Richiami di algebra. Fattorizzazione dei polinomi. Applicazione alle disequazioni

Fattorizzazione dei polinomi

Richiamiamo la scomposizione di un numero naturale in fattori primi:

m = p₁^m₁ p₂^m₂ ... p_k^m_k

p₁, p₂, ... p_k sono numeri primi distinti scritti in ordine crescente.

m₁, m₂, ... m_k sono numeri interi che rappresentano la molteplicità dei fattori, cioè quante volte quel termine compare nel prodotto.

Un numero può essere scomposto in uno ed un solo modo dei suoi fattori primi.

Es. 180 = 2 · 2 · 3 · 3 · 5 = 2² 3² 5

Nei polinomi l'equivalente del modo sopra dato dai numeri primi nell'insieme dei numeri è dato dai polinomi irriducibili, ovvero non divisibili in polinomi.

Raccoglimento a fattore comune

x⁴ - 3x³ + 5x² = x²(x² - 3x + 5)

< 0 quindi irriducibile.

Raccoglimento parziale

x⁴ + a²x² + b²x² + a²b² = x²(x² + a²) + b²(x² + a²) =

(x² + a²)(x² + b²)

< 0                              < 0

Prodotti notevoli

x² - a² = (x - a)(x + a)

x³ - a³ = (x - a)(x² + ax + a²)

x⁴ - a⁴ = (x² - a²)(x² + a²) = (x - a)(x + a)(x² + a²)

x⁵ - a⁵ = (x - a)(x⁴ + ax³ + a²x² + a³x + a⁴)

In generale:

Ma xⁿ - aⁿ = (x - a)(x^n-1 + ax^n-2 + a²x^n-3 + ... + a^n-2x + a^n-1)

Se "n" è pari, il binomio xⁿ - aⁿ è divisibile per x - a e per x + a; se "n" è dispari, il binomio xⁿ - aⁿ è divisibile per x - a (ma non per x + a).

x² + a² è irriducibile.

x³ + a³ = (x + a)(x² - ax + a²)

x⁴ + a⁴ è irriducibile.

x⁵ + a⁵ = (x + a)(x⁴ - ax³ + a²x² - a³x + a⁴)

Se "n" è pari, il binomio xⁿ + aⁿ non è divisibile né per x - a né per x + a; se "n" è dispari, il binomio xⁿ + aⁿ è divisibile per x + a (ma non per x - a).

Nella S, se n è dispari, in genere, avremo:

xⁿ + aⁿ = (x + a)(x^n-1 - ax^n-2 + a²x^n-3 + ... - a^n-2x + a^n-1)

Nelle espressioni: xⁿ - aⁿ, xⁿ + aⁿ, abbiamo evidenziato i due fattori del tipo x - a, x + a.

Nel caso fattori di questo tipo non si evidenzino, non significa che i polinomi non siano scomponibili, ma significa semplicemente che non hanno questi termini di 1° grado.

Ad es. x⁶ + b⁶

In questo caso non è divisibile né per x - b, né per x + b, poiché inserendo +b al posto di x, non ottengo “0”.

x⁶ + b⁶ = (x²)³ + (b²)³ = (x² + b²)(x⁴ - b²x² + b⁴) =

= (x² + b²)(x⁴ + 2b²x² + b⁴ - 3b²x²)

= (x² + b²)((x² + b²)² - 3b²x²) =

= (x² + b²)(x² + b² - radice di 3x)(x² + b² + radice di 3x)

Disequazioni con polinomi di grado superiore al secondo

Nelle disequazioni in cui sono coinvolti polinomi di grado superiore al secondo, ossia servirsi delle scomposizioni.

Es. 25

^x3 + 8──────────── < 03x⁴ - 7x³ + 5x² - 7x + 2

N(x) = numeratore D(x) = denominatore

Devo ridurre in polinomi di 2° e 1° grado e poi studiare le quantità che otteniamo.

Per N(x): x³ + 2³ = (x + 2)(x² - 2x + 4)

D(x): se riesco a trovare un numero reale tale che D() = 0 posso scrivere che D(x) = (x - )D'(x)

D' è un polinomio di grado minore di 1.

Per identificare c'è una regoletta che afferma che esistono soluzioni razionali dell'equazione D(x) = 0 se è un numero Q, se Q questo numero può essere scritto nella forma p/q dove p e q

devono essere presi fra tutti i possibili fattori del termine noto (p) e tutti i possibili fattori del coefficiente del termine di grado massimo (q)

Nel nostro esempio:

p = ±1, ±2

q = ±1, ±3

Si devono considerare tutti i numeri razionali che possono essere scritti con queste combinazioni di numeri ed otteniamo:

±1, ±¹/₃, ±2, ±²/₃

D(¹/₃) = 0     D(2) = 0

A questo punto divido il polinomio con Ruffini deprimendo per 2.

3   -7   5   -7   2

2     6   -2   6   -2

3   -1   3   -1   0

D(x) = (x - 2)(3x³ - x² + 3x - 1)

E successivamente divido per ¹/₃.

D(x) = (x - 2)(x - ¹/₃)(3x² + 3)

A questo punto riscrivo la disequazione in forma ridotta.

(x + 2)(x² - 2x + 4) / [(x - 2)(x - 1/3)³(x² + 1)] < 0

Termini:

(x² - 2x + 4) -> Δ < 0 quindi quest'ultimo strettamente positivo.

3(x² + 1) -> quest'ultimo strettamente positivo.

Possono tranquillamente essere esclusi dallo studio delle disequazioni, concludendo potremo scrivere così:

(x + 2) / [(x - 2)(x - 1/3)] < 0

Quindi se io devo cercare i punti in cui il quoziente N/D è negativo, il segno dipende

dal numeratore, e quindi non posso risolvere tranquillamente la disequazione.

y = x + 2

y = x - ¹/₃

y = x - 2

Con x < -2 le tre funzioni sono negative e quindi l'espressione totale è negativa.

Con x compreso fra -2 e ¹/₃ la 1ª funzione è positiva e le altre due sono negative e quindi l'espressione generale sarà positiva.

Con x compreso fra ¹/₃ e 2 ho due funzioni positive ed una negativa, quindi l'espressione generale sarà negativa.

Con x > 2 tutte e tre le funzioni saranno positive ed avrò una espressione generale positiva.

Quindi l'insieme delle soluzioni sarà:

(-, -2) (¹/₃, 2)

Es. 2

g(x) = (x⁵ - 2mx⁴ + 3x - 6m)/(x² - 1) >= 0

dom(g) = R \ {-1, 1}

N(x) = (x - 2m)(x⁴ + 3)

Quantità è sempre positiva, quindi non mi serve andare avanti nella scomposizione ai fini dello studio della disequazione.

Quindi per studiare i punti in cui ha il maggiore stretto mi basta studiare la disequazione:

(x - 2m)/(x² - 1) >= 0