Riassunto Algebra lineare e geometria

Name: Riassunto Algebra lineare e geometria
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Author: .Filippo

Revisionato il 25/07/2026

di .Filippo

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Sunto d'esame di Algebra lineare e geometria per corsi di laurea in Fisica e Matematica. Corso tenuto dalla Prof.ssa P. Frediani. Alla fine del documento sono anche presenti alcuni consigli …

Esame Algebra lineare

Facoltà Scienze matematiche fisiche e naturali

Dal corso del Prof. Frediani Paola

Università Università degli Studi di Pavia

A.A. 2021-2022

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Premesse

Gruppo

Insieme dotato di una funzione che ha:

Proprietà associativa
El. neutro
El. inverso

Gruppo abeliano

Gruppo + proprietà commutativa

Campo

Insieme con 2 operazioni (+,.) t.c.

(K, t) è un gruppo abeliano con el. neutro o
Il prodotto è associativo
1 el. neutro del prodotto
Vale la proprietà distributiva
Il prodotto è commutativo
Tutti gli el. non nulli hanno un inverso moltiplicativo

Premesse

Gruppo

Insieme dotato di una funzione che ha:

Proprietà associativa
El. neutro
El. inverso

Gruppo abeliano

Gruppo + proprietà commutativa

Campo

Insieme con 2 operazioni (+ , ⋅ ) t.c.

(K, t) è un gruppo abeliano con el. neutro o
Il prodotto è associativo
1 el. neutro del prodotto
Vale la proprietà distributiva
Il prodotto è commutativo
Tutti gli el. non nulli hanno un inverso moltiplicativo

Algebra lineare

Spazio vettoriale

Uno spazio vettoriale V su un campo K è un insieme V t. c. ∃ ∀, V + V → V, ∃ m: K x V → V

(u, v) → u + v

(λ, v) → λ • v

Somma tra vettori

Prodotto scalare per vettore

E devono esserci queste condizioni:

(V, +) è un gruppo abeliano
Proprietà del prodotto:
- Distributiva
- Associativa
- 1 el. neutro

Composizione lineare

Dati v₁,...,v_m ∈ V e λ₁,...,λ_m ∈ K definiamo

λ₁v₁ + ... + λ_mv_m = ∑_i=1^mλ_iv_i la combinazione lineare dei vettori v₁,..., v_m rispetto agli scalari λ₁,...,λ_m

Sistema di generatori

Un sottoinsieme S ⊆ V è un sistema di generatori di V se ∀v ∈ V si può scrivere come combinazione lineare di vettori di S

Sistema di generatori standard

{ e₁ = (1 0 ... 0) e₂ = (0 1 ... 0) ... e_n = (0 0 ... 1) }

Indipendenza lineare

v₁, ..., v_m ∈ V sono linearmente dipendenti se

∀ a₁v₁ + ... + a_mv_m = 0 ⇒ a₁ = ... = a_m = 0

Cioè c'è una sola scrittura di 0 ∈ V come comb. lin. di n vettori L.I.

Base

Una base di V è un suo sistema di generatori L.I.

Teorema dello scambio

Sia V sp. vettoriale su K,

{v₁, ..., v_n} S.G. di V e {w₁ ..., w_m} ⊆ V L.I.

⇒ ∃ v_i₁ ..., v_{i_m} ⊆ {v₁, ..., v_n} t.c.

{w₁, ..., w_m} ∪ ({v₁, ..., v_m} \ {v_i₁, ..., v_{i_m}}) è un S.G.

P.B.

m=1

{w_i} L.I. ↔ w_i≠0

{v₁,...,v_m} è S.G. → ∃a₁,...,a_m∈ℝ t.c.

w_i = a₁v₁ + ... + a_nv_n = ∑_i=1^m a_iv_i

→ ∃ i∈{1,...,m} t.c. a_i≠0 → ∃ a'_i∈ℝ

Scrivo v_j come:

v_j = a_iw₁ - a'_i(a₁v₁ + ... + a_nv_n)

Quindi v_j è comb. lin di {w₁,...,w_m} = S'

&ForAll; → tutti gli elementi di S sono scrivibili come comb. lin. di el. di S' → S' è S.G. di V

D.I.

m>1 e tesi vera per m-1 → tesi vera per m

Per ip. induttiva posso scambiare i primi m-1 vettori:

{w₁,...,w_m-1} ∪ {v₁,...,v_m-1} \ {v_i₁,...,v_{i_m-1}} è un S.G.

Manca solo w_m, che scrivo come:

w_m = ∑_i=1^m-1 a_iw_i + ∑_j=m-1 b_jv_j

Se b_j≠0 &ForAll; j = m-1, m → w_m = ∑_i=1^m-1 a_iw_i

(→) a_iw₁ + ... + a_nw_m - w_m = 0 Assurdo perché {w_i} sono L.I.

Quindi

Scambio

Spazi finitamente generati

Uno sp. vettoriale V su K è finitamente generato se ∃ un S.G. finito

Dimensione

Dato V sp. vettoriale su K finitamente generato

La dimensione di V è la cardinalità di una qualunque base di V, con dim_{0} = 0

Nota bene:

dim V = +∞ ⇔ V non è finitamente generato

Def.

Matrici

Sia K un campo, m, n > 1 due interi

Una tabella di scalari a_ij:

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