. Il SDR cartesiano ortogonale che useremo (x_c1, x_c2, x_c3) ha x_c3 coincidente con l'asse della trave.

Il problema di Saint Venant

Eseguiremo lo studio della trave.

Cos'è la trave?

Definizione: la trave è un solido in cui una dimensione (cioè L) prevale sulle altre due (cioè B ed H).

Alla trave sono applicate delle forze.

Ipotesi generali

Forma del solido: la trave ha asse rettilineo e sezione retta costante. Il SDR cartesiano ortogonale che useremo (x₁, x₂, x₃) ha x₃ coincidente con l'asse della trave e origine del baricentro G della sezione.

x₃ = 0

2) Materiale: il materiale è elastico, lineare, omogeneo, isotropo.

Perché? Perché tale ipotesi attua numerose semplificazioni sulle equazioni da usare.

3) Carichi: le forze di massa sono nulle => b_j = 0.

Ma il peso proprio? Si considera forza esterna.

Le forze di superficie sono applicate solo sulle basi x₃ = 0 e x₃ = L (cosa non vera: nella realtà è la superficie laterale ad essere caricata).

Il corpo è in equilibrio.

4) Vincoli: la trave non ha vincoli (e dunque niente R_v) ma è comunque ferma, ancorata al punto G(0,0,0).

In G(0,0,0), dunque:

• ⍵₁ = ⍵₂ = ⍵₃ = 0 Traslazioni
• ⍵_3,1 = ⍵_3,2 = ⍵_2,1 = 0 Rotazioni

Lo stato di tensione

5) Lo stato di tensione: ovvero σ_ij.

⨍n e v sono 2 versori ortogonali a scelta.

n = (ᵅ₁, ᵅ₂, ᵅ₃), n ⊥ al piano considerato.

Coseni direttori di n.

Ora la proiezione di t(P,n) su n è la tensione normale σ_nn.

Sugli elementi piani paralleli a x₃, n è ⊥ a x₃ di conseguenza.

Dunque n (ᵅ₁, ᵅ₂, 0).

Un coseno nullo indica ortogonalità, infatti.

Ebbene, suppongo che per questi elementi σ_nn = 0.

Ora σ_nn = t_ijᵅ_jᵅ_i.

Perché? σ_nn = [σ_ij : n_j] x n_i.

Sviluppando per n [ ᵅ₁, ᵅ₂, 0 ]: σ_nn - σ₁₁ᵅ₁² + σ₂₂ᵅ₂² + σ₁₂ᵅ₁ᵅ₂ x 2 x 2 = 0.

A che serve saperlo?

Per supporre qualcosa che ci renderà più semplice trovare σ_ij.

Poiché posso scegliere tutti gli η che voglio purché α₁² + α₂² = 0, suppongo:

• [α₁ = 0] ⇒ σ₂₂ = 0
• [α₂ = 1]
• [α₁ = 1] ⇒ σ₁₁ = 0
• [α₂ = 0]

Allora σ₁₁ = σ₂₂ = σ₁₂ = 0.

E quindi: σ_ij = | 0   0   σ₁₃ |          | 0   0   σ₂₃ |          | σ₁₃ σ₂₃ σ₃₃ |

Poiché σ_ij = σ_ji.

Conseguenze

Queste 5 ipotesi comportano notevoli riduzioni alle equazioni usate per risolvere il problema.

Problema

Ho un solido di volume V. È in equilibrio.

Gli sono applicate:

• Forze di volume, b_j = 0 per noi, in V
• Forze di superficie, f_j in 2V

E per questo il corpo si deforma.

In ogni punto del solido V(x₁, x₂, x₃) voglio conoscere:

• w_j spostamenti
• ε_ij deformazioni
• σ_ij tensioni

Per farlo ho le seguenti equazioni così trasformate:

1) Equazioni indefinite di equilibrio

(o equazioni di Cauchy)

Se il corpo è in equilibrio, in ogni punto interno a V:

(σ_ij,i + b_j = 0 in V ↳ derivata di α_j rispetto ad i.

(Ne tralascio la dimostrazione).

Per noi σ_ij,i = 0 in V.

Per j = 1 ⇒ ∂σ₃₁ / ∂x₃ = 0 ⇒ σ₃₁ = f(x₁, x₂).

Per j = 2 ⇒ ∂σ₃₂ / ∂x₃ = 0 ⇒ σ₃₂ = f(x₁, x₂).

Cosa significa? σ₃₂ e σ₃₁ sono le tensioni tangenziali.

Ovvero sono le proiezioni di t_n su V.

Il primo indice individua l'elemento piano.

Il secondo la direzione della componente.

Ebbene σ₃₁ e σ₃₂ sono le stesse per ogni sezione poiché non variano con x₃.

Li possiamo immaginare come le componenti del vettore tensore tangenziale:

τ₃ = σ₃₁i + σ₃₂j ⇒ τ₃ = f(x₁, x₂).

Per j = 3 σ₁₃,1 + σ₂₃,2 + σ₃₃,3 = 0 ⇒ σ₃₃,33 = 0.

Dunque σ₃₃ = Funz. lineare.

P.S. Se z₃ = 0, σ_33,3 = 0.

σ₃₃ = f(x₁, x₂).

Anche le tensioni normali non variano da sezione a sezione.

2) Equazioni ai limiti

Sulla superficie: f̂_j = σ_ijα_i.

x₃ = ℓ (base) → n(0,0,1).

• J = 1 f̂₁ = σ₃₁
• J = 2 f̂₂ = σ₃₂
• J = 3 f̂₃ = σ₃₃

x₃ = 0 (base) → n(0,0,-1).

Ho le stesse relazioni ma con segno -.

Superficie laterale.

n(α₁, α₂, 0).

0. σ_ijα_i.

J = 1 σ₁₁α₁ + σ₁₂α₂ = 0.

J = 2 σ₁₂α₁ + σ₂₂α₂ = 0.

J = 3 σ₁₃α₁ + σ₂₃α₂ = 0.

Cioè τ·n = 0!

τ·n = 0.

τ₃ = 0.

τ₃∥n.

3) Equazioni costitutive

Sono le equazioni che legano il tensore della tensione con quello della deformazione.

σ̅_ij = σ̅_ij(ε̅_ij).

Per un materiale elastico: σ̅_ij = C_ijklε̅_kl.

Che è una generalizzazione della legge di Hooke: F = K·u.

Tale equazione, però, si semplifica nell’equazione di Beltrami:

∇²σ̅_hk + ¹/_1+ν Iσ̅,_hk = 0.

Esse sono però soggette alle equazioni di contorno.

Dove E: modulo di elasticità normale (o modulo di Young).

ν: coefficiente di Poisson.

Diviene:

ε̅_ij = ¹/_E [(1+ν)σ̅_ij - ν Iσ̅ a_ij ].

Ora, nel nostro caso, Iσ̅ = σ̅₃₃.

Cosa se ne deduce?

(1 + ν̄) [σ_hK,11 + σ_hK,22 + σ_hK,33] + σ_33,hK = 0.

Per h_K,11 ⇒ σ_33,11 = 0.

h_K,22 ⇒ σ_33,hK = 0.

h_K,12 ⇒ σ_33,12 = 0.

h_K,33 ⇒ 2(1 + ν̄) + σ_33,hK = 0.

Ma ν̄ ≠ 0 σ_33,33 = 0.

h_K,13 ⇒ (1 + ν̄) [σ_13,11 + σ_13,22 + σ_13,33] + σ_33,33 = 0.

Ma σ₁₃ = f(x₁, x₂).

h_K,23 ⇒ (1 + ν̄) [σ_23,11 + σ_23,22 + σ_23,33] + σ_33,23 = 0.

Ma σ₂₃ = f(x₁, x₂).

Dunque: σ₃₃ = a + bx₁ + cx₂ + x₃(a₁ + b₁x₁ + c₁x₂).

Ma se t₃ = 0 il secondo termine è ∅.

P.S. x₁, x₂, x₃ sono le coordinate del punto in cui mi trovo.

Principio di Saint-Venant

Quello che conosciamo delle forze non sono le effettive distribuzioni delle forze superficiali f applicate sulle basi, ma _R e _M, le risultanti.

Saint-Venant propose:

Se una certa distribuzione di forze superficiali agenti su una porzione della superficie di un corpo è sostituita da un altro agente sulla stessa porzione, gli effetti prodotti dalle due distribuzioni in punti sufficientemente distanti dalla zona di applicazione della forza sono essenzialmente gli stessi, purché le 2 distribuzioni di forze abbiano la stessa _R e lo stesso _M.

Il volume che risente della particolare distribuzione di forze superficiali è tratteggiato.

Esempio: ^f _N = ^N= _Â/2 = _Â/2.

Risultante delle forze superficie applicate alle basi

Base x₃ = ℓ.

Sono Ŕ ed Ṁ le risultanti, rispetto a G.

Ŕ = (Ṫ₁, Ṫ₂, Ň).

Ṁ = (Ṁ₁, Ṁ₂, Ṁ₃).

Nel SDR (x₁, x₂, x₃):

1) Ň = ∫_A f₃ dA; per il principio di Saint-Venant.

Ṫ₁ = ∫_A f₁ dA.

Ṫ₂ = ∫_A f₂ dA.

2) M̂₁ = momento rispetto a x₁.

M̂₁ = ∫_A ƃ₃ dA = > ƒ̂₂ //; ƒ̂₂ br. ⊘ porta x₁ su x₃.

M̂₂ = ∫_A -ƃ₃ dA porta x₁ su x₃.

M̂₃ = ∫_A ((ƒ₂ x₁ - ƒ₁ x₂) dA ↓       → porta x₁ su x₂   porta x₂ su x₁.

P.S. Ora, le proiezioni di  e M̂ sugli assi d'inerzia sono le caratteristiche di sollecitazione.

Per una generica sezione:

N = Ň;   T₁ = T̂₁;   T₂ = T̂₂;

M₁ = M̂₁ - T̂₂ (ℓ - x₃).

M₂ = M̂₂ + T̂₁ (ℓ - x₃).

M₃ = M̂₃.

Dunque ...

Ň̂ = ∫_A σ₃₃dA; Ť̂₁ = ∫_A σ₃₁dA; Ť̂₂ = ∫_A σ₃₂dA.

Ṃ̂₁ = ∫_A σ₃₃x₂dA; Ṃ̂₂ = ∫_A -σ₃₃x₁dA.

Ṃ̂₃ = ∫_A (σ₃₂x₁ - σ₃₁x₂) dA;

Casi fondamentali

1) Forza normale semplice.

Ň̂ Ň̂ N = Ň̂ ≠ 0. Ť̂₁, Ť̂₂, Ṃ̂₁, Ṃ̂₂, Ṃ̂₃ = 0.

2) Flessione semplice.

Ṃ̂( ) Ṃ̂Ṃ̂ = Ṃ̂₁i + Ṃ̂₂j.

Ň̂ = Ť̂₁ = Ť̂₂ = Ṃ̂₃ = 0.

3) Torsione