Esame di Stato Liceo Scientifico 2003: Risoluzione e commenti prova matematica PNI - Luigi Lecci

Esame di Stato di Liceo Scientifico S.O. 2003 Luigi Lecci

Risoluzione e commenti alla prova di matematica

Esame di Stato di Liceo Scientifico - Sessione ordinaria 2003

Corso Sperimentale P.N.I.

Risoluzione e commenti alla prova di matematica

Luigi Lecci

Liceo Scientifico “G. Stampacchia”, Tricase

Sintesi dei contenuti

• La struttura delle prove ...e il problema della valutazione oggettiva
• La specificità della prova di matematica del 2003 del PNI
• Commenti:
• Problema 1
• Problema 2
• Questionario
• La prova parametrizzata e valutazioni assegnate
• Confronto con le prove degli anni precedenti
• Considerazioni conclusive
• Risoluzione completa dei problemi e dei quesiti

La struttura delle prove e il problema della valutazione oggettiva

Sulla struttura della prova

La struttura del tema d’esame per il Liceo Scientifico nel corso della sua storia ha subito un’evoluzione considerevole. Fino alla sessione del 1970 la prova consisteva nella risoluzione dell’unico problema assegnato.

Dal 1971 il Ministero ha proposto 3 o più problemi dei quali il candidato doveva risolverne due per ottenere il massimo dei voti. La struttura è stata conservata fino all’anno 2000.

Anno 2001: cambiamento della struttura

Con la prova del 2001 è stata introdotta la nuova struttura, ancora in vigore. Il testo della prova dell’esame di Stato di Liceo Scientifico è composto da due problemi e da un questionario che raggruppa 10 quesiti.

La richiesta è: il candidato risolva uno dei due problemi e 5 dei 10 quesiti in cui si articola il questionario.

Convegno Nazionale “L’insegnamento della matematica nel quadro delle riforme”

Santa Cesarea (LE) 28 set. 2 ott. 2003

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Risoluzione e commenti alla prova di matematica

Valutazione delle prove e certificazione delle competenze

Il problema della valutazione della prova scritta di un candidato riveste enorme importanza giacché in virtù della nuova modalità di certificazione delle competenze maturate al termine del ciclo di studi liceali (in centesimi) ad ogni prova scritta sono riservati 15 punti.

La valutazione massima per lo studente

Il punteggio massimo con cui uno studente può conseguire il titolo di studio è 100 ottenuto sommando:

• 20 punti di credito scolastico;
• 45 punti riportati nelle prove scritte (3×15);
• 35 punti riportati nel colloquio.

Il bonus

Ricordiamo inoltre che ad uno studente può essere attribuito un punteggio suppletivo (bonus), da 1 a 5 punti, per particolari meriti, purché abbia riportato almeno 15 punti di credito scolastico ed abbia totalizzato con le 4 prove d’esame (le tre prove scritte ed il colloquio) almeno 75 punti.

L’importanza di una valutazione oggettiva

Viste le modalità con cui si costruisce il punteggio dell’esito finale per ogni candidato e soprattutto nella consapevolezza che in occasione dell’attribuzione delle valutazioni in ogni momento del percorso si va a certificare il grado di acquisizione delle conoscenze, delle competenze e delle capacità, sembra opportuno che almeno sulle prove d’esame predisposte dal Ministero siano fornite delle griglie di valutazione di riferimento che permettano ai docenti di non discostarsi eccessivamente nell’attribuzione dei punti nelle prove.

Importanza della griglia di riferimento

La disponibilità di una griglia garantisce gli alunni i quali, pur appartenendo a classi diverse, si troveranno alla fine almeno una parte dei punti di credito loro riconosciuti che saranno stati determinati in virtù di parametri di riferimento uguali per tutti (i commissari).

La griglia di riferimento ed il valore legale del titolo di studio

D’altra parte, considerato che il titolo di studio ha valore legale, non si capisce perché due utenti debbano ricevere riconoscimenti (classificazioni) diversi in presenza di elaborati sostanzialmente equivalenti per il solo fatto che appartengono a gruppi diversi (classi o istituti scolastici diversi).

La professionalità del docente e il diritto dell’utenza

Sono convinto che un docente, nel momento in cui si accinge a valutare un elaborato, sia in occasione di un esame di Stato, sia per un normale compito in classe dei propri allievi, si sforzi di assicurare la massima obiettività, mettendo in atto ogni accorgimento affinché “a ciascuno sia riconosciuto quanto dovuto”. Il docente si gioca tutta la sua professionalità e la credibilità; sono certo che ciascuno faccia del proprio meglio. Ma, per l’importanza che avranno per il futuro dei candidati le valutazioni riportate in occasione degli esami di Stato, evidentemente le buone intenzioni del singolo docente non sono sufficienti, anche se le valutazioni espresse dal docente di una certa disciplina sono accettate e condivise dagli altri docenti componenti la commissione. Per rendere più esplicito il convincimento, vorrei far riflettere sulla realtà che ci troviamo a gestire oggi in occasione degli esami di Stato.

La commissione è composta dai soli docenti del consiglio di classe (n. 6) e dal Presidente, un soggetto (Preside o altro docente) che di solito ha competenze specifiche in determinate discipline, ma certamente non in tutte quelle oggetto d’esame per il candidato. In occasione della valutazione delle singole prove d’esame il docente titolare della disciplina propone la valutazione dell’elaborato (o sul colloquio) che gli altri colleghi accettano quasi sempre senza entrare nel merito (soprattutto perché spesso si ritengono incompetenti nella materia).

Tutti noi vogliamo esercitare il diritto all’informazione, perseguiamo la trasparenza negli atti amministrativi che ci riguardano e soprattutto combattiamo quelle azioni che messe in atto contribuiscono a creare, sia pure non premeditatamente, trattamenti difformi.

Per offrire un servizio migliore all’utenza suggerisco parametri di riferimento certi cui ciascuno di noi si dovrebbe attenere, almeno quando le sue decisioni concorrono significativamente a definire titoli duraturi per i soggetti valutati.

La griglia del Dipartimento di matematica e fisica del Liceo G. Stampacchia

Con questo spirito il Dipartimento di Matematica e Fisica del Liceo Scientifico ha predisposto ed approvato in data 31-gennaio-2002 una griglia di valutazione delle prove scritte, che si può ovviamente applicare anche alle prove orali.

Ogni Collega del Dipartimento è tenuto a fare riferimento alla suddetta griglia nell’attribuzione delle valutazioni ai propri studenti.

La griglia è riportata in appendice alla presente relazione.

Conclusione: l’autonomia intoccabile della commissione e la funzione notarile del Presidente

Alcuni ritengono che il Ministero non possa parametrizzare le prove indicando i punti che si dovrebbero assegnare alle singole parti della prova (valutare ciascuno dei problemi ed ogni quesito che compongono la prova) perché ogni commissione è sovrana nell’attribuire la valutazione.

Personalmente ritengo che quest’opinione rispecchi il classico tentativo dello scaricarsi di responsabilità per lasciare ad altri soggetti il compito, ahimè!, di sentenziare.

È anche vero, tuttavia, che si invita il Presidente, unico per tutte le commissioni dell’Istituto, a mettere in atto ogni azione affinché tutte le commissioni definiscano dei criteri omogenei per le valutazioni (soprattutto per le prove scritte). Si sa com’è andata a finire in questi tre anni di esperienze! Il Presidente è stato ridotto ad un semplice notaio, impossibilitato a presenziare allo svolgimento dei colloqui sia perché impegnato nel disbrigo di atti formali, sia perché…non avrebbe saputo in quale commissione collocarsi… senza suscitare risentimenti….

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Le mie attenzioni per attribuire valutazioni uniformi

Nel processo di valutazione degli elaborati in genere assegno i “punteggi grezzi” alle singole parti che utilizzerò successivamente nella fase di definizione dei voti da assegnare alle prove. La scelta della modalità seguita per l’assegnazione delle valutazioni è dettata da diversi criteri docimologici e soprattutto da una riflessione autocritica conseguente ai risultati complessivi della prova per tutta la classe. Non è qui il caso di entrare nel merito. Si rinvia al lavoro specifico Matematica e PC in Aiuto alla valutazione (L. Lecci - aprile 1999. Pag. 11-17). In Appendice_2 riporto solo la scheda riepilogativa delle formule relative a cinque modelli matematici applicabili per l’elaborazione dei punteggi grezzi dei quali mi sono occupato nel lavoro.

Definizione della griglia per la prova dell’esame di Stato del 2003

Dopo queste brevi considerazioni sull’opportunità di disporre in generale di una griglia di riferimento per la valutazione degli elaborati, riporto la griglia adottata in occasione della correzione degli elaborati di matematica (per la classe 5D del L.S. “Stampacchia” di Tricase) nella sessione ordinaria dell’esame di Stato del 2003.

(N.B. Non figura la parametrizzazione del Problema n. 1 perché non è stato affrontato da alcun candidato)

Valutazione delle parti del Problema n. 2

Problema_2 ∩

Cost. a,b,c Graf. Area Int. Grf. Punti

Retta r

g(x) S, Alg. Inform. 1/g(x) g’(x)

1,5 2 1 3 1 1 0,5 10

Valutazione dei dieci quesiti

Q1 Q2 Q3 Q4 Q5 Q6 Q7 Q8 Q9 Q10

0,5 1 1,5 1,5 1 1,5 1,5 1 1 1,5

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Si osservi che al primo quesito è stato attribuito il punteggio più basso e che i quesiti 3-4-6-7-10 sono stati ritenuti più impegnativi degli altri.

La specificità della prova di matematica del 2003 del PNI

I due problemi ed i quesiti che sono stati assegnati nel giugno 2003 sono riusciti a coprire vasta parte del programma di matematica previsto nel curricolo.

Nel primo problema c’è stata anche la presenza della geometria razionale del piano. L’obiettivo richiesto era quello di determinare un noto luogo geometrico (la versiera di M. G. Agnesi) descritto da un punto vincolato nel suo moto da condizioni ben precise.

Problema 1 (testo)

Nel piano sono dati: il cerchio di diametro OA = a, la retta t tangente a γ in A, una retta r passante per O, il punto B, ulteriore intersezione di r con γ, e il punto C intersezione di r con t.

La parallela per B a t e la perpendicolare per C a t s’intersecano in P. Al variare di r, P descrive il luogo geometrico noto con il nome di versiera di Agnesi [da Maria Gaetana Agnesi, matematica milanese, (1718-1799)].

1. Si provi che valgono le seguenti proporzioni:

OD : DB = OA : DP

OC : DP = DP : BC

ove D è la proiezione ortogonale di B su OA;

2. Si verifichi che, con un’opportuna scelta del sistema di coordinate cartesiane ortogonali e monometriche Oxy, l’equazione cartesiana di Γ è:

y = ^a3 / (x² + a²)

3. Si tracci il grafico di Γ e si provi che l’area compresa tra Γ ed il suo asintoto è quattro volte quella del cerchio γ.

(A margine ho riportato la figura utilizzata per la risoluzione del problema)

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Commento alla prova

La presenza della geometria nella prova

La prima parte del Problema_1 si risolve applicando solo nozioni di geometria del biennio (similitudine, teorema della secante e della tangente condotte da un punto ad una circonferenza).

Sono richieste conoscenze di geometria dello spazio, affiancate a conoscenze dell’analisi matematica, per risolvere il Quesito n. 3 (Trovare un cono circolare retto di capacità massima).

La presenza della goniometria

Ancora nel Problema_1 si richiedono conoscenze e competenze goniometriche per determinare l’equazione cartesiana del luogo geometrico ed una certa capacità dello studente a gestire la scelta del riferimento cartesiano ortogonale al quale riferire il luogo geometrico.

La presenza dell’analisi matematica

Le competenze di analisi matematica richieste nel Problema_1 sono state di vario genere anche se di difficoltà media:

• Studio completo di una funzione razionale fratta;
• Calcolo di un integrale definito improprio, per il quale si è rivelata necessaria la conoscenza della funzione circolare f(x) = arctgx;

Problema 2 (testo)

Sia f(x) = a^2x + b^2-x + c con a, b, c numeri reali. Si determinino a, b, c in modo che:

1. la funzione sia pari;

2. f(0) = 2

3. ∫₀¹ f(x) dx = 2 log 2

Si studi la funzione g ottenuta sostituendo i valori così determinati e se ne disegni il grafico G.

Si consideri la retta r di equazione y = 4 e si determinino, approssimativamente, le ascisse dei punti in cui essa interseca G mettendo in atto un procedimento iterativo a scelta.

Si calcoli l’area della regione finita di piano racchiusa tra r e G.

Si calcoli l’integrale ∫ dx / g(x)

Si determini la funzione g’ il cui grafico è simmetrico di G rispetto alla retta r.

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Commento

La presenza dell’analisi matematica

Il problema n. 2 è parso più articolato. Ritengo che l’impegno richiesto per la sua risoluzione sia stato maggiore rispetto a quello richiesto dal primo. Anche se devo dire subito che tutti gli alunni della mia classe hanno preferito affrontare il secondo, piuttosto che il primo.

Per la risoluzione del problema si devono possedere conoscenze e competenze adeguate sulla funzione esponenziale a livello algebrico ed a livello differenziale.

Per risolvere completamente il quesito il candidato deve possedere anche conoscenze e abilità nel campo dell’analisi numerica.

Come ormai da qualche anno capita, in uno dei due problemi si inseriscono quesiti di analisi numerica: per far determinare lo zero di una funzione (la soluzione di un’equazione) con delle approssimazioni successive;

per calcolare un valore approssimato di un integrale definito, il cui valore esatto a volte non è esprimibile elementarmente. In questo caso si è trattato di determinare lo zero della funzione, g(x) = 4 - 2^x - 2^-x, mettendo in atto un procedimento iterativo a scelta del candidato.

Alcuni candidati hanno scelto il metodo delle tangenti e delle secanti di Newton-Fourier, altri il metodo dicotomico.

(Per i dettagli relativi si rinvia alla risoluzione completa del problema.)

Calcolo di un integrale definito e simmetria assiale

Anche nel problema_2 non è mancata la classica richiesta del calcolo dell’area di una regione finita di piano. Il candidato in questo caso ha avuto la possibilità di dimostrare di essersi accorto della presenza di una simmetria (rispetto all’asse y) del diagramma della funzione. Per altro, il testo del problema come ultimo quesito richiede di determinare il simmetrico rispetto ad una retta parallela all’asse delle ascisse del diagramma della funzione g(x) = 2^x + 2^-x, nonché l’espressione analitica della funzione corrispondente.

Uno sguardo ai dieci quesiti: i quesiti non sono della stessa difficoltà

La banalità del primo quesito (calcolo combinatorio)

Q.1 - Quante partite di calcio della serie A vengono disputate complessivamente (andata e ritorno) nel campionato italiano a 18 squadre?

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Soluzione

Poiché ogni squadra deve incontrare tutte le altre nel girone d’andata evidentemente se le squadre sono 18 saranno necessarie 17 giornate. In ogni giornata le partite disputate sono 9 (numero di coppie che si compongono con le 18 squadre) e quindi le partite disputate nel girone d’andata sono 9 · 17 = 153; altrettante partite saranno disputate nel girone di ritorno, quindi il numero complessivo di partite è 2 · 153 = 306.

Commento

Probabilmente l’estensore del quesito aveva intenzione di testare le conoscenze del candidato sul calcolo combinatorio; aver scelto, però, proprio 18 squadre, è stato facile per tutti fornire la risposta, se non altro per il gran parlare che se ne fa tutto l’anno.

Inoltre, visto che non era espressamente richiesto di giustificare la risposta, il candidato non si è sentito obbligato a fornire alcuna giustificazione e quindi a non dover parlare di combinazioni semplici… (Confronta la soluzione completa per altri dettagli).