Appunti Scienza delle costruzioni

Cinematica del corpo rigido

Un corpo è infinitamente rigido quando la distanza tra due punti appartenenti al corpo rimane invariata. aZVa Bhe as invariataCorpo ,, P 4x z)QPS(P) y=OP , ,P· (x) z)Qp! y!= , ,(4 wh(xS(P) z)v= y, , ,,-Y*

Gradi di libertà

Ogni corpo rigido in un piano presenta 3 gradi di libertà, ovvero 3 spostamenti elementari che può compiere:

• Traslazione verticale
• Traslazione orizzontale
• Rotazione (attorno ad un asse perpendicolare al piano)

Queste sono 3 quantità in grado di definire la configurazione del sistema.

In un corpo rigido tutti i punti si muovono della stessa quantità durante il moto di traslazione rigida; il corpo però può anche ruotare. Y R(1-COSt)R-RCOSO =Rosa⑮ 42 04Qp 0RSINO = .,S(P) ERCOSO 04QP RSING rispettoè negativo all'asse= X, .54a =E[R(-COSO) O⑳ S(P) R(1-COSO)RSING RSIN=ix ,,0 - jI[ &

Ipotesi di piccoli spostamenti

Gli spostamenti che compie un corpo rigido vengono considerati infinitesimi, dunque la configurazione iniziale corrisponderà circa a quella finale, proprio per questo posso studiare solo quella iniziale. Co CE=G RG)4 1)RSINO)!Per cost)-D R(S(P) R( ROZSIND-0= ++ === - ---COSO 1-tauo-oj OFRn S(P)Sappiamo GnqP S(P) GnOPche = == == = -↓ Torpodal rotazionepiano che ruotaasse vettore↓ 40x(0 04 Ozhdalledescritto coordinate 0 by= ,., ,dgde3

Per calcolare i gradi di libertà dello spostamento finale dobbiamo tenere conto della posizione iniziale S(0) e dello spostamento del punto S(P) S(0) Ggde0nop= += =39d2 3 gde(S(P) JE !54 whSappiamo =IS(P) /4)che v == ,,44S(0) 24(0) OKo By0= , , z0)yd(zpXo)(yp(xp --- ↓ svolgo detcalcolarecome per !yoOy(zp Qz(ypzo)Il ! - - -Oz(Xp Xozo)t (zp8 x - -- Xd)By(Xp8x(yp yo) -- --Sy "

Dunque =+ OxBy Zp-zo0-I ↑ROTAZIONE CASOTENSIONE 3DDI Ww = - =- S! !CASO laannulliamo2D 3 componente=s rigidodelNel caso corpoPl IS(P)l.Ir 101IPO=↑ -(P) En5up)u(p) S Oz(yp y0)PM = ->0ExpExo)Yp-YoIt (p)v =-or Xp Xo-"Ca assolutorotazionecentro rigidocorpo

Vincoli

Sono un modello di dispositivo che verte a limitare i gradi di libertà di un corpo. I vincoli che collegano gli elementi strutturali al suolo sono chiamati esterni, quelli che connettono fra di loro due o più elementi strutturali sono detti interni.

I vincolo hanno una struttura finita. Una prima semplificazione si ottiene modellando il vincolo come un corpo puntiforme e quindi agente su di un unico punto della struttura. Una seconda semplificazione consiste nel trascurare le forze di attrito inevitabilmente presenti nei dispositivi reali: si parla di vincoli lisci.

Si parla di dualità statico-cinematica che si basa su due aspetti: quello statico perché i vincoli erogano delle forze concentrate dette reazioni vincolari; cinematico perché pongono delle limitazioni agli spostamenti delle sezioni in cui sono applicati.

Vincoli esterni

VIETATIMOVIMENTI traslazione" è la CERNIERA 2 permessanon orizzontaleVerticale eToPENDOLO 2 traslazioneè lapermessanon orizzontaleVerticale e traslazioneè laDOPPIO :PENDOLO 2 permessanonlungo& lal'asse rotazionene00E O è la rotazioneBIPENDOLODOPPIO 1 permessanono 8s 3 è movimentoINCASTRO permessonon nessun" 1 traslazioneè laCARRELLO permessanon (lungo l'asseverticaleO -0 O1111 MOLTEPLICITÀ di vincolom un↓ ge soppressidinumero

Classificazione cinematica dei sistemi vincolati

Il numero dei gradi di libertà non nulli sono detti anche grado di labilità. lCerniera galnella 1 1= = == 2gdecarrello 2 2==- == ( movimentolo ceFissose sistema alcunvincolato #3 gde non===(c'è110 cinematismolabile allenose sistema un= V VeVa

Dunque per stabilire le condizioni di vincolo teniamo conto dei vincoli interni e dei vincoli esterni +=I parametri per caratterizzare i vincoli sono:

• V (grado di vincolo, cioè somma delle molteplicità di tutti i vincoli presenti)
• L (gradi di libertà, 3n)
• I (numero vincoli inefficienti)

1) ! VineFVerFVi Veinformazioni sul grado eV VL da= non ++= == .2) Clabile cinematismo Veff-V S V.= =. & (V-Viner)L -↓ L- V Viner LV eViner+ +. = = -= ea V L

Teorema di Eulero

Teorema di Eulero + -Se un corpo è labile, esiste un moto di corpo rigido attorno al centro di rotazione del corpo labile sovrabbondantie vincoli.Vi d S con. sovrabbondanti0N20 labile vincoli.VS senza= . sovrabbondantivincoli0C Fisso senza1 S0 V== .. sovrabbondantivincoli2 0 Fisso con0 S V= ..

Teoremi catene cinematiche

Questi due teoremi si basano sull’allineamento dei centri di rotazione per determinare se una struttura è labile.

1 Teorema delle catene cinematiche Affinché una struttura composta da almeno 2 corpi sia labile, i centri di rotazione dei due corpi e il centro di rotazione relativa devono essere allineati botsa

2 Teorema delle catene cinematiche Affinchè una struttura con almeno 3 corpi sia labile, i centri di rotazione relativi tra i corpi devono essere allineati ba e (PLV)P

Principio dei lavori virtuali

Il lavoro virtuale è il lavoro delle forze applicate al sistema vincolato per ogni spostamento infinitesimo ≠ 0. & Lo spostamento infinitesimo compatibile con i vincoli si chiama spostamento virtuale. Vogliamo adesso trovare P tale che il sistema rimanga fisso, imponiamo dunque l’equilibrio.

P↓O inO fap)S 0C V850= 0+= =, f((p) f((ap) 0+ =A B P w(c) u(B) 0ap =+- . .I P(0a )e) <P(0S ·+ 0+ =- -oa(- e)Ob(xPPL) -POal <POB4e+ 0+, =+I , .↓↓ POaldi <Pale Va 1zdi = dmomento momento =+ = --Crispettoap aPrispetto al(polo deKOa =+- Da 2x0a+0a(n 22) Da 00 + Da+ = =deve essere11 x24 p+ = == -

Equilibrio

Si definisce configurazione di equilibrio la configurazione deformata assunta dal sistema vincolato in quiete tale che la risultante R e il momento risultare polare M delle azioni esterne e vincolari siano nulle" REQuazonE carbinali dellaA chi! Se lo spostamento del sistema è molto più piccolo rispetto alle dimensioni del sistema stesso, allora posso approssimare la(e r),[Fy 0= configurazione deformata a quella indeformata (nota)E [Fz(ev) CIPO SPOSTAMENTIps PICCOLI== .[Mp(eu p=Impyler) g=r)Ce =QI

1 Postulato fondamentale della statica dei corpi rigidi

Un sistema vincolato è in equilibrio se è solo se il sistema di Forze e Momenti ha R = 0 e M = 0 per ciascun sottoinsieme del sistema vincolato abbiamo. Se lo èin ogni parteun eqcorpo = sua.

2 Postulato fondamentale della statica dei corpi rigidi

Se un corpo 1 esercita una forza su un corpo 2, allora il corpo 2 esercita una forza uguale e contraria sul corpo 1 di principio azione-reazione.

Problema statico

Assegnato un sistema di n corpi rigidi vincolati, soggetto a forze esterne, determinare, se esistono, forze reattive (vincolari) in grado di equilibrare quelle esterne. Le reazioni vincolari possono essere ottenute utilizzando le equazioni cardinali della statica per ciascuno dei corpi del sistema.

dBFr FaUtilizziamo un'equazione + =Fr vincolarireazionidelle incognitevettore· =Fa Forzedellevettore esterne· = ordinedi equilibrio dicatriceB nxm=·

Per capire quando il problema statico ammette soluzioni e quando tale soluzione è unica ci si avvale del Teorema di Rouché-Capelli. Detto p il rango della matrice di equilibrio B:

• M=n=p: Sistema staticamente determinato o isostatico (le reazioni vincolari possono essere univocamente determinate)
• P=n<m: Sistema staticamente indeterminato o iperstatico (le reazioni vincolari sono determinate anmeno di soluzioni AS IVLl determinato=0 staticamenteISOSTATICO= 7 !a x0= V LC >0= indeterminatostaticamenteIPERSTATICO-78xe impossibilestaticamenteBe staticament per

Parametri di sollecitazione

I parametri di sollecitazione sono delle azioni interne, cioè grandezze definite a livello di sezione trasversale nella trave, per effetto delle azioni esterne nel viaggio di trasferimento ai vincoli.3

Una trave è un solido generato da una figura piana che si muove in R mantenendosi perpendicolare alla traiettoria descritta dal suo baricentro G. Se la lunghezza della trave è molto maggiore rispetto alla sezione trasversale, possiamo approssimare il solido con l’asse della trave (1D). Nel baricentro di ogni sezione è possibile definire univocamente un sistema di riferimento locale (terna intrinseca).

- t(s) tangente Gsinallaversore curva=N ↓ dIGs-ofds ↓ binormale(s) versoren(s) =normaleversore= I1 [(s)(s)dt(s) k ==dsdell'assedi kcorrispondef che curvaturaGsinraggio curvatura == della approssimocirconferenzaraggio meglioal chela Gsincurra

Principio delle sezioni

Questo principio fornisce il metodo per il calcolo delle azioni interne (PDS) vv

1- Abbiamo una trave caricata e vincolata in equilibrio, dove i vincoli sono sostituti con R e MFl Mi~aS(s) "MeFoIgenericai sezione trasv .&sYX Fr

2- Interrompiamo la continuità in S (s)S(s) F->to M9 AFo me

3- Si postula l’equilibrio di azioni interne per equilibrare i due corpima Per il secondo postulato della statica, le forzeS(s) Er Fe- interne applicate sono uguali e contrarie, in questo>to M modo raggiungiamo l’equilibrio.9Mi AFa Fo~ me =F(F

Caratteristiche di sollecitazione

(t(s) b(s)) x(F Ma(s)](s)n(s) ,, , prodottoscalareFxt(s) Maxsollecitazione +(s) (s)MassialeN(s) torcentemomento+= === Mix (s)Fix di Mn(s)sollecitazione taglio(s) FleuenteTn(s) Momento= === MixFix Mb(s)b(s)b(s) disollecitazione taglioTb(s) fleuente= momento= == Tbb(w" b(s)M S(s)- - (s)st sMt- sMbMaun(s)n(s)~ Mr~

In una trave piana, anche i parametri di sollecitazione appartengono al piano medio.

Equazioni indefinite di equilibrio della trave piana

q(z)T(z) dz) diConcio trave IaM(z) M(z +~ ~Palda- 3 dz)N(zN(z) +~+ &m(z)dz N'dz'T(z dz)+

• Equazione di equilibrio alla traslazione orizzontale dz)FH& N(z)N(z P(z)dz 00 + += == -N(z)dz)N(zLim p(z)d pdN(z)+ =- = = --dzdz dz0-
• Equazione di equilibrio alla traslazione verticale= Fu 0 T(z dz)T(z) p(z)dz 0= + + += - =Lim dz)T(z p(t)dz d-TCt) -A+ =+ = =-dz 0 dz-
• Equazione di equilibrio alla rotazione [Mp m(z)dz dz)dz0 dz)m(z T(zM(z) T(z)d+ += += - --liv M(z)dz)M(z T(z dzT(z)dz -m(dztTdz)d tm(z)dz+= + )+ =- + == -dz 0 dz- m(z) d↓ per =dz dM(z) Tz=dsed)AM(H) dMA dT(t) =-= ==

Convenzione di segno

Si considera un momento positivo quando il concio tende le fibre inferiori della trave, mentre il momento è negativo quando tende quelle superiori.

Il taglio è positivo quando fa girare la trave in senso orario.

Quando lo sforzo assiale è positivo, allora abbiamo una trazione, quando invece è negativo abbiamo una compressione.--- ·. IN) P Nr O TsO

Equazioni indefinite di equilibrio della fune inestensibile

La fune è un elemento strutturale che adatta la sua forma in funzione delle azioni esterne ed è in grado di resistere solamente allo sforzo assiale di trazione&s " V(z)N(z)~dz 7 -q(z)y ↓H(z)a)~ --dz & H(z dz)dy +--- (p s &taur W ~ dz)dz N(z~ +d V(z dz)+~

• Equazione di equilibrio alla traslazione orizzontale& FH 0 H(z ( H(zdz) dz) HH(z) H(z) COST== =+= =+ =-(d(z))H (z) N(z) COSTcos ==
• Equazione di equilibrio alla traslazione verticale[ Fu p(z)dzV(z)0 dz)V(z ++== + daVardz) -V(z) p()dzLive == -dz dz0-V H taud= -Hy↓ -adHdy)d =Hdy ===

Analogia della fune Mc(diM(t)Sappiamo H-p(z) p()che e === trave Fune"IIIIIIII"IIIIIIII'nc) MCA)

Corpo deformato

Dalle ipotesi di corpo rigido sappiamo che un corpo è infinitamente rigido quando, presi due punti appartenenti al corpo, la loro distanza rimane invariata. Siamo nell’ipotesi di spostamenti infinitesimi, dunque approssimiamo la configurazione finale con quella iniziale.

Cosa succede se tolgo l’ipotesi di corpo rigido e inizio a considerare l’ipotesi di corpo deformato? I vettori spostamenti hanno anche la componente della deformazione, oltre a quelle di traslazione e rotazione. Quando avviene la deformazione, devo tenere conto che l’area, gli spigoli o il volume cambiano. Se prima consideravo quantità infinitesime u,v,w adesso considero infinitesime anche le loro derivate.

!u(xX(x z)z) x=Dz(x +I yy ,, , ,y'(x w(Xz) LAGRANGIANAVERSIONEz)yyy +=, ,,, w(x z)z) yzy +=, ,, ,S(P)&p +⑩Q =5(P) 44 wπzju Un + += =z2X sY z# mette in correlazione le due configurazioniF Co -C FF :F f= 1 Sp: = :- -

Requisiti per un corpo deformato

• Il punto P non può finire in due posizioni diverse (meccanica del continuo, il corpo non si frattura)
• Se inizialmente ho due punti, essi dovranno finire in due posti diversi (sennò avrei compenetrazione di materia): f iniettiva
• Se i due punti sono infinitamente vicini nella configurazione iniziale, anche in quella deformato dovranno essere vicini (meccanica del continuo): f continua
• Se ho una curva, essa deve rimanere tale anche in configurazione deformata, non posso avere spezzate (sennò avrei una rottura): f derivabile
• f deve garantire la CONGRUENZA, quindi deve rispettare i vincoli

In questi casi, f si dice omomorfismo.

Tensore della deformazione

Si vuole analizzare il cambiamento di configurazione dell’intorno infinitesimo di un punto P (x,y,z) del solido. Per farlo consideriamo un punto Q distinto dell’intorno posti a distanza infinitesima: dr = PQD DdaxpZ (yaypazn +(X z)P y= , ,· (X dz)dydxa + y z+ +=-X , ,w)(4S(P) v= ,,un! ((2dy(2)dx(a) +Vp +v +==dzLdr- --JACOBIANOJ GRADIENTETENSORE SPOSTAMENTODI=

Corpo deformato! S(a) S(P) Ipdr+= Corpo rigidoS(a) S(P) wpdr+=

Per riconoscere il significato meccanico dello spostamento di Q, è conveniente scomporre la matrice J nella sua componente simmetrica E (matrice della deformazione pura),e nella componente antimetrica W(matrice della rotazione rigida)[pT] E(Ep-Ip]Ep [p= ++↓ ↓= E---