Riassunto analisi vettoriale

Spazio vettoriale euclideo

R^m = { x₁, ..., x_m } : x_i ∈ R, i = 1, ..., m

Prodotto scalare

x・y = (x1, ..., xm), (y1, ..., ym) = ∑_i=1^m x_i y_i

Distanza

d₂(x, y) = √(x-y)・(x-y)

Deve essere:

• Non-negativa: d(x,y)≥0
• Simmetrica: d(x,y)=d(y,x)
• Diseguaglianza triangolare: d(x,z) ≤ d(x,y) + d(y,z)
• D(x,y)=0 → x=y

Identità del parallelogramma

|x|² + |y|² = 1/2 (|x+y|² + |x-y|²)

Insiemi in R^m

A⊆R^m → aperto se ∀ ō∈A ∃ ε>0 t.c. B(_ō, ε)⊆A

ō∈R^m → punto di bordo per A se ∀ ε>0 B(_ō, ε)∩(R^m\A) &neq;∅

ō∈R^m → punto di accumulazione per un insieme A⊆R^m

x_{n} ∈A ∀ n

∃ x>0

E⊆R^m → limitato ∃ R>0 t.c. E⊆O_R(0,R)

E⊆R^m → compatto se ∀ {x_i} ∃ ∃{x_ik} t.c. x_ik∈E

E⊆Rⁿ → convesso se ∃ x,y∈E allora ∃ z=x(1-λ)y ∃ z∈E ∀ λ∈[0,1]

E⊆R^m → connesso se ∃ x,y∈E ∃ θ(t)=x(1-t)+y(t)∈E ∀ t∈[0,1]

φ(0) = x

φ(1) = y

θ(0)= x ∀ _t=0

φ(1)=y

E⊆R^m → semplicemente connesso se qualunque curva da punto p a z torna in p definisce una porzione che contiene solo punti appartenenti ad E.

Funzione

Φ : E⊆R³ → R^k

γ: E⊆Rⁿ → γ continua in x₀ ∈ A se γ

γ continua in x₀

γ: [a,b]∈R³ → si dice curva

Curva continua

Φ: [a,b] → Φ(t) = {x(t), y(t), z(t)}

• Semplice se ∀ t1,t2∈(0,b) →θ(t) ≠θ(b)
• Chiusa se θ(a)=θ(b)
• Differenziabile se x,y,z sono derivabili in (a,b)
• Regolare se x'(t), y'(t), z'(t) ≠ 0

Velocità istantanea

Φ'(t) = {x'(t), y'(t), z'(t)}

Versore tangente

I(t) = Φ'(t) / |Φ'(t)|

Lunghezza della curva

L(Φ) = ∫_a^b |Φ'(t)| dt

È una proprietà

Inversa della curva → parametrizzazione

φ: A⊆R³ → R si dice continua in P∈A se lim Φ(x)=Φ(x)

lim {x&bar; - Φ(x)}=0

Spazio vettoriale euclideo

Prodotto scalare

distanza ₂(, )= √[(̄−̄)∙(̄−̄)]

Deve essere:

• Non-negativa
• Simmetrica
• Diseguaglianza triangolare

Identità del parallelogramma

A⊂^ è aperto

∈^ è punto di bordo

∈^ è punto di accumulazione

E⊂^ è limitato

E⊂^ è compatto

ℓ⊂^ è convesso

Φ: [, ] ⟶ℝ si dice curva

Φ è semplice

Φ è chiusa

Φ è differenziabile

Φ è regolare

Velocità istantanea

Versore tangente

Lunghezza della curva: A ⊂ ℝ³ ⟶ ℝ si dice continua in P₀∈A se

Infine posso anche scrivere il limite per la continuità come:

Piano generico

z = ax + by + c

Piano tangente

a una funzione nel punto (₀,₀). Ho i coefficienti: a = b = c =

Derivata differenziale

f:^n→

PEA aperto. Dico che f ha derivata differenziale se:

f messa a derivata in⁰ è finito.

Lim_h→0 =

Derivate parziali

Derivate parziali: sono derivate direzionali particolari. Le ho seⁱ = _i con

z = z(x,y)

f:^n→ ε h h=1

differenziabile nel punto P se: Lim _h→0 = 0

Operatore Nabla

∇ = ( ) = un'operazione differenziale vettoriale

Vettore gradiente

Grad : ∇ = ( )

Divergenza

div : ∇· = ε

Rotore

rot : ^→ == ((), (), )

Teorema del differenziale totale

f: A→ℝ con ASRⁿ aperto. Supponiamo

con PEA, ⁰ e(x) e ⁰siano continue in B(₀) x A, allora