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Analisi 2

Serie di funzioni

Σm=0+∞ fm

N.B. fm(x) è un numero, dato x e m. Σm=0+∞ fm(x) è serie numerica, dato x.

Dato avendo I : fm : I → R, Σm=0+∞ fm(x) tale che Σm=0+∞ fm(x) converge.

Dato una successione di funzioni fn : I → R, Li*I, allora Σ fn converge puntualmente in I*. L*I si definisce come 'insieme di convergenza'.

Posso quindi definire f(x) := Σ fn(x) come somma delle serie, nei valori di x in cui abbiamo converg.

Data una succ. di funzioni, dico che Σ fn(x) converge totalmente se: Σ | fn(x) | < ∞ in tutti gli x. Σm=0 converge.

  • Fn continue : Σ fn conv. tot. ⇒ f(x) = Σ fn è continua.
  • Fn derivabili : Σ fn conv. pnt. : Σ fn conv. tot. ⇒ f(x) derivabile = f'(x) = Σ fn'(x).
  • Fn continue su I : C₀ ⊆ C₁ ⊆ I = Σ fn conv. tot. allora f(x) continua fᵟ(x integr.) su C₀ [x₀,x₁] n(x).

Serie di potenze

Σ am (x - x0)m

Coefficiente centro

Essa può:

  • Conv. in x = x0.
  • Conv. in int.
  • R ∈ (0;+∞], | - | = || - ||.

Serie conv. per | x - x0 | < R.

Serie non conv. ne' | x - x0 | > R.

Rn raggio di convergenza.

  • R ∈ ⟨ 0; 1) = 1/ 10.
  • Altro R = 1 / ( n = 0, ∞ ) (decrescente).

Come lo calcolo: - ) N.B. si uno converge 2Minf | 1 / " || fn(1) || |[sup"]

- ) N.B. controllo intervallo negli estremi.

Chicca ciccione.

P. funzionali

Data una s. di potenze di R>0.

  • ∀ x ∈ (0, R) ( s. serie c. tot. ) ⇒ ⟨ - 5, x0 + 5 ⟩.
  • La f(x) := am (x - x0) è una funzione.
  • R devo aggiornare l.

N.B. nell'intervallo.

Studio di serie

(E.X. le 3 invi T)

Con Taylor con resto di Lagrange.

f(x) : = Pm(x) + R(+ )m+1 + x0.

Con C compreso tra x < x0.

Per trovare resto cerco M : | fm+1(C) | ≤ M1.

Analisi 2

Serie di funzioni

N.B. fm(x) è un numero, dato m e x. Σm=0∞fm è serie numerica, dato x.

Dato avendo I : fm:I → R.

Dato una successione di funzioni fm : I → R se esiste f : I → R tale che Σm=0∞fm(x) converge ∀ x &in; I allora Σm=0∞fm converge puntualmente in I*.

Σm=0∞ fm converge uniformemente.

Posso quindi definire f(x) = Σm=0∞ fm(x) come somma delle serie, nei valori di x in cui abbiamo converg.

Sempre data una succ. di funzioni dico che Σm=0∞fm converge totalmente se:

Enreatretti : data fm : I → R.

fm continua: Σm=0∞fm conv. tot. → f(x) = Σm=0∞fm è continua.

fm derivabili: Σm=0∞fm conv. punt. → Σm=0∞fm conv. tot. → f(x) derivabile = f'm(x) = Σm=0∞f'm(x).

fm continue su I : fm→∞ I → Σm=0∞fm conv. tot. allora ƒ(x) continua = fm continuo = ∫ Sm, da a a b S0 + ∫ fm(x) da a a b.

Serie di potenze

Σ am(x-x0)m

Coffsente lineare xi*eleggibile.

Essa può:

  • Cov. in x=x0.
  • Conv. in int.
  • ∩ R → (0;=) | Ordine siaomial conv. per |x-x0| < R.
  • Siabne conv. nel, prova |x-x0|>R.

R, raggio di convergenza.

Come lo calco: .1 adster, limm→∞ .

N.B. controllare inntervallo negli estremi (uomo è uso  N.B. se ho NPD utilizzare |x-x0|

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Scienze matematiche e informatiche MAT/05 Analisi matematica
I contenuti di questa pagina costituiscono rielaborazioni personali del Publisher giuseppe.para81 di informazioni apprese con la frequenza delle lezioni di Analisi matematica 2 e studio autonomo di eventuali libri di riferimento in preparazione dell'esame finale o della tesi. Non devono intendersi come materiale ufficiale dell'università Università degli Studi di Pavia o del prof Giannazza Ugo.
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