Riassunto Algebra Lineare e Geometria

Settimana 1: vettori geometrici

Ordinata _{∈ ℝ²}, ℝ¹ ⟶ ℝⁿ = { a_i ⋁ b_j ∈ ℝ → Spazio vettoriale reale → Al si può selezionare combinazione lineare → a_i = la i-esima entrata della colonna a^→

Combinazione lineare: dati vettori a^→, b^→ ∈ ℝⁿ ∀ λ, μ ∈ ℝ ⟹ ∈ K campo si dicono scomodi => ( λ a^→ + μ b^→ ) ( x ) distanza λ a^→ (i) + μ b^→ (i)

Solido vettoriale euclideo

ℝⁿ = Subdotato prodotto scalare euclideo cioè forma bilineare simmetrica e definita positiva

1. Bilineare → , μ b^→ > = λ a^→ , w^→ + μ → + w^→
2. Simmetrica → , b^→ > = → , a^→ >
3. Definita positiva ∀ a, a^→ ∈ … : → , a^→ > > 0 Non gli a^→ ≠ o →

Nota

Modulo = funzione: ℝⁿ ⟶ ℝ a^→ → | a^→ | = √ → , a^→ > = √ a²₁ + a₂² + a_n²

Disuguaglianza di Schwarz: | → , a^→ > | → | ≼ → diag r cos → , b^→ → |

1. Dati a^→ , b^→ ∈ ℝⁿ ⟶ si dicono ortogonali ⇔ → , b^→ > = 0
2. Dati a^→ ∈ ℝ, si dice Vettore se | a^→ | = 1

Determinante 2 x 2

1. Siano a^→ , b^→ ∈ ℝ² ⇔ il determinante _Piano ⇔ ^{a→ ↑ b→} det a^→ ^ b^→
2. (c¹ a^→₂ - a²₁ a¹₂⊂→ a²₂ - a²₁) = Sub della forma antisettica w 1 b^→ = ad ⊥ ⊥ F_cnt
3. Area parallelograma = a^→ ^ b^→→

Determinante 3 x 3

Unica forma trisettica asse > b^→ ^ c^→

Riassunti: algebra lineare e geometria

Settimana 1: vettori geometrici

Colonna ∈ ℝ², ℝ³, ℝ = ℝⁿ = { (_iⁱ) ; _i ∈ ℝ } Spazio vettoriale banale al π si può selezionare la costruzione usuale

Combinazione Lineare

Dati vettori ⃗, ⃗ ∈ ℝⁿ^k (campo) si dicono scalari: ∀ λ, μ ∈ ℝ -> => (λ ⃗ + μ ⃗) () = λ ⃗ () + μ ⃗ ()

Spazio vettoriale euclideo

(ℝⁿ) = sottospta prodotto scalare euclideo cioè forma bilineare, simmetrica e definita positiva

1. Bilineare = ⟨λ ⃗ + μ ⃗, ⃗⟩ = ⟨⃗, ⃗⟩ + μ⟨⃗, ⃗⟩ + μ⟨⃗, ⃗⟩
2. Simmetrica = ⟨⃗, ⃗⟩ = ⟨⃗, ⃗⟩
3. Definita positiva = ∀ ⃗ ∈ ℝⁿ, ⟨⃗, ⃗⟩ ≥ 0 ⟨⃗, ⃗⟩ = 0 => ⃗ = ⃗

Norma

Funzione: ℝⁿ → ℝ |⃗| = √⟨⃗, ⃗⟩ = √(_₁^₂ + _² +...+ _ₙ^²)

Disuguaglianza di Schwarz

|⟨⃗, ⃗⟩| ≤ |⃗| ∙ |⃗|⟨⃗, ⃗⟩ = cos (⃗, ⃗) |⃗)| ∙ |⃗|)

Dati ⃗, ⃗ ∈ ℝⁿ = si dicono ortogonale ⟨⃗, ⃗⟩ = 0

Dato sia ⃗ ∈ ℝⁿ, si dice versore se |⃗| = 1

Determinante 2 x 2

Siano ⃗, ⃗ ∈ ℝ² = il determinante è ⃗ ∧ ⃗ = det (⃗, ⃗) = det (⟨1⟩₁, ⟨1⟩₂) = det (₁, ₂) = det ⟨⃗⟩₁ (1), ₂ (1) = (2) = det ⟨⃗⟩₁ (2), ₂ (2) (2)

È l’unica forma bilineare antisimmetrica tale che ⟨⃗ ∧ ⃗⟩ = 1

Area Parallelogramma = ⟨⃗ ∧ ⃗⟩

Area Triangolo

(3 punti P₀, P₁, P₂): A = 1/2 |P₀ P₁ ∧ P₀ P₂|

Determinante 3 x 3

Unica forma trisettica asse > b^→ ^ c^→