Equazioni e disequazioni

Equazioni e disequazioni

Indipendentemente dal segno della disequazione il suo studio si effettua in questo modo:

• Si scompone, possibilmente, il polinomio in fattori di primo grado;
• Si studia il segno di ciascun fattore verificando sempre quando è positivo;
• Si mette tutto in un grafico indicando con una linea continua laddove il fattore è positivo, con una linea discontinua laddove il fattore è negativo;
• Si studia il segno del grafico ricordando che un numero pari di linee discontinue dà segno positivo, un numero dispari di linee discontinue dà segno negativo;
• Si guarda infine il segno della disequazione di partenza. I campi di soluzione sono quelli del grafico che corrispondono a tale segno.

Un polinomio di secondo grado avente il >0 assume sempre il segno del suo primo coefficiente

∆

per gli intervalli esterni alle due soluzioni e segno opposto negli intervalli interni.

Se il =0 il trinomio assume sempre il segno del suo primo coefficiente tranne in corrispondenza

∆

delle radici nelle quali si annulla.

Se il < 0 il trinomio assume sempre il segno del suo primo coefficiente.

∆

Un sistema di disequazioni si risolve procedendo in questo modo:

• Si risolve ciascuna disequazione;
• Si mettono i risultati all’interno di un grafico indicando con una linea continua solo i campi in cui ciascuna disequazione è verificata, non si mettono linee discontinue dove non si verifica la disequazione;
• Si evidenziano con un tratteggio i campi dove sono verificate tutte le disequazioni, ovvero i campi comuni a tutte le disequazioni. Tali campi rappresentano la soluzione del sistema.

( )

N x

Siano N(x) e D(x) due polinomi in funzione di x. Consideriamo il rapporto ( )

D x

 ( ) 0

N x =

( )

N x schema risolutivo equazione fratta.

0 ⇔

=  ( ) 0

D x

 ≠

( )

D x  ( ) 0

N x >

( )

N x schema risolutivo disequazione fratta.

0

o ⇔

> <  ( ) 0

D x

 >

( )

D x

1. Si mettono le soluzioni in un grafico, indicando con una linea continua laddove il polinomio è positivo, con una linea discontinua laddove il polinomio è negativo;
2. Si contano le linee discontinue, se sono in numero dispari il segno è negativo, se sono in numero pari il segno è positivo;
3. La soluzione finale è data dai campi che verificano il segno della soluzione di partenza.

( ) ( ) si risolve il seguente sistema:

Per risolvere un’equazione irrazionale del tipo A x B x

n =

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