Reticolo diretto e reticolo reciproco

Reticolo diretto

Con coordinate cristallografiche a, b, c posso definire uno vettore:

r = x a + y b + z c

_{a b c} matrice metrica contiene tutte le informazioni sui moduli e gli angoli del sistema cristallografico:

• a . a
• b . a
• c . a
• a . b
• b . b
• c . b
• a . c
• b . c
• c . c

Il determinante della matrice è il quadrato del volume della cella.

Il prodotto scalare tra due vettori r₁ e r₂:

r_{1, r2} = (x₂, y₂, z₂)

• a . a
• b . a
• c . a
• a . b
• b . b
• c . b
• a . c
• b . c
• c . c

x = (x₁ G x₂)

Il modulo quadro di un vettore:

r² = _{a b c} G _x cos = _xG x₂

^{Posso calcolare l’angolo compreso tra i 2 vettori, conoscendo il modulo dei vettori.}

Esempio

Calcolare il vettore di traslazione tra la direzione _{cubica inoltre = 3,17} (1 1 2)

• 0 2 0
• 0 0 2

(1 1 2) = _{60,8370,8360,2920,94}

Reticolo reciproco

Connesso con le proprietà di diffrazione del reticolo cristallino

1 = proporzionale inversario con la diffrazione misura i parametri del reticolo reciproco

• a, b, c
• b = più b è grande, più b_-1 = a c

Reticolo ortotropo

Passo del mettere uno vettore: r = xa + yb + zc (abc)

x y z = a b Matrice Metrica

Contiene tutte le informazioni su: moduli e gli angoli del sistema cristallografico.

• G = a.c
• b.c c.a
• b.c a.c

Il determinante della matrice G è il quadrato del volume della cella.

Il prodotto scalare tra due vettori m e n: r . r = (xa + yb + zc) . (a, b, c) (x₁, y₁, z₁) (x₂, y₂, z₂)

• a.a a.b a.c
• b.a b.b b.c
• c.a c.b c.c

= x₁ (Gx₂)

Il modulo quadro di un vettore: r²x G x cosθ = x₁Gx₂ / r₁r₂

Esempio

Calcolare il vettore di traslazione tra la direzione <112> del metallo tungsteno (cubico I α = 3,17 Å)

• t<112> = (112)
• (0 2 0)
• (0 0 2)

(1 1 1) = (112) 40,0483 40,0483 = 60,293 q 20,0578

Reticolo reciproco

Connesso con le proprietà di diffrazione del reticolo cristallino, con la diffrazione misura i parametri del reticolo reciproco

a*.a b*.b c*.c = 1 a*. = b1 c1 b1 = b grande, b2 = piccolo c*. = a*.b c b*. = a1 a.c = b3 b.c c*. = c3 b3.a b.c = a3 b.c = c3.a (a.b) c*. = b ca* = (b.c) / v(b.c.a) = (b.c)c a, b) /(a.b.c) - (b.a) / v(a.b.c) - (a.b.c)²

Proprietà fondamentali del reticolo reciproco

1. Il reticolo diretto e il reticolo reciproco due reticoli reciproci
2. a. b₁ nel piano b₂ c₁ d₂
3. c. a_c nel piano d₁ b_c e_c
4. a. b₂ nel piano a_c d₁ e_c

(b₁, a^*) (c_-1, a^*) (b^-1, *v) (c_a, a_c) (a^*, a_b) (a^*, b^-) (b^-c^*) (c_x, o^*) (a_*b^*)

1. Il vettore r_hke = h a_x + k b_x + lc e_-e _x le imparato introdurre alla simmetria di x_hke, nel reticolo diretto sette reciproco

r_hke = 1; 1 ON ahx

→ Quella che mi manco > della operazione e 1 la sostituzione reciproca: un estero reciproco è il sempre al adb un piano del xreiciclo eltreilo.

Vi correlato alzione anxa per senè al, ad un piano del rechco reciprocof, pm: gli familygle ai piani contengono a unità gli atoni aquori diversi, appartenogla alla stessa familiaglia di piani primeglii gli atoni chemenginaryalmediare oto contenengono tul uglicostrevi metrica pc padernere il giogli.

Si può definire il arecstro coertico GC'ri nel recicecrepo calcolo mediare retero

1. I quattro ininovimenti (moduli e aniglu) del recicolo reciproco

G = . (ob o b_-c)

b_-c ob b_-v c_-e+Inolthe c; il c: G'G'...= x²c a² + einoltre v_ir_v=inlt x^G, x^*el² r^xl² r^yr² = (ho² + k_2iz e^(c-)r! x_y = (ho₂)n_c-x²2+k bx_-1cos _x+ 2k ha^x2 = cox_xot+ 2ckc_btw cos _ctaxsostirando le quartui stretta porcii an corresponendi at parametri estaccioni siolitivie.

Porome generale prene il techtitoesimplefca lo veot V a interkedi penangliex. cubico.

1 |dike a_z^(l₂)cons tonnevo A hke pants conegnalo i nerandatii vivi delle ennenarlor, teniendo che hjk @sonu marichorie interi.

Quando trasformiamo il sistema di rifermento cristallografico si può usare la matrice di trasformazione:

A' = ( a b c ) = ( m₁₁ m₁₂ m₁₃ ) ( a ) = XA ( a' b' c') ( m₂₁ m₂₂ m₂₃ ) ( b ) XB ( m₃₁ m₃₂ m₃₃ ) ( c ) XG

E calcolare: G = MG

tA' = ( H−1Gt )GAX' = ( H−1Gt )XCoordinate, atomi

Per passare da reticolo diretto a reticolo reciproco:

A' = GA, A = GA^-1X' = GA, X = GX^-1

Esempio

Calcolare la distanza reciproca d_hkl della famiglia di piani nel KCE (Cu,6,Zn,2) (2 0 2)

• (00 0.2509 0.0530)
• (0√1.378 0 0.250)
• (1 0 0√1.378) = (0.5336)

Nel sistema esagonale posso non considerare l'indice i

Esempio

Cubico, d = 1 (h²k²l²/a²) a = 5.9362 d/a² = 9.028378 (1/a²)

d = 3.629 q.28506, 2.969 q.372...2.369 q378...1.419q.372...

Esempio

Calcolare l'angolo diedro tra le facce (100) e (341) nel BaSO₄ (ortorrombico a = 8.85, b = 5.64)

L'angolo tra piani è il supplementare formato dalle perpendicolari ai piani (100) ⋀ (341) - 180 - atan^-10 cos α = X_GG ⋀ X_m

Svolgimento: α = arcos(α)