Reticolo diretto e reciproco modello cinematico della diffrazione e altri argomenti

Reticoli di Bravais

Descrizione generale

I reticoli di Bravais sono definiti da 3 vettori non complanari:

_R = _ma₁ + _ma₂ + _ma₃

Questa è una combinazione lineare di vettori di base.

Volume della cella

Il punto reticolare è dato da:

_Vc = _a₁(_a₂ x _a₃)

Il volume della cella è calcolato come:

_a x _b = - _b x _a (Anticommutativo)

La proprietà commutativa per i prodotti scalari è:

_a • _b = _b • _a

Numeri complessi

Nei numeri complessi:

_i = √-1

_z = _a + _ib

La razionalizzazione del numero complesso è importante per calcoli complessi.

Integrali

Gli integrali si calcolano tramite:

∫_f(_r) _dl = ∫∫∫ _dxdydz f(_x,_y,_z)_dl∙_r

Tipi di reticoli di Bravais

Ci sono vari tipi di reticoli, come il sistema cubico semplice, BCC e FCC.

Descrizione dei vettori

Il reticolo di Bravais è rappresentato da:

R = p̄₁ā₁ + m₂ā₂ + m₃ā₃

Questo è un esempio di combinazione lineare di vettori di base.

Il volume della cella è dato da:

V_c = ā₁ · (ā₂ × ā₃)

I 3 vettori non complanari definiscono il volume della cella:

ā₂ × ā₃ = ā₃ × ā₂ = - V̄_c

ā₂ · ā₃ = ā₃ · ā₂ (Anticommutativo)

Commutativo: ε = ε₁ |ā₁| · |ā₂| · sinθ^*

Il volume della cella è dato da:
V_c = ā₂ |ā₃| · l(ε₁) · cosa_α

L'altezza della cella unitaria è importante nel calcolo dei parametri reticolari.

Numeri complessi: dettagli

Per i numeri complessi:

z = a + ib

i = √-1

z ∈ ℂ

e^iϑ = p e^ib p (cosϑ + isinϑ)

Il modulo è dato da |e^iϑ| = 1 e |z| = √a² + b²

1/(a² + b²) è utilizzato per la razionalizzazione.

Proprietà dei materiali cristallini

Proprietà dei materiali cristallini:

Traslazione infinita e materiale macroscopico → il traslucere dei superfici

Considero una cella unitaria (ordine mm _II) che presenta pochi atomi.

Esistono 14 reticoli di Bravais e un insieme di punti raggiungibili dai vettori n_A, nm, z ∈ ℤ

ā₁, ā₂, ā₃: rappresentano 3 vettori non complanari.

Sistemi e loro rappresentazioni

Sistema cubico semplice, BCC, e FCC (metalli) non rappresentano bene l'atomo per la cella convenzionale.

Non è una rappresentazione dell'intera sezione.

È l'elementare che posso scegliere, hanno la stessa area.

Cella primitiva − > 1 elemento.

L'invarianza dovuta a idee della simmetria → contiene più piani.

Una cella convenzionale contiene 4 atomi, mentre una cella primitiva ne contiene 1.

Criterio di Wigner-Seitz

Il criterio di Wigner-Seitz per la costruzione della cella primitiva:

• Punto con 2 atomi vicini
• Piano perpendicolare nel punto medio
• Stessa cosa per i secondi vicini, i terzi, e così via fino a identificare la cella

V₀ = solo se permutazione ciclica.

Esempio: Oro - reticolo FCC - C atomi - 12 primi vicini.

• BCC - 8 primi vicini
• SC - 6 primi vicini

Esempio: Silicio - cella cubica - a_Si 0,543 nm - celle traslate di metà lato G - da atomi a tetraedri: 8 atomi.

Tutte le proprietà si possono ricavare dalla cella unitaria.

Misurazioni e calcoli avanzati

Il reticolo reciproco è misurabile con la diffrazione.