Ripasso di geometria per Analisi 1

La retta

La retta è un insieme di punti allineati.

Analiticamente la retta si esprime con un'equazione di primo grado nelle due variabili x e y: ax + by + c = 0 con a, b, c ∈ R

• 2x + 3y - 6 = 0 --> eq. di retta
• 2x - 3y - 6 = 0 --> non è un eq. di retta
• 2x - 3y ² 6 = 0 --> non è un eq. di retta

Come rappresento una retta

x | y
0 | 2
3 | 0

Do un valore a x e vedo quanto vale y.

0 + 3y - 6 = 0             8 + 3y - 8 = 0

3y/3 = 6/3        y = 2            3y/3 = 0/3          y = 0

Isolo la y:

by = -ax / b - c / b

y = -a/b _a/b + _-c/b

Rappresenta l'intercetta della retta con il semiasse delle ordinate.

Coefficiente angolare

Rappresenta l'inclinazione della retta con il semiasse positivo delle ascisse m

m 2x + 3y - 6 = 0

m = -a/b = -2/3    q = -c/b = 6/3 = + 2

Quando m è negativo l'angolo è ottuso.

y = mx + q

La retta

La retta è un insieme di punti allineati.

Analiticamente la retta si esprime con un'equazione di primo grado nelle due variabili x e y:

2x + 3y - 6 = 0

2x + 3y - 6 = 0 - D. Non è un' eq. di retta

2x + 3y = 6

Come rappresento una retta

X = 0, Y = 2

X = 3, Y = 0

0 + 3Y - 6 = 0

Y = 2

3Y/3 = 6/3

Y = 0

3Y/3 = 0/3

2X + 3Y - 6 = 0

Isolo la Y

BY = -AX - C

Y = - ^A/_B + ^C/_B

Rappresenta l'intercetta della retta con il semiasse delle ordinate.

Coeff. angolare

Rappresenta l'inclinazione della retta con il semiasse positivo delle ascisse.

2X + 3Y - 6 = 0

Quando M è negativo l'angolo è ottuso

Angolo acuto m positivo

a, b sono concordi — m > 0 — acuto

a, b sono discordi — m < 0 — ottuso

q = -_c/_a

se a = 0 m = 0

se b = 0 m = non definibile

by + c = 0 => y = q

ax + c = 0

_ax/_a = -_c/_a

in fisica sono fermi, infatti m != 0

Ax + By + C = 0

a = 0 by + c = 0 y = -_c/_b

b = 0 ax + c = 0 x = -_c/_a

c = 0 ax + by = 0 passa per l’origine

a, c = 0 by + 0 = 0 y = 0

b, c = 0 ax + 0 = 0 x = 0

1. x può assumere qualsiasi valore, rimane 0 perché q = 0 m = 0
2. y può assumere qualsiasi valore, rimane 0 perché b = 0 m = non definito
3. y è zero, la x può assumere qualsiasi valore, la retta coincide con l'asse delle ascisse
4. x è zero, la y può assumere qualsiasi valore, la retta coincide con l'asse delle ordinate

Rette parallele e perpendicolari

Due rette le diciamo parallele se hanno lo stesso coefficiente angolare.

Scrivi una retta parallela ad AB: y = ¹/₃ x + 3

Basta lasciare lo stesso coeff. angolare e cambiare q.

y = 2x + 4

y = 2x + 3

y = 2x → che passa per l'origine

y = 2x + 10

y = 2x + ¹/₂

Due rette le diciamo perpendicolari quando hanno i coeff. angolare uno il reciproco dell’altro.

Scrivi la perpendicolare di y = 2x + 4: y = -¹/₂ x + 7

Scrivi l’equazione passante per il punto P(2,2) e parallela alla retta di equazione y = 2x + 1

y = 2x + q

2 = 2·2 + q sostituisco con le coordinate

2 = 4 + q

-6 = q

q = -6

La circonferenza

La circonferenza è un insieme di punti del piano, un luogo geometrico dei punti del piano equidistanti da un punto fisso detto centro.

(x - α)² + (y - β)² = (r)²

(x - x)² + (y - β)² = r² - equazione cartesiana di una circonferenza

Esercizi

1)

C(1, 3)

r = 2

(x - 1)² + (y - 3)² = 4

x² + 1 - 2x + y² + 9 - 6y = 4

x² + y² - 2x - 6y + 6 = 0

2) Determina l'equazione della crf. avendo per diametro il segmento di estremi A(-3, -6) e B(1, 4)

x_m = x_A + x_B / 2 = -3 + 1 / 2 = -2 / 2

y_m = y_A + y_B / 2 = 6 + 4 / 2 = -2 / 2

C(-2, -1)

AB = √(x_A - x_B)² + (y_A - y_B)² = √(-3 - 1)² + (-6 - 4)² = √4 + 100 = √104

(x - α)² + (y - β)² = r² ES. cartesiana

(x + 2)² + (y + 1)² = r² = (√104 / 2)²

(x + 2)² + (y + 1)² = 104 / 4

Equazione cartesiana

Elaboro l'equazione cartesiana:

x² - 2dx + y² - 2by + α² + β² - r² = 0

-2α = a

-2β = b

α = -^a/₂

β = -^b/₂

Coordinate del centro

α² + β² - r² = c

r² = α² + β² - c

r² = (-^a/₂)² + (-^b/₂)² - c

r² = ^a2/₄ + ^b2/₄ - c

r = √(^a2/₄ + ^b2/₄ - c)

Si prende solo la parte positiva poiché il raggio è una lunghezza.

x² + y² + ax + by + c

Eq. canonica

Deve mancare il termine xy e coeff. dei termini di secondo grado devono uguali tra loro (coeff. di x² e y² devono essere 1) in un'equazione di una circonferenza.

se a = 0

x² + y² + by + c = 0

α = -^a/₂.

Centro sull’asse delle y

se b = 0 → β = 0

Centro sull’asse delle x

se a, b = 0 → α, β = 0

Centro nell'origine

se c = 0

La crf. passa per gli assi

Iperbole

L’iperbole è il luogo geometrico la cui differenza delle distanze dai fuochi è costante.

PF₁ - PF₂ = 2a

a > c

b² = a² - c²

x²/a² - y²/b² = 1

25x²/36 - 4y²/25 = 36/36

a = 6

b = 3

c = 9

a PF₁ - PF₂ = 2a

x²/a² - y²/b² = n

b² = c² - a²

25x²/36 - 4y²/25 = 36/36

Come disegnare l'iperbole

x²/4 - y²/9 = 1

A(-2;0)

B(2,0)

C(0;-3)

D(0;3)

Gli asintoti, rette che si avvicinano alle iperboli, si determinano con y = ±(b/a)x e passano per l'origine.

A e B prendono il nome di vertici reali; i vertici si trovano con il sistema primo con x = 0 e poi y = 0.

{x²/4 - y²/9 = 1
x = 0}

{-u²/9 = 1
u = 0}

{y²/9 = 1
y² = 9}

{x²/4 - y²/9 = 1
y = 0}

{x²/4 = 1}

{x²/4 = 4
y = 0}

x = ± 2

y = 0

A(-2; 0)

B(2; 0)

C e D sono vertici non reali poiché nascono da un sistema che non ha soluzione.

CD è l'asse non traverso.

AB è l'asse traverso.

y = 3/2 x

y = -3/2 x

Per disegnare i vertici

Eccentricità

e = c/a

c² = a² + b²

c² = 13

e = √13/2

e ≥ 1 nell'iperbole

Ellisse

PF₁ + PF₂ = 2a cost.

x²/a² + y²/b² = 1

F₁(c;0)

F₂(-c;0)

a e b sono i semiassi

l'ecc. è compreso tra 0 e 1

e = c/a

se è sull'asse delle y

e = c/b

P.405 Es.169

A(4;0) = f₁(c;0)

B(-4;0) = f₂(-c;0)

c = 4

P_A + P_B = 10

PF₁ + PF₂ = 2a

10 = 2a

a = 5

sulle x

a² - c² = b²

5² - 4² = b²

25 - 16 = b²

b² = 9

b = 3

x²/25 + y²/9 = 1

V₁(-5;0)

V₂(0;-3)

V₃(5;0)

V₄(0;3)

r = c/a = 4/5

x²/25 + y²/9 = 1

a = 5   b = 3

Trova le inters. con gli assi

se l'ellisse è centrato solo i vertici principali ma pieni

ep. ellisse

asse x

x²/25 = 1

x² = 25

x = ±5

y = 0

(5;0)

(-5;0)

ep. ellisse

asse y

x = 0

y²/9 = 1

y² = 9

y = ±3

(0;3)

(0;-3)

Funzione omografica

^x2/_a² - ^y2/_b² = 1

a = b → ^x2/_a² - ^y2/_b² = 1 → x² - y² = a²