Riassunto e dimostrazioni analisi 2

Riassunto 2^a funzione

Dominio

Dominio: Calcolare le C.E.

Segno e zeri

Segno e zeri: Calcolare f(x,y) > 0 sull'intero del dominio.

Prolungare per continuità

Prolungare per continuità: lim_{(x,y)→(a,b)} f(x,y) = L = lim_{(u,v)→(a,b)} f(φ(u,v)).

Limiti notevoli

lim_x→0 sinx/x = 1

lim_x→0 (1-cosx)/x = 1/2

lim_x→0 ln(1+x)/x = 1

lim_x→0 xⁿ/x = x^n-1

Derivate parziali

Derivate parziali: lim_h→0 (f(x₀+h,y₀) - f(x₀,y₀))/h = ∂f/∂x |_(x0,y0)

lim_k→0 (f(x₀,y₀ + k) - f(x₀,y₀))/k = ∂f/∂y |_(x0,y0)

Derivate direzionali

Derivate direzionali: D_N = f(P) = lim_h→0 (∇f ⋅ N ⋅ u)_h = f'(P), con N = Ψ/||Ψ||.

Piano π a f in P

π: Ζ ⋅ f(P), ∇f(P) ⋅ (x-x_P + y-y_P)

π: Ν ⋅ (x-x₀, y-y₀, z-z₀), con Ν = Ψ⋅ (x, y)

Differenziabilità

Differenziabilità: lim_{(h,k)→(x0,y0)} (f(x,y) - f(x₀,y₀) - ∇f(x₀,y₀) ⋅ (x-x₀,y-y₀))/((x-x₀)+(y-y₀)) = 0

Teorema del diff. totale

Teorema del diff. totale: Se f(x,y) sono reali e continui in un intorno del punto P, allora f è differenziabile in M.

Estremi liberi

Estremi liberi: Fermati:

f_x = 0

f_y = 0

∇H_P = |f_xy f_x| → |a > 0 min rel. a < 0 max rel.

Estremi vincolati

Estremi vincolati:

Moltiplicatori di Lagrange |f(x,y) = λg'| e poi calcola f nei punti g(x,y)=0.

Oppure parametrizza f in base a g e calcola f(g') > 0 con G(u) = f(y).

Riassunto 2^a timore

Dominio

Dominio: Calcolare le C.E.

Segno (zeri)

Segno (zeri): Calcolare f(x)≥0 sull'interno del dominio.

Prolungare per continuità

Lim_{(h,k)→(0,0)} f(x,y) e L = Lim_{(h,k)→(0,0)} f(μ,ν).

Limiti notevoli

Lim_x→0 x/sen x = 1

Lim_x→0 (1-cos x)/x = 1/2

Lim_x→0 ln(1+x)/x = 1

Lim_x→0 x-1/x = 0

Derivate parziali

Lim_h→0 (f(x+h,y₀) - f(x₀,y₀))/h = ∂f/∂x |_(x0,y0)

Lim_k→0 (f(x,y+k) - f(x₀,y₀))/k = ∂f/∂y |_(x0,y0)

Derivate direzionale

Derivate direzionale: D_vf(p) = Lim_h→0 (f(p+hU) - f(p))/h, con N = Uv.

Piano T_g a f in P

Φ: Z: f(p), ∇f(p) - (x-x_p - y-y_p)

Π: T: N(p) (x-x₀, y-y₀, z-z₀), con N = [i,j,k]

Differentiabilità

Differentiabilità: Lim_{(h,k)→(x0,y0)} (f(x+h,y+k) - f(x₀,y₀)) / (x-x₀ - y-y₀) = 0

F.d.G.

F.d.G: D_a(T) ∇f(P) ∙ n

Teo del diff. totale

Teo del diff. totale: Se f e y sono reale e continui in un intorno del punto P→ f è differenziabile in M.

Estremi liberi

Estremi liberi: P.t. Fermati:

ƒ_x = 0

ƒ_y = 0

H_ƒ = | ƒ_xx ƒ_xy | | ƒ_yx ƒ_yy | →

Estremi vincolati

Estremi vincolati: Moltiplicatori di Lagrange ƒ = λgƒ_x = λg₁ e poi calcol.: f nei punti G(x,y) = 0.

Integrali doppi

Coordinate polari: x=ρ·α·cos(φ) ^ y=ρ·sen(φ) ^ dxdy = ρ·dρdφ

Coordinate ellittiche: x=x₀·aφcosφ ^ y=y₀·bφsenφ ^ dxdy = a·b·dφdρ

Se E è pari e φ è dispari rispetto alle x → ∫∫E f(x,y)dxdy = 0.

Se E è pari e f è pari rispetto alle x → ∫∫E f(x,y)dxdy = 2∫∫E+ f(x,y)dxdy.

Applicazioni

• M = ∫∫E f(x,y)dxdy massa
• X_B = M^-1∫∫E xδ(x)δ(y)dxdy baricentro (se δ=const → X_B = X
• I = ∫∫E (x²+y²)·δ(x)δ(y) dxdy momento d'inerzia
• V = ∫∫E f(x,y)dxdy volume
• N_m = 1/Area(E) ∫∫E f(x,y)dxdy con A(E)=∫∫E 1 dxdy valor medio

Integrali tripli

Coordinate sferiche: x=ρ·senψ·cosφ y=ρ·senψ·senφ z=ρ·cosψ ^ dxdydz = ρ²senψdψdφdρ

Coordinate cilindriche: x=ρ·cosφ y=ρ·senφ z=z ^ dxdydz = ρdρdφdz

Applicazioni