Corso zero matematica - Parte 3

Polinomi

x² + bx + c

Trinomio di II^o grado

Scegliamo un insieme che sia sufficientemente ricco; in generale scegliamo i coefficienti e, b, c appartenenti a ∈ ℝ e, b, c ∈ ℝ.

Fatto ciò indichiamo con ℝ[x] l'insieme di tutti i polinomi nelle variabili x a coefficienti reali.

P(x) ∈ ℝ(x)

Preso un polinomio...

P(x) = e₀ + e₁x + ... + e_zx^z

Somme di tre monomi, il grado del polinomio è vero grado z se il coefficiente e_z ≠ 0, cioè è la potenza massima delle variabile x.

e ∈ ℝ ⇒ e ∈ ℝ [x]

Le costanti vengono interpretate all'interno di ℝ[x] come polinomi di grado zero.

0 ∈ ℝ [x]

Polinomio nullo

Lo interpretiamo come il polinomio che ha coefficienti nulli in tutti i gradi.

Polinomi

αx² + bx + c

Trinomio di II^o grado

Scegliamo un insieme X che sia abbastanza ricco, in particolare scegliamo i coefficienti α, b, c appartenenti ad ℝ:

α, b, c ∈ ℝ

Fatto ciò, indichiamo con ℝ[x] l'insieme di tutti i polinomi nelle variabili x a coefficienti reali.

P(x) ∈ ℝ(x) preso un polinomio...

P(x) = e₀ + e₁x + ... + e₂x²

Somma di tre monomi, il grado del polinomio avrà grado 2 se il coefficiente e₂ ≠ 0, cioè è la potenza massima della variabile x.

e ∈ ℝ => q ∈ ℝ[x]

Le costanti vengono interpretate all'interno di ℝ[x] come i polinomi di grado zero.

0 ∈ ℝ[x]

Polinomio nullo

Lo interpretiamo come il polinomio che ha coefficienti nulli in tutti i gradi.

Somma e differenza di polinomi

P(x) + Q(x)

Sono due polinomi la cui somma è un polinomio.

Ve le fate raggruppando i termini simili.

Cosa succede in R[x] rispetto all'operazione somma.

Siccome esiste il polinomio nullo, esiste l'opposto di un polinomio:

P(x) + Q(x)

-P(x) = P(x) + (-P(x)) = 0

L'opposto di un polinomio è quel polinomio tale che sommato a P(x) mi dà un polinomio nullo.

Come si ottiene l'opposto di P(x)?

È quel polinomio che ha i coefficienti tutti opposti a quelli di P(x).

Es.

P(x) = c₀ + c₁x + ... + c_zx²

-P(x) = -c₀ - c₁x - ... - c_zx²

R[x] rispetto all'operazione differenza

p(x) - q(x) = p(x) + (-q(x))

Prodotto di polinomi

p(x)= e₀ + e₁x + ... + e₂x²

q(x)= b₀ + b₁x + ... + b_Sx^S

p(x) * q(x) = e₀b₀ + (r₀b₁ + e₁b₀)x + ... + e₂b₂x^2S

Si moltiplica ciascun addendo del 1^o polinomio per tutti gli addendi del 2^o polinomio.

Conviene guardare i gradi e sistemarli per gradi partendo dal termine noto.

Se io considero un polinomio p(x) che sta in R[x], esiste un altro polinomio q(x) tale che p(x) * q(x) = 1?

p(x) ∈ q(x); p(x) * q(x) = 1?

No! Infatti nessun polinomio è invertibile perché 1/x non è un polinomio.

Rimanendo in R[x] due polinomi non si possono dividere l'uno per l'altro.

Divisione tra polinomi

p(x) : qd(x)

Per effettuare questo problema polinomio.

∃ q(x) ; p(x) = d(x) . q(x) + r(x)

tale che purché il grado di r(x) < d(x)

Dato p(x), quali sono i polinomi q(x) che dividono p(x). Tale che nella divisione ti debba resto zero?

Esempio 1

x³ + 4 x² − 2 x + 10 − 4 x² − x + 10 − x + 5

Non è una divisione esatta (verificare resto) quindi (x + 4) non è il quoto si chiama con nel caso in cui il resto zit zerone il polinomio.

Regola

Si inizia dividendo il termine di grado massimo del dividendo per il termine di grado max del divisore, il risultato lo si moltiplica per il divisore, e si dispongono ordinatami termini che si ottengono cambiando di segno.

Esempio 2

P(x) = x³ - 3x² + x + 1 Quali polinomi di 1^o grado dividono questo polinomio? (x - e) in quale ci divide il polinomio P(x), in R polinomio.

Quando il divisore è di 1^o grado si può applicare la regola di Ruffini!

(x - e) divide P(x) quando P(e) = 0

Ruffini ci dice che questo numero (e) fa posano essere dei divisori del termine noto:

P(1) = 1 - 3 + 1 + 1 = 0

Quindi: P(x) è divisibile per (x - 1).

Regole di Ruffini

P(x) = (x - 1) * (x² - 2x - 1)

P(x) ∈ ℝ[x]

Le ricerche delle radici x può fare per polinomi fino al grado 4 anche con procedimenti complicati, oltre il grado 4 non esiste alcuna formula risolutiva per trovare le radici.

Insiemi di polinomi con più variabili

ℝ[x,y]

Un polinomio è una somma di monomi nei quali contiamo potenze di x e potenze di y.

P(x,y) = e_o + a₁x + b₁y + ...

exy + by² + cx³

∈ ℝ[x,y]

Sto dicendo che le variabili sono x e y e a, b, c sono i coefficienti che stanno in ℝ, se non lo scrivessi non saprei quali fossero variabili e coefficienti.

Equazioni algebriche

Un'equazione è un'uguaglianza tra due polinomi che non è sempre vera, ma è verificata solo per qualche valore delle variabile x.

p(x) = q(x)

Esempio 1

(x - 2)² + 2x - 1 = x² - 2x + 3

x² - 4x + 4 + 2x - 1 = x² - 2x + 3

-4x + 2x + 2x = +3 - 3

0 = 0

Queste uguaglianze sono sempre vere qualsiasi sia il valore di x.

Non è una equazione ma prende il nome di identità!

Esempio 2

(x - 2)² + 2x - 1 = x² - 2x

x² - 4x + 4 + 2x - 1 = x² - 2x

x² - 4x + 2x + x² + 2x = -3

0 = -3

3 = 0

È una uguaglianza impossibile!

È una supertante sempre falsa per ogni x!

Esempio 3

(x - 2)² + 2x - 1 = 3

x² - 4x + 4 + 2x - 1 = 3

x² - 2x + 3 = 3

x² - 2x = 0

È un'equazione!

Non è sempre vera. Ci sono valori di x che soddisfano e valori di x che non soddisfano!

Equazione di 1^o grado

ex = b e ≠ 0 = 1/e * b => x = b/e

Equazione di 2^o grado

ex² + bx + c = 0 e ≠ 0

x = [-b ± √Δ] / 2e Δ = b² - 4ec Discriminante del trinomio

• Δ > 0 x₁ = [-b - √Δ] / 2e , x₂ = [-b + √Δ] / 2e
• Δ = 0 x₁ = x₂ = -b / 2e quando x₁ = x₂, il trinomio è un Quadrato Perfetto e si può scrivere come: (x + b/2e)² = 0 eliminiamo il quadrato perché facciamo il prodotto di due binomi uguali quindi le radici sono due ma coincidenti
• 3)Δ < 0 soluzioni non reali ma complesse le radici di un № negativo.

Relazione tra le radici x₁ e x₂ e i coefficienti

e, b, c,

ex²+bx+c=0

x₁ = -b - √b²-4ec

x₂ = -b + √b²-4ec

x₁+x₂ = -b

x₁x₂ = cee

Queste ci consentono di scomporre il trinomio:

ex²+bx+c = e (x - x₁) (x - x₂)

ex²+bx+c = ex² - e (x₁+x₂) x + e (x₁x₂)

Sostituendo otteniamo il trinomio di partenza.

Disequazioni algebriche

p(x) > q(x)

Polinomi trovare quei valori di x per cui queste sono vere.

Esempio

(x-2)² + 2x - 1 - (x² - 2x + 3) > 0

0 > 0

Non dipende dai valori che assume la x ma bensì dal segno, e così scritto >k⟩", sarebbe stato sempre vero qualunque valore assunto da x.

Che si tratti di una vera disequazione oppure no lo capiamo solamente una volta "pulita".

p(x) > q(x)

p(x) + d(x) > p(x) + d(x) p(x), d(x) > q(x), d(x)

d(x) ≠ 0

d(x) > 0

d(x) < 0

Equivale significa moltiplica per l'inverso cambio di segno <

Questi passaggi servono a ripulire la disequazione!

Una volta svolte troviamo una disequazione di questo tipo che dobbiamo risolvere:

ρ(x) > 0

Per risolvere dobbiamo prendere il grado. Dobbiamo isolare le x.

1⁰ grado

ex + b ≥ 0

e ≠ 0

ex ≥ -b

• Se e > 0

x ≥ -b/e

• Se e < 0

x ≤ -b/e

2⁰ grado

ex² + bx + c > 0

e ≠ 0

ex² + bx + c = 0 z = 2 scopre all'equazione secondo il teorema di Viète della radice.

• Δ < 0

b² - 4ec < 0

escluso = positivo

ex² + bx + c ≠ 0

In questo caso questo trinomio non si annulla mai, ha sempre il segno del primo coefficiente.

• Δ ≥ 0

ex² + bx + c = e ( x - x₁ )²

-x₁ = x₂ quindi mettiamoci il quadrato.

In questo caso il trinomio ha il segno di e se x ≠ x₁, o =0 per x = x₁.

3)Δ > 0   e > 0   ex²+bx+c ≥ 0

e (x-x₁)(x-x₂) > 0 x-x₁ > 0 x-x₂ > 0

oppure x-x₂ < 0 x-x₁ < 0

b < 0

P(x) > 0

P(x) grado > 2

In caso di grado superiore al secondo il polinomio si deve poter spezzare in polinomi con grado < 2.

Esercizio

x³ + 3x² - x - 3 > 0

1) Dobbiamo trovare una radice per poter scomporre il grado.

X = 1

1 + 3 - 1 - 3 = 0

2) Conoscendo una radice possiamo applicare Ruffini.

(x² + 4x + 3) (x - 1) > 0

3) Per stabilire il segno del prodotto dato basta controllare il segno di ciascuno dei due fattori.

(X-1) (X²+4X+3) > 0

disce l'prado il tepo andato

Dobbiamo trovare le sue radici.

X² + 4X + 3 = 0

X = ^{-4 ± √16 - 12}/₂

-1

-3

X > 1

-3 -1 1 3

e -3,1, 1

X il polonomio ee nero puille sono le radici.

Esempio 2

X³-4X²+3X+2 > 0

X = 1: 1 - 4 + 3 + 2 ≠ 0

X = -1: -1 - 4 - 3 + 2 ≠ 0

X = 2: 8 - 16 + 6 + 2 = 0

le radici. xi trovano tre i divijoni del termine meto!! Quindi 1, -1, 2, -2

Radice intera trovata.

X > 2

Possiamo usare le formule ridotte quando il coefficiente "b" è pari.

X = - ^b/₂ ± √[^(b)/₂]² - ac

X = 1 ± √2

Il trinomio risulta positivo per X > 1 + √2 e 1 + √2 < X < 2

Esempio 3

x⁴ + 2x³ − x² − 2x > 0

Si può scomporre in due modi differenti:

• (x² − 1) (x² + 2x) > 0
• (x² − x) (x² + 3x + 2) > 0

1 diagramma

+                     −     +          −

2    −1    0     1

2 diagramma

+               −           +          −

2    −1    0     1

I diagrammi sono totalmente diversi, ma le soluzioni sono le stesse!

Disequazione fratta

_P(x) ⁄ _φ(x) > 0

Rapporto tra due polinomi.

Esempio 1

x + 2 ⁄ 2x + 1 > x

2x + 1 ≠ 0

x ≠ ¹⁄₂

Poniamo l'equazione esatta:

x + 2 ⁄ 2x + 1 = x

Facciamo il m.c.m. (Si può fare solo in caso di equazione!)

x + 2 = 2x² + x

x² - 1 = 0

x + 2

2x + 1

è vera quando x ≠ -1/2

quel polinomio è negativo (vedi *)

Non posso esprimerlo nel disegno, ma sappiamo che il denominatore al variare di x cambia segno:

per x > -1/2 è positivo

per x x + 2x2x + 1 > 0

Facciamo il m.c.m.

x + 2 - 2x²

Divido il num. per -2 (lo capì); maggiore di 0

x² - 12x + 1 è equivalente a dire

x² - 1 (2x + 1) non può esistere in -1/2