Analisi matematica II per ripasso

Dispense Analisi Matematica II - Mercatorum

DISPENSE COMPLETE - ANALISI MATEMATICA II

Universitas Mercatorum - Corso di Analisi Matematica II

Materiale di studio costruito sul programma ufficiale fornito: 54 lezioni, obiettivi formativi, contenuti del corso e

modalità di verifica.

COME STUDIARE QUESTE DISPENSE

Il programma di Analisi Matematica II è molto ampio. Non va studiato come una lista di formule, ma come un

percorso logico:

1. Spazi normati e topologia: servono a dare un linguaggio rigoroso a limiti, continuità, compattezza e

convergenza.

2. Funzioni di più variabili: estendono l'Analisi I da funzioni di una variabile a funzioni definite su R^n.

3. Calcolo differenziale in R^n: introduce derivate parziali, differenziabilità, gradiente, Hessiana, Taylor,

massimi e minimi.

4. Curve e integrali curvilinei: collegano l'analisi alla geometria e ai campi vettoriali.

5. Successioni e serie di funzioni: studiano il passaggio al limite per famiglie infinite di funzioni.

6. Serie di potenze e Fourier: permettono di rappresentare funzioni come somme infinite.

7. Forme differenziali e campi vettoriali: introducono campi conservativi, potenziale, circuitazione, rotore e

divergenza.

8. Equazioni differenziali ordinarie: descrivono fenomeni dinamici tramite relazioni tra funzioni e derivate.

9. Misura, integrazione e integrali multipli: generalizzano l'integrazione a insiemi e funzioni più complesse.

10. Teoremi della divergenza e di Stokes: collegano integrali su domini e integrali sui bordi.

PARTE I - SPAZI NORMATI, METRICI E TOPOLOGIA

1. Introduzione agli spazi normati

Uno spazio normato è uno spazio vettoriale nel quale è definita una funzione chiamata norma, che permette di

misurare la lunghezza di un vettore. Uno spazio normato si indica con: (V, ||.||)

Dove: Blocco 1 - Spazi normati, funzioni in R^n, limiti, differenziabilita, estremi

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 V è uno spazio vettoriale;

 ||x|| è la norma del vettore x.

La norma deve soddisfare tre proprietà fondamentali:

1. Positività: ||x|| >= 0 e ||x|| = 0 se e solo se x = 0.

2. Omogeneità: ||lambda x|| = |lambda| ||x||.

3. Disuguaglianza triangolare: ||x + y|| <= ||x|| + ||y||.

Esempio fondamentale: norma euclidea

In R^2, per un vettore x = (x1, x2), la norma euclidea è:

||x|| = sqrt(x1^2 + x2^2)

In R^n: ||x|| = sqrt(x1^2 + x2^2 + ... + xn^2)

Questa norma generalizza il concetto geometrico di distanza dall'origine.

2. Spazi metrici

Uno spazio metrico è un insieme in cui è definita una distanza tra due punti.

Si indica con: (X, d)

Dove:

 X è un insieme;

 d: X x X -> R è una distanza.

La distanza deve soddisfare:

1. d(x,y) >= 0;

2. d(x,y) = 0 se e solo se x = y;

3. d(x,y) = d(y,x);

4. d(x,z) <= d(x,y) + d(y,z).

Collegamento tra norma e distanza

Ogni spazio normato genera naturalmente una distanza:

d(x,y) = ||x-y||

Questa formula significa che la distanza tra due punti è la norma della loro differenza.

Blocco 1 - Spazi normati, funzioni in R^n, limiti, differenziabilita, estremi

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3. Elementi di topologia

La topologia studia concetti come intorni, insiemi aperti, insiemi chiusi, punti di accumulazione, frontiera,

compattezza e continuità.

Questi concetti sono fondamentali perché in Analisi II il comportamento delle funzioni non si studia solo lungo

una retta, ma in spazi multidimensionali.

4. Intorni

Dato un punto x0, un intorno di raggio r è l'insieme dei punti che distano da x0 meno di r:

B(x0,r) = {x in X : d(x,x0) < r}

In R^2, un intorno è un disco aperto. In R^3, un intorno è una sfera aperta.

5. Insiemi aperti e chiusi

Un insieme A è aperto se ogni suo punto possiede un intorno completamente contenuto in A:

per ogni x in A, esiste r > 0 tale che B(x,r) è contenuto in A.

Un insieme è chiuso se contiene tutti i suoi punti di accumulazione. Equivalentemente, il complementare di un

chiuso è aperto.

Esempio: (0,1) è aperto; [0,1] è chiuso.

6. Punti di accumulazione

Un punto x0 è punto di accumulazione per un insieme A se ogni intorno di x0 contiene almeno un punto di