Riassunto Analisi 2 - Quarta parte

Capitolo differenzialiequazioni 7 - differenziale F-

indipendentiincognita lelacoinvolge le stessaderivate variabiliche f.f.di eleqq sueuna= . ,. differenziali alle derivate parzialiincognita f. di variabilise èla equazioni 1piùf. una differenzialivariabilesolaincognita f. ordinariediSe èla equazionif. una 2unaEsempi aie sin incognita1 fla (tIf )dove è × yu+= , ,420×2 a incognitala ( )dove2 f&1 è" ( )-144 ' y x4 + e ×xp -=Data chiama+ < differenzialecan diordinariaF aperto☒ )( EDOequazione-1d- insieme siuna → con: , ( ) "' 00 ^ )(( ) ( nordine ) 'seguente Fla ) ) (In 4' ( (X 4,4 Y4F ' ) )4 y - )-1 n4 Xequazione X× ××n o: == ,, . ., , .. ,,. , ,,.

Soluzione d'ODELL' F-definizione

t.c.lt abbiaEIintervallo ☒I derivabiledefinita I) O volteYin f.) ✗(dell' EDO ) sisi ' ' Ylx in)"F M"4dice in4,4 unsoluzione cuna :× =., ,, , ,,. ,.( )" a('{ 4 ) ( ))' ( ) EXn nY4 (( ) - X× 4 ×× , . ,, _,.., " "'' ))(F (n) O)( 44 -' ( ( Y✗ X)Xy × ×, =.,, .. ,,ER dellasoluzioni F-DOtutte )f.le del (tipo Y' (KY1pct ( t) t)Kt )C sonocexp == -,tale detta anche soluzione integrale generalesoluzione chiamaè generale ( )f. ) EDOintegrale di generaleIn( una sio o. fissatifF-DO di dipendente parametri arbitrarivalorireali(di ordine deida T)CnM ceCf y ✗ ca Cnuna Czuna ( nn= c.e, , ,, .. ... , , ,,. .,. assegnatasoluzioneprecedente ordineF- DOdellaforniscel'parametri di nCnczC1 espressione una .., .. . ,,

Soluzioni singolari

soluzioni ottenuteSINGOLARI che generale mediante alcunasoluzionedaesserepossononon una= scelta costantidelleRISOLVERE significa soluzione generale differenzialedell'EDO trovare)INTEGRARE( un' equazioneo una .Vi esistenza differenzialisoluzioni reali(funzioni 2+1=0(y1) 1)di loldidi esempio)cariessere nonpossono :. costanti2) formata solala dipendesoluzioneCasi generale che dallefunzionedacui è CnCzin ceuna non ., ,, ..f.lasoluzioneche nullaha2+42=0( )ESEMPIO come'4:soluzione implicitaLa3) )formapresentare (generale EDO 0✗ Cndi Caci4Xpuòsi' :inun ; =,, , . ..,Un scrittadicediff )fIN' )yenNORMALE Yin )ordine FORMAdi è ^cosìlol (si '4,4se -m ×: = .,. . ,. , .forma 'consideriamo ordinedelF-DO normale continuaf apertoI f.fun' car A( ) d-Yin y inA- →× con= :,questaVogliamo fissatosoluzioni diff vogliamovedere t ( vederepunto7 ( )Yo )diycx a-di)) 0,40(XoY ✗se eq c. com ;=. . . { )t') ilPROBLEMA 4di 'seguentesotto CAUCHY ✗(7 del problemasoluzioniipotesiqualiquindi =: ) 40(Y Xo =qualisotto soluzionetaleipotesi è unicae derivabileintorno del puntodefinitaCauchy I t.c.lt/-cI haIsoluzione Xodel )4=4problema (di X inin un si: :, ,Xof- ) 40( Y ()') 4-1( ( 4 )()4× E e×× ✗ ==, ,

Teorema esistenza unicità

di e rettangolo{ Recchiuso41=5-1×14Sia Cauchydato f) continuachiproblemail (A f 7Se -1di apertoa 1 yo ) -1✗ uncon €ein→: o, . ,40(Y Xo) = Cauchyt.ci/f(X,4D-f(X,Yz)f-LIYi-YzlV- il(7 Lipschitz di] prob[40-13,40+13] ( )condizione allora)IXO RR ) diL 0a✗ ya(cui+ ×41-2 e> ×per✗o= ., , ,,,ha soluzionesolaeduna unaDIMOSTRAZIONE ha cheCauchy continuaProblema fdel essendodi ipotesiSe 7 allora fsoluzione ycx) ( unay) siuna per ×: , , , ,,":[identitàfra l'' =/integrandoC ( XoDunque I f) ottiene ds4 ) fI '4 A) )✗ ( ds(E ( ) 'e ( s4 ( )ye si× s y )x s=. , ,, ✗o#formula fondamentaleApplicando della otteniamointegralecalcolo ds( Y ( fy ) )Xo ( )× ( )y ss: =-, ,.

Equazione Volterra integrale

Cauchy questadi soddisfa cheproblemasoluzione del di èycxogni equazione): :✗/ f ds4 ( 40 () (X + ))4s s= ,✗oViceversa innanzituttohaprecedente 40alloradell' integralecontinua (soluzione( Xo)è y) siequazioneyse × una : =,, entrambi continuitàDerivando ottieneintegrale ladell' 'membri ((di ( f xD4 ) 4equazione )i si X ×y (:per x =, ,, Quindi continue deltutte soluzionisoledell'soluzione Cauchy lederivabile integraleDunque del lef( problema soluzioniedY ) diX è è sonoeq euna ..

Cauchy problema di condizione Lipschitz

haverificataquestadi continuola derivata fycondizione g-è se ( il))( y ✗×: ,rettangoloassolutoIn tal nelil teorema taleil R essendo/Weierstrass hala lfydi-2 caso ( y) malperin ×. , , ,chiuso ilQuindi flimitato teorema falla considerata della soladi Yapplicato (Lagrangeinsieme )y comepere ×. , ,,# *ha //// #(LI (42,41) {R If / -41-41142Ye 42 <f ( 4( 41,42) }( 42) dove) fy ) lfyk.nl%) *%) (( ≤si c-× 4 €12€E× e ix. 4)y× × oppure× Max: ==-, , , , ,,,

Teorema Peano

Teorema Peano Lipschitz verificata continuaPEANO d-lala condizione fadi è ) èdi ese in: non y ,,talehaproblema soluzionealmenoCauchyil soluzioneallora di esserepuò unicanonmauna ,

Tipi 7. 2 differenzialiequazione primo ordineordinariedi delF- 1°DO lineare ordineDEL-

continue intervallo Ic ☒f)' )qlx(4 pcx inPKIY )× un+ q con e == Moltiplichiamo entrambidella terminiSia f.pk dell'P primitiva ottienediff( (lxp)) )iX P (eq per ×una ) si :. .. , primitiva fdella' )4 (( () ( )tpPK PG)( )PK4 (()) (e ))exp e xp) P ) e× ( X)× qxp × xp ×q := È =/all'equivalente uguaglianzaquestaEssendo relazione dxtcotteniamo (P (' ( da 4) ) )è )(( (y ( ( PK)) P) )) )( ) XPcx) qcxPN lxp (X )) cui( )expex=p Xq exp× xp :: x=,Moltiplicando membrientrambi c)(otteniamo diC- fqcx (i ) 4K )Plxp PK)( C-)) )Pk) eX )exp xp +per : =,

Esempio del primo ordine lineare

ESEMPIO tutte dell' I°fornisce deldiff linearelesole soluzioni ordine: 41 ✗-2 eqe✗ = . . (Applicando formula c)C) ( "ha la £svolgimento P litC- )2 dxtc)(( 2) ×essendo )( ) (ZX ✗ X2 exp(4 x2X lxpX ce) -ti ( -✗ ✗ )exp +X xpp x2 + ==: = == -- -, . 2

Equazioni separabilivariabilidifferenziabili

A- continuef- definita Rintervallof f. di)( (( ))(y) Y' gY i n××g econ ciascuna un== ., Èhaprimitiva dataDall' regola )'f f KGKdiff Ff. compostaf- laSia 'di derivazione (y ((( -1-(41×1)y) di Y' ) ()(y ) ))di ( 4(mq yuna )siper ✗una ××: × ==.. . ,,Sgcxottiene primitivaG Fok Sia GCXdiF ) ( ) )) (4)si ( X gcx 1-) c.+ Cycx ) una: = =

Esempio di equazioni separabili

ESEMPIO 2424 ': ✗= TÈ ¥GFly (Svolgimento )f 2 ))42 gcx X(4) ✗ ee: === = È4£ # hafunzioneformaSoluzione (di 4ricavando X )implicita Xyte sii nin : == = , ulteriormenteCauchy chesoluzioneSOLUZIONE I del☒MASSIMALE problema di può4 essereè →una non::estesa intervalload alcun Ij > OMOGENEOMEMBRO Manfredi

Equazioni differenziali secondo omogeneo membro

EQUAZIONI DIFFERENZIALI )SECONDOA ( dio((¥ ¥¥ separabilidiff)continua Rintervallo' ) f.4 di avremmosennò varun' aleq≠e gin supponiamog g uncon= = ...Poniamo ottiene K)(' )(4 'così 2-)( Z)Z X X +✗si× == nell' 'data Zdifferenziale otteniamotaliSostituendo ¥valori ( )' 2-XZ g.1- Zleq ovvero: = =,. zg( )Z -4

Esempio omogeneo

ESEMPIO ✗'4: = 422✗ - ¥data scriverla 'Svolgimento l' 4comepossoeq: = =. È1- data XZZ ednell' diff avariatoèSostituendo IzaPoniamo ' '' Z( 4 ' 2-XZK XZxz leqovvero+) 4 sep2- +Z eq✗) + una× > = ==== . . ...zza2- ,✗✗Iz¥ Ed IzaDXf-¥ 1- lnln /1-2-2' IZI It2- 'Z ✗-2 ci> - -= = = == , -23 32-Ponendo ¥( -2×1CI-2¥lnc Èlucciln ln 1)ottiene da)(IZIci )lxpcioèCHIsi cui✗2-: ==- == -,Tenendo iniziale ¥dellaconto (sostituzione ) CHIxpe> == - ,Le soluzioni datadiffsingolari dell'f 00 0 41×1=04K ) × eq<> sono✗: = ,, ., .

Equazioni differenziali del tipo

EQUAZIONI DIFFERENZIALI f≠ tipodel (2×+134)'4 =f- intervallo Per risolverecontinuaf. ' (2×+134 ( 2=134Z (( )) ) )Zponiamo Xè 'Xun ×in Xuna = -:.Sostituendolo diffnell' ottiene cheEDO separabilidata variabili' diff2- =p èg-un' (E) alq +si un' eq: a. .. ,. ÌITY41=2×+4

Esempio con sostituzione

ESEMPIO +: te 'Svolgimento dataSostituendo nell' Z +2=1''( ( Zt) () ' 2-( cui ) leq-22×+4 21-4 ) +2da2- X ovveroXponiamo X ×:: := = =. tre2-/ha dxPoniamo 31-2 =/dt1 dt| ≥t dz^ 37=/dzha dsi 2- daad da dx si ovverocui :2- × cui = ==# ¥+2 t.ttt } 2≤ ++ IIIIt-111G- ln ( t lna)t2 f- autan ✗ +c++ - =-

Equazioni differenziali ordinarie esatte

EQUAZIONI DIFFERENZIALI ORDINARIE ESATTE ' È4 OF apertoG continue( f parzialiderivate☒( a4) F.dove)t Y G insiemei nd- sono×× u ncon→: c= _,, ÈPonendo 0dy differenzialeforma lineareG Fdi' ((4 4)× 4) + × == , ,

Forma differenziale esatta

Forma differenziale esatta definitaESATTA È *potenziale7 (f. t F( 4)U GK ( -2-1 )) Y)se una 4 e: ey ×ci n× ×= = , ,., . ,,definite implicitamentel'Se soleesatta dall'tuttesoluzionilediff arbitrariacostantele f. U )() yycx cui) Inèeq eq Csono )×e e y×=, ,. .. intervalload ICR✗ e un

Esempio di forma esatta

ESEMPIO 0(3×+42) '(2×41-43) 4+: =Svolgimento RE essendosemplicemente 2¥definiteF ( ) edG2×4+43 3×+42( ( ) connesso) in ( )y einsieme 24y y× × ×e: == =, ,, ,ha che data esattaGf l' diff èZy( si uq4)× = .., perchéU 3¥ anche0¥ 2¥U 4) ( deve(Determiniamo )(3×+42 42da +43Y) c×cui (+ 4)4 zxy4) ✗ essere+( =una × ××: ==, ,,, % 3¥sol generale %laotteniamo è2×4+43 da 42dunque43 ci(c'c' (4)2×4 ✗++ccy) + Ccui ovvero )+ y : == == .

Fattore integrante

FAITORE cheINTEGRANTE deve §f. GGI parziali(è derivateallediffessere )una y(: )y eq×× = ,, . .( ha infinite soluzioni3¥ FEEF 0¥ Gf§§-§ GGG ajaG 00( (( ( )( 4)(t4) 4) ( 4))ovvero +il) 4)4)(✗ ×il✗ ×✗ ✗ ×× ==i i -,, , -,Non soluzionitalisempre si riesce scriverea .

Esempio di fattore integrante

ESEMPIO 0( '4 Y)1 4+ ✗ ✗: - = esattasvolgimento è¥ tale diff-1 dunquejy 44=1+2×4( )(=/ nonlq×y +: ✗ - = . . 0¥0¥ loPoniamo 42)) (1+2×4) $Dovrà(Gi 420 ( ((Fi 4)