Radice di due

Radice di due 2011

File: Radice di due 2011 Data: 01/11/2011 Ora: 18.03.55

È noto che la misura della diagonale di un quadrato non è esprimibile

come multiplo razionale della misura del lato.

La diagonale, d'altra parte, è un segmento, e a esso deve poter essere

associata una misura.

L'insieme dei numeri razionali è insufficiente alla descrizione delle

misure di tutti

i segmenti, fissata una unità di misura.

Teorema

Teorema - Assegnati due numeri razionali a e b, con a < b, esistono

infiniti numeri

razionali maggiori di a e minori di b.

Dimostrazione

Dimostrazione - È evidente la verità della catena di uguaglianze

seguente: a a a b b b

#1: a = 13 + 13 < 13 + 13 < 13 + 13 = b

2 2 2 2 2 2

Allora il numero

a + b

#2: c = 13

2

che è un numero razionale, soddisfa la tesi.

Costruito c, si possono evidentemente costruire infiniti altri numeri

razionali che

soddisfano la tesi.

Definizione

Definizione - Un insieme che soddisfa la proprietà descritta dal teorema

precedente

si dice denso.

Pur essendo denso, l'insieme dei numeri razionali è insufficiente a

risolvere le nostre

esigenze di misura.

Per descrivere il nuovo numero, adatto a rappresentare la misura della

diagonale rispetto

al lato, si introduce una nuova espressione simbolica:

#3: √2

Possiamo dire che è il numero, il cui quadrato è 2.

Di che numero si tratta? In quale relazione sta con gli altri numeri? Che

cosa rappresenta?

Sappiamo che, se a, b e c sono tre numeri razionali positivi, allora

dalla disuguaglianza

#4: a < b < c

segue la disuguaglianza

2 2 2

#5: a < b < c

e viceversa. Se il nuovo numero si deve armoniosamente inserire tra i

numeri razionali,

dalla relazione vera tra i quadrati

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#6: 1 < 2 < 4

segue che

#7: 1 < √2 < 2

Per caratterizzare più precisamente il nuovo numero, suddividiamo

l'intervallo chiuso [1;2]

in dieci parti, ottenendo in forma decimale

 n 

#8: VECTOR1 + 13, n, 0, 10

 10 

#9: [1, 1.1, 1.2, 1.3, 1.4, 1.5, 1.6, 1.7, 1.8, 1.9, 2]

I quadrati dei numeri introdotti sono

 n 2 

#10: VECTOR1 + 13 , n, 0, 10

 10  

#11: [1, 1.21, 1.44, 1.69, 1.96, 2.25, 2.56, 2.89, 3.24, 3.61, 4]

Poiché 1.96 < 2 < 2.25, si può concludere che

#12: 1.4 < √2 < 1.5

Il procedimento introdotto può essere ripetuto tante volte quante si

vuole e procedere all'infinito.

Suddividendo l'intervallo [1.4;1.5]

 n 

#13: VECTOR1.4 + 13, n, 0, 10

 100 

#14: [1.4, 1.41, 1.42, 1.43, 1.44, 1.45, 1.46, 1.47, 1.48, 1.49, 1.5]

ed elevando al quadrato si ottiene

 n 2 

#15: VECTOR1.4 + 13 , n, 0, 10

 100  

#16: [1.96, 1.9881, 2.0164, 2.0449, 2.0736, 2.1025, 2.1316, 2.1609,

2.1904, 2.2201, 2.25]

e quindi

#17: 1.41 < √2 < 1.42

Proseguendo  n 

#18: VECTOR1.41 + 13, n, 0, 10

 1000 

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#19: [1.41, 1.411, 1.412, 1.413, 1.414, 1.415, 1.416, 1.417, 1.418,

1.419, 1.42]

 n 2 

#20: VECTOR1.41 + 13 , n, 0, 10

 1000  

#21: [1.9881, 1.990921, 1.993744, 1.996569, 1.999396, 2.002225,

2.005056, 2.007889, 2.010724, 2.013561, 2.0164]

#22: 1.414 < √2 < 1.415

Stiamo ottenendo approssimazioni razionali sempre migliori di √2.

Il numero 1.414 è detto, per esempio, approssimazione per difetto di √2 a

meno di 10^(-3) (un millesimo) poiché

#23: √2 - 1.414 < 1.415 - 1.414 = 0.001

Le approssimazioni per difetto di √2 a meno di 10^(-n) si possono

ottenere con la funzione predefinita Approx(u,n),

che di un numero u fornisce le prime n cifre significative arrotondando

per difetto. Esempi:

#24: APPROX(675432, 3) 5

#25: 6.75—10

#26: APPROX(0.005678953, 3)

#27: 0.00567

Poiché √2 ha una parte intera composta da una sola cifra, la scrittura

Approx(√2,n+1) restituisce l'approssimazione

di √2 a meno 10^(-n). Esempi:

#28: APPROX(√2, 5)

#29: 1.4142

#30: APPROX(√2, 6)

#31: 1.41421

Le approssimazioni di √2 per eccesso a meno di 10^(-n) si possono

ottenere sommando alle precedenti l'opportuna

potenza di 10. Esempio: l'approssimazione per eccesso a meno di 10^(-5) è

restituita da -5

#32: APPROX(√2, 6) + 10

#33: 1.41422

Se si approssima √2, per esempio, mediante la scrittura

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#34: APPROX(√2, 10)

#35: 1.414213562