Riassunto teoria Analisi 2

Vettori e spazio vettoriale

VETTOREX_j con j = 1,2,... X = (^{x₁ x₂ x₃}) Lo spazio vettoriale deve verificare somme tra vettori e prodotto per uno scalare X + Y = (^{x₁ x₂}) + (^{y₁ y₂}) con i, j = 1,2,... d ⋅ X = d ⋅ (^{x₁ x₃}) con j = 1,2,...

Prodotto scalare

X ⋅ Y = ⟨x,y⟩ = x₁y₁ + ... + x_jy_j con i, j = 1,2,...

Proprietà

1. X ⋅ Y ne;0 se X ≠ 0, Y ≠ 0 → Y ⋅ X = X ⋅ Y
2. (aX+bY)⋅Z = a(X⋅Z) + b(Y⋅Z)
3. X ⋅ X ≥ 0 e X ⋅ X = 0 se e solo se X = 0

||X|| = √∑_iX_i² ≥ 0 è la norma di X

Disuguaglianza di Cauchy-Schwarz

• ||X|| ||Y|| ≤ X ⋅ Y ≤ ||X|| ||Y||
• X⋅Y = ||X||||Y|| solo se e solo se X = 0, Y = λX con λ ≥ 0
• L'uguaglianza X⋅Y = -||X||||Y|| solo se e solo se X = 0, Y = λX con λ ≤ 0
• Affermare uguaglianza se e solo se per ogni i ≠ j otteniamo che 0 = X_iY_j - Y_iX_j = [ ^{X₁ Y₁ X₃ Y₃} ]
• Cioè se e solo se esistono costanti λ, μ non entrambi nulli per cui: 0 = X₁λ - μY₁, - λX₂ + μY₂, ..., - λX_n - μY_n
• Cioè se e solo se X e Y sono linearmente dipendenti

In R²

X⋅Y = ||X||||Y||cosθ θ è l'angolo tra vettori

Proprietà della norma

1. |aX| = |a| ||X|| scalare di a per norma di X
2. ||X+Y|| ≤ ||X||+||Y|| e ||X-Y|| ≥ ||X|| - ||Y||
3. ||X|| ≥ 0 e ||X|| = 0 → X = 0

Vettore x_j con j = 1, 2, ...

Lo spazio vettoriale deve verificare somme tra vettori e prodotto per uno scalare: x + y = ⁽x₁ ⁾ + ⁽y₁ ⁾ con i, j = 1, 2, ... d•x = ⁽d x₁ ⁾ con j = 1, 2, ...

Prodotto scalare

x•y = <x,y> = x₁y₁ + ... + x_jy_j con i, j = 1, 2, ...

Proprietà

1. x•y = y•x quindi x•x = <x,x> = x_jy_j ...
2. (a x + b y)•z = a(x•z) + b(y•z)
3. x•x > 0 e = x•x solo se x = 0

||x|| = √x² ≥ 0 è la norma di x

Disuguaglianza di Cauchy-Schwarz

• ||x|| ||y|| ≤ x•y ≤ ||x|| ||y||
• x•y = ||x|| ||y|| vale e solo se x = 0, y = λx con λ ≥ 0
• L'uguaglianza x•y = -||x|| ||y|| vale e solo se x = 0, y = λx con λ ≤ 0

Affinchè uguaglianza

• Per ogni i ≠ j otteniamo che 0 = λx_j - y_ix_j = …
• Esistono costanti λ, μ non entrambi nulli per cui: 0 = λx₁ - μy₁ = … = λx_i - μy_i

In ℝ²

x•y = ||x|| ||y|| cosθ θ = Proprietà della Norma

Proprietà della norma

1. ||a x|| = |a| (||x||) modulo di a per norma di x
2. ||x + y|| ≤ ||x|| + ||y|| e ||x - y|| ≥ ||x|| - ||y||
3. ||x|| ≥ 0 e ||x|| = 0 ⇔ x = 0

Distanza euclidea

• ||x-y|| esprime la distanza euclidea tra i punti
• ||x-y|| = 0 solo se x=y
• ||x-y|| ≤ ||x-z|| + ||z-y||
• d(_λx,_λy) = ||_λ(x-y)|| = ||x-y|| se _λ è scalare

Una successione di punti in Rⁿ

Tende ad l ε Eⁿ

Prodotto tra matrici

Il prodotto scalare può essere visto come riga x per colonna y

Funzioni continue

E ⊂ Rⁿ un insieme e f ε E → R una funzione, a ε Ef è continua in a ε E con ||x-a|| < δ

Le funzioni continue in Rⁿ sono analoghe a quelle di una variabile reale f(x)

1. af+bg è continua.
2. f/g è continua su E
3. Se f(E) ⊂ D_B
4. Se f_i: E → R
5. Se f_i... f_n è continua allora max o min di f

Insiemi aperti, chiusi

• {(x,y) ∈ ℝ² : x²+y² < 1} è aperto
• {(x,y) ∈ ℝ² : x²+y² ≤ 1} è chiuso

1. Se f: ℝⁿ→ℝ continua, allora L = {x ∈ ℝⁿ | f(x)=0} è chiuso in ℝⁿ
2. A ⊂ ℝⁿ aperto, a ∈ ∂A se ∀ε > 0 B(a,ε) ⊂ Aⁿ ∖ A è denso
3. Se A, B aperti, A ∩ B è aperto, A ∪ B è aperto
4. Se A, B chiusi, A ∩ B è chiuso, A ∪ B è chiuso
5. L'unione di n aperti è un aperto, la chiusura di n chiusi è un chiuso
6. A dx in ℝⁿ aperto se e solo se ∀ p ∈ A, ∃ ε > 0 tale che B(x,ε) ⊂ A
7. Un sottinsieme C ⊂ ℝⁿ è chiuso se e solo se per ogni successione {Xₙ} ⊂ C, selim Xₙ = a, allora a ∈ C
8. Un sottinsieme è limitato solo se esiste R > 0 tale che C ⊂ B(0,R)
9. Un sottinsieme è compatto solo se è chiuso e limitato

Weierstrass in più variabili

Se f: K ⊂ ℝⁿ → ℝ funzione continua su un insieme compatto K in ℝⁿ Allora esistono f(min K), f(max K) tali per ogni x in K si ha f(x(min)) ≤ f(x) ≤ f(x(max)).