Retta: equazione e problemi relativi

La retta

La retta è un elemento geometrico che può essere rappresentato sotto forma di:

y = mx + q

• Equazione;
• Tabellina;
• Grafico cartesiano.

Le equazioni possono essere espresse in due forme:

y = mx + q

• Esplicita quando viene dichiarata la y;

y = mx + q

• Implicita quando viene eguagliata a zero mx – y + q = 0.

NB: Per svolgere i calcoli e risolvere problemi, conviene sempre lavorare su una forma esplicita, anziché implicita. y = mx + q

Coefficiente angolare e termine noto

Il coefficiente angolare determina l’inclinazione della retta. Se è positivo, la retta sarà inclinata verso destra e farà un angolo acuto con l’asse delle x; se è negativo, sarà inclinata verso sinistra e farà un angolo ottuso con l’asse delle x.

Il termine noto indica l’ordinata del punto d’intersezione fra la retta e l’asse delle ordinate, nel senso che la retta incontrerà l’asse y nel punto di coordinate (0 ; q).

Il coefficiente angolare

• Con i calcoli è il rapporto fra la differenza delle y e la differenza delle x; si calcola facendo:

Δy = y_A − y_B

m = Δy / Δx = (y_A − y_B) / (x_A − x_B)

A B

x_A − x_B

• Mediante il grafico, per trovare l’inclinazione, partendo dal punto trovato sull’asse delle y, ci si sposta in orizzontale di tanto quanto ne indica il denominatore, e in verticale di quanto ne indica il numeratore del coefficiente angolare, cioè:

NB: Esistono solo due casi nei quali non è presente il coefficiente angolare:

• Quando la retta in esame è verticale (è quindi parallela all’asse y), per cui la sua equazione sarà: y = q, dove q assume un qualunque valore;
• Quando la retta è orizzontale (è posta parallelamente all’asse x), e quindi la sua equazione sarà: x = q, dove q assume un qualunque valore.

Il termine noto

È possibile calcolarlo impostando una semplice equazione, dopo aver sostituito alla x e alla y le coordinate di un punto che vi appartiene, cioè:

P (5 ; 2)

P є r

r: y = 3x + q

2 = 3 • 5 + q

2 = 15 + q

q = - 15 + 2 = - 13

r: y = 3x – 13

Dati due punti appartenenti a una retta, trovare l’equazione della retta stessa

A (3 ; - 4) B (5 ; 2)

A, B є r

r ?

r: y = mx + q

Δy = y_A − y_B

y_A − y_B = - 4 − 2 = - 6

m = Δy / Δx = (y_A − y_B) / (x_A − x_B) = (- 4 − 2) / (3 − 5) = - 6 / - 2 = 3

A B

x_A − x_B

3

r: y = x + q

− 4

A є r 3