Riassunto esame Algebra lineare e geometria di base, Prof. Prelli Luca, libro consigliato Algebra lineare e geometria, Francesco bottacin

Algebra lineare e geometria

Insiemi numerici

Insiemi numerici ℤ 0 1 2 -2... (numeri interi) Insieme ℤ tale che è indicato come ℤ_n con m, n ∈ ℤ, n ≠ 0.

N.B. somma e prodotto in ℚ sono ben definiti.

Insieme ℚ m_n e p_q sono equivalenti e m · q = n · p.

↳ Classe di equivalenza dice.

↳ N ℤ ℚ.

Funzioni iniettive, l’uno contiene l’altra.

m opposto (-m).

Da ℚ m_n possiede un reciproco (n_m con m ≠ 0).

Proprietà del campo

Proprietà ⁺ ₊ = commutativa.

⁺ - associativa.

(x+y)+z = x+(y+z).

(x·y)·z = x·(y·z).

0 = elemento neutro somma.

1 = elemento neutro prodotto.

0+x = x.

1·x = x.

Un insieme somma, prodotto con queste proprietà si chiama campo.

Algebra lineare e geometria

Insiemi numerici

∃₁ z | 2z±0 (numeri interi).

Tale è indicato come:

Insieme ℤ mn con m ∈ ℤ n ∈ ℤ, n ≠ 0 {}.

Somma e prodotto in ℚ sono ben definiti.

Insieme ℚ con classi di equivalenza, cioè:

m p — e — sono equivalenti h q se m·q = n·p.

ℕ ⊂ ℤ ⊂ ℚ.

Iniezioni attive, l’uno contiene l’altro.

Un opposto (−m).

In ℚ, m possiede —n un reciproco (n— con n ≠ 0) m.

Proprietà ⊕: commutativa.

⊕: associativa.

(x+y)+z = x+(y+z).

(x·y)·z = x·(y·z).

0 = elemento neutro somma.

1 = elemento neutro prodotto.

0+x = x.

1·x = x.

Un insieme somma, prodotto con queste proprietà si chiama campo.

Numeri razionali, reali e complessi

Numeri Q (razionali) R (reali) C (complessi).

Divisioni: N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R.

R - Q = irrazionali.

Algebrici / Trascendenti (polinomi di es. (π, e)).

Polinomi es. radici (√2).

N.B. In R non tutti i polinomi hanno una radice.

Esempio: x² + 1 = 0 (non ha soluzioni in R).

Dobbiamo quindi estendere R al campo dei numeri complessi.

Numeri complessi

(Un polinomio di grado n ha n radici (soluzioni)).

Definizione: il campo C è definito da:

C come insieme C = {a,b| a,b ∈ R}.

Somma: dati a + ib, c + id ∈ C.

(a + ib) + (c + id) = (a + c) + i(b + d).

Prodotto: (dove i² = -1).

(a + ib) . (c + id) = ac + iad + ibc + i²bd = (ac - bd) + i(ad + bc).

Esempio:

(1 + i) . (3 + 2i) = 3 + 2i + 3i + 2i² = 1 + 5i.

Es.

(a + i0) + (b + i0) = (a+b) + i(0+0) = (a+b) + i0.

(a + i0) · (b + i0) = 2b + ai0 + bi0 + i²0 = 2b + i0.

Inclusioni R ← C x ← x + i0.

Dato z = a + ib ∈ C (a,b) ∈ R "a" si chiama parte reale di z = Re(z) "b" si chiama parte immaginaria di z = Im(z).

N.B. sia z ∈ R ⇔ Im(z) = 0.

(a + ib0) ⇔ b=0.

Se invece Re(z) = 0 z è puramente immaginario.

C si rappresenta su un piano di Gauss.

N.B. Una simmetria importante è quella rispetto all’origine.

Dato z ∈ C il modulo di z è |z| = √z·z.

Inoltre z·z̅ = 0 ⇔ z=0.

(a + ib) · (a - ib) = a² + b² + i0.

Lezione 10

√∀z₁,z₂ ∈ ℂ   (z₁ = a₁ + ib₁,  z₂ = a₂ + ib₂).

• Z̄₁ + z̄₂ = z̄_{1 + z2}.
• -(a₁+ib₁) + (a₂+ib₂) = (a₁ - ib₁) + (a₂ - ib₂).
• -( (a₁ + a₂) + i(b₁ + b₂) ) = (a₁ + a₂) - i(b₁ + b₂).
• (a₁ + a₂) - i(b₁ + b₂) z̄₁ ⋅ z̄₂ = z̄_{1 ⋅ z2}.
• (a₁ - ib₁) ⋅ (a₂ + ib₂) = (a₁ - ib₁) ⋅ (a₂ - ib₂).
• -(a₁a₂ + i b₂a₁ + i b₁a₂ + i² b₁b₂) = (a₁a₂ - i b₂a₁ - i b₁a₂ + i² b₁b₂).
• (a_ma_n–b_nb_m) – i(b₁a₁ + b₂ ) = (a₁a₂ - b₂b₁ ) - i(b₁a₂b₁).
• ∀z ∈ ℂ (z̄) = z   ⇒   (a₁ - ib₁) = (a₁ + ib₁).
• ∀z ∈ ℂ z = z̄   e   z ∈ ℝ   ⇒   a + i⋅0   - a – i⋅0.
• ∀z ∈ ℂ &enspace; z ⋅ z̄ ∈ ℝ   e   z⋅z̄ ≥ 0.
• (a + ib)⋅(a - ib) = -a² + ibæ⋅a –ibæ−a –i² b²11   a² – i² b² a² – b².

Lezione 2

L'inverso

L'inverso z ∈ ℂ (z≠0).

z : z̅ > 0. (a² + b²).

Allora z . _z/_{z . z̅} = 1.

Dunque z^-1 = _z̅/_{z . z̅} = _a/_{a² + b²} - i _b/_{a² + b²}.

Esempio z = 1 + i  dunque vedere vero.

(Ist. Vi) (1/2 - i 1/2) 2/1 = (1/2 + i 1/2) . i   (1/2 - i 1/2) = 1 + i 0 = 1.

Forma trigonometrica di z

Forma trigonometrica di z.

Im(z) b z^⍴⍴ a.

z = ⍴(cos β + i sen β) = a tubo.

a = ⍴(cos β).

b = ⍴(sen β).

(forma trigonometrica).

⍴ = |z| = √a² + b².

β = Arg(z).

Modulo di z argomento di z.

N.B. z = ⍴ e^iβ (bella forma di scrittura delle esponenziali).

Prodotto di due forme trigonometriche

Prodotto di due forme trigonometrica.

z₁ = ⍴₁(cos β₁ + i sen β₁).

z₂ = ⍴₂(cos β₂ + i sen β₂).

z₁ + z₂ = ⍴₁⍴₂(cos (β₁ + β₂) + i sen (β₁ + β₂)).

Cioè |z₁ - z₂| = |z₁| |z₂|   e Arg (z₁ - z₂) = Arg(z₁) + Arg(z₂).

Dimostrazione:

Sia ₁ ⋅ ₂ = ₁ (cos ₁ + i sen ₁) ⋅ ₂ (cos ₂ + i sen ₂).

= ₁ ⋅ ₂ (cos ₁ ⋅ cos ₂ - sen ₁ ⋅ sen ₂) + i (sen ₁ ⋅ cos ₂ + cos ₁ ⋅ sen ₂).

= ₁ ⋅ ₂ ⋅ (cos (₁ + ₂) + i sen (₁ + ₂)).

Con ₀ = ℤ₀ ℇ ℂ e ℇ ℤ = (cos + i sen ).

ᵐ = ᵐ (cos () + i sen ()).

Esercizio sulla forma algebrica e trigonometrica

Esercizio.

Scrivere in forma algebrica e trigonometrica = (√3 + i)^-2.

5. Trigonometria di √3 + i = |√3 + i| = √(√3)² + 1² = √4 = 2 = Arg (√3 + i) (cos = a/).

cos = √3/2 ⇒ = /6.

̅ = (2 (cos /6 + i sen /6) )^-2 = 1/4 (cos -/3 + i sen -/3) = 1/4 (cos /3 + i sen /3) = 1/4 ⋅ (1/2 + i √3/2) = 1/8 + i √3/8.

Radici ennesime

Lezione 3

Dato _z ∈ ℂ allora l'equazione ^{zn = α} ha sempre n soluzioni distinte n ∈ ℕ.

Ossia, α ha n radici distinte → questi punti formano un poligono regolare nel piano di Gauss, iscritto nella circonferenza di r√(α).

Come calcolare le radici di zⁿ = α.

• α = ρ_α(cosθα + isinθα) (mi serve la forma trigonometrica di α).
• Z = ρ(cosθ + isinθ) (mi serve la forma trigonometrica di z).
• Con ρ > 0 e θ ∈ ℝ imponiamo che zⁿ = α cioè.

ρⁿ(cos(nθ) + isin(nθ)) = ρ_α(cosθα + isinθα).

• Uguagliamo modulo e angolo di zⁿ e α.

{ρⁿ = ρ_α nθ = θα + 2kπ k ∈ ℤ.

(il numero di k da utilizzare è uguale al coefficiente dell'angolo di un rad).

• Affermiamo quindi che.

{ρ = √ⁿ ρ_α → N.B. scelgo le radici positive θ = θ_α + 2kπ n.

K = {0, 1, 2, ..., n-1}.

N.B. se k = 0 allora θ = θ_α n.

Se k = n allora θ = θα + 2π n è la stessa angolo di θ_α ./n per cui la soluzione con k=n non è equivalente alla precedente.

Esempio: z alla quarta uguale a 1

Esempio z⁴ = 1.

• 1 = cos0 + i Sen0.

z = ρ(cosΘ + i SenΘ).

• ρ⁴(cos4Θ + i Sen(4Θ)) = cos0 + i sen0 Θ = ^0+2kπ⁄₄.
• √1 = ±1 (soluzione positiva) Θ = ^2kπ⁄₄.

K₀ = 0,1,2,3.

z₀ = 1: (cos0 + i sen0) = 1: (1+i0) = 1.

z₁ = 1 (cos 2π/4 + i Sen 2π/4) = 1 (cosπ/2 + i Sen π/2) = 1 (0+i1) = i.

z₂ = 1 (cos 4π/4 + i Sen^4π⁄₄) = 1 (cosπ + i Senπ) = 1 (-1+0) = -1.

z₃ = 1 (cos 6π/4 + i Sen^6π⁄₄) = 1 (cos 3π/2 + i Sen 3π/2) = 1 (0-i1) = -i.

Esercizio: z alla quarta

Esercizio z⁴ = ³ⁱ⁄_√3-i * √3i = 3 (cosπ/2 + i Sen π/2) ¹⁄₂.

|√3-i| = √(√3)²+(1)² = √4 = 2.

cos Θ = Re(z) / |z|   e   sen Θ = Im(z) / |z|.

cos Θ = √3/2   cioè Θ = π/6.

Sen Θ = ¹⁄₂.

√3-i = 2 (cos (-π/6) + i Sen (-π/6)).

√³ⁱ⁄_√3-i = ³⁄₂ (cos(π/2) + i Sen (π/2))/2(cos(π/6) + i Sen(π/6)).

= ³⁄₂ (cos (π/π+1/2-6) + i Sen (π/2+1/2-6)).

= ³⁄₂ (cos 2π/3 + i Sen 2π/3).

Compariamo z ed ω.

z³((cos(φ/4) + i sen (φ/4)) = ³/₂ (cos^2π/₃ + i sen^2π/₃).

φ = ^3π/₂.

θ = ^3π/₂ + 2kπ.

θ = √8/₂.

θ = π/6 + 2kπ/₄.

z₀ = ⁴√₃/₂ (cos^π/₆ + i sin ^π/₆) = √⁸/₂(^√3/₂ + i/2).

z₁ = - √³/₂.

• (cos π + i sen π) = (cos 2π/₃ + i sen 2π/₃) = (cos π + i sen π/₆).

• (cos π/₃ + i sen π/₃) = (cos 3π/₄ + i sen 3π/₄) = (cos^√3/₃ + i/₃).

NB. se {kosinemo} k∈z z₄ = z_√3/₆ + i sin π/₆ + i/(₄2π) = ^√3/₂(^√3i/√2i).

Es. 2

Es. 2 (Trovare z tale che).

(z̀³) = 8-8i = 8 (cos π/2 + i sin π/2).

z = ο(cos - θ) + i sin θ.

-3z = 8^^~~ z³(cos(3θ) + i sen(3θ)) = 8(cos π/2 + i sin π/2).

z⁰ = 8.

-3θ = π/2 + 2kπ.

θ = (√⁸.2- π/(3π)₀).

θ = π/6 + 2kπ/₃).

K = 0.1.2.

z₀ = ²³(cos^π/6 + i sin^π/6).

z₁ = ²³ (cos ^π/₃ + i sin^π/₃).

z₂ = crossing out (not visible part) z = 3i |z| = 3.

Verifica del caso |z| = 0

Prima di dividere per |z|, verifichiamo cosa accade se |z| = 0 cioè z = 0.

z = 0 cioè z = 0.

Verifichiamo quindi se z = 0 è una soluzione cioè:

0 = 3 ∙ 0 ∙ i = 0.

Sempre vero (z = 0 è una sol.).

Ora, quando se z ≠ 0 ^z/_{|z| z} = 3i ⇒ 3 = 3 (cos_π + i sen_π).

z = 0 (cos_θi + i sen_θi).

Allora z = 0 (cos(L_θ) + i sen(L_θ)).

|z| = 0.

^z/_{|z| z} = 0 (cos L_θ + i sen L_θ) = -1/0 (cos 2θ_i + i sen 2θ_i).

0,-1,0 (cos L_θ + i sen L_θ)).

{^{θ = π/2}/₂}.

{^{θ = π/3₁}/₃} k = 0,1.

^{3ϴ = π}/₂,2^θ = ^2π/₄ + 2^K.

Soluzioni {0, ^√2/₂ + i ^√2/₂, -^√2/₂ - i ^√2/₂}.