Costruzione rigorosa dei numeri reali: Il contributo di Cantor e Dedekind

Raffaele SANTORO



I numeri reali e la potenza del

continuo

Vieste, Liceo Scientifico Statale Lorenzo Fazzini, Anno scolastico 1977-78

(Riscrittura su computer di vecchi appunti manoscritti dati, dal 1977, a diverse generazioni di allievi)

1 Introduzione [1]

Nelle pagine che seguono affronteremo la costruzione rigorosa dei numeri reali effettuata

verso la fine del secolo scorso (1872) da Georg Cantor.

La costruzione di Cantor fu la prima costruzione rigorosa dell'insieme dei numeri reali e fu

contemporanea ad un'altra costruzione, altrettanto rigorosa, effettuata da R. Dedekind. La

coincidenza temporale delle due costruzioni non é casuale: nacque infatti da una precisa

esigenza di sistemazione rigorosa di tutta la matematica, cominciata già verso la seconda

metà del secolo scorso.

Con la nascita del calcolo infinitesimale e differenziale ad opera di Newton e Leibnitz, che

facevano ricorso all'evidenza geometrica nell'introdurre i concetti di limite e di continuità, e

con la successiva algebrizazione della geometria iniziatasi con Cartesio, la geometria venne

detronizzata e quindi messa in secondo piano rispetto all'Algebra ed all'Analisi Matematica.

Però mentre della geometria e dei suoi metodi si conosceva una costruzione rigorosa e

assiomatica, non succedeva altrettanto per l'algebra e l'aritmetica; i numeri (naturali, interi,

razionali, reali) furono introdotti senza troppi scrupoli rigoristici, solo in funzione

strumentale del loro uso. Infatti i numeri irrazionali erano già stati introdotti nell'antichità

greca come rapporto fra grandezze incommensurabili (ad esempio lato e diagonale di un

quadrato) per via, quindi, puramente geometrica; per via algebrica, invece, furono introdotti

2

dalla necessità di risolvere equazioni del tipo x - 2 = 0, né si aggiunse altro.

Oggi sappiamo che tutti gli insiemi numerici si possono ricondurre agli insiemi dei numeri

naturali con successive estensioni. Diceva Kroneker: "I numeri naturali li ha fatti il buon

Dio, tutto il resto é opera dell'uomo", dove l'espressione "il buon Dio" sta a significare

semplicemente che l'uomo ha rinunciato a dare una spiegazione dei numeri naturali, essendo

questi legati alla semplice e "naturale" operazione del contare.

Prima di introdurre i numeri reali secondo Cantor (a partire dai razionali), vedremo

brevemente [2] come si possono introdurre i numeri interi ed i numeri razionali a partite dai



numeri naturali; seguirà ancora un paragrafo sulle proprietà dell'insieme dei razionali

.

strutturato con le operazioni '+' , '.' e con la relazione d'ordine

Raffaele Santoro: I numeri reali e la potenza del continuo Pagina 2

2 Numeri naturali: insieme .

 



 0

, 1

, 2

.

=

3 Numeri interi: insieme .

I numeri interi si possono definire a partire dai numeri naturali nel modo seguente:



  

 

  

m

, n / m , n

Si considerano tutte le coppie ordinate si numeri naturali

(intuitivamente la coppia rappresenterà il numero relativo m - n)

 Tra queste coppie si definiscono le operazioni

     

   

m

, n p

, q m p

, n q

'+':      

   

m

, n p

, q mp nq

, mq np

'.':

(le definizioni riflettono quello che si fa, in pratica, per sommare e moltiplicare i due

numeri m - n e p - q)

 Due coppie rappresentano lo stesso numero se m + q = n + p.

)

In termini più precisi, la relazione (definita in



(m, n)(p, q) m + q = n + p

é una relazione di equivalenza ed i numeri relativi si ottengono identificando tutte le coppie

di naturali tra loro equivalenti: i numeri interi positivi sono rappresentati da coppie del tipo

(m, 0) e quelli negativi da coppie del tipo (0, m). Ad esempio:

 

       

 

0

,

0 (

0

,

0

), 1

,

1 , 2

, 2 ,

la classe di equivalenza rappresenta 0,

 

  

      

 

1

,

0 1

,

0 , 2

,

1 , 3

, 2 ,

la classe di equivalenza rappresenta 1,

 

  

      

 

0

,

1 0

,

1 , 1

, 2 , 2

,

3 ,

la classe di equivalenza rappresenta -1,

… :

L'insieme quoziente, o insieme di tutte le classi di equivalenza, definisce l'insieme

         

             

   

   

, 0

, 2 , 0

,

1 , 0

,

0 , 1

,

0 , 2

,

0 , , 2

, 1

, 0

, 1

, 2

,

 .

4 Numeri razionali: insieme 

1 4

= 0,5; = 1,333 … = 1, 3; …

2 3

I numeri razionali o frazioni si possono definire a partire dai numeri interi.

Raffaele Santoro: I numeri reali e la potenza del continuo Pagina 3



  

  

 

Si considerano tutte le coppie ordinate (x, y) di numeri interi , con

x

, y / x , y 0

x

y0 (il simbolo (x, y) sarà poi sostituito da quello più usuale ).

y

 Tra queste coppie si definiscono le operazioni

  

'+': ( x

, y ) (

u , v ) ( xv yu , yv )

 

'.': ( x

, y ) (

u , v ) ( xu

. yv )

(le definizioni riflettono quello che si fa, in pratica, per sommare e moltiplicare i due

x u

frazioni e ).

y v

 

Due coppie (x, y) e (u, v) rappresentano lo stesso numero se . In termini piú

xv yu

precisi:    .

( x

, y ) (

u , v ) xv yu

 La relazione appena definita é una relazione di equivalenza ed i numeri razionali si

ottengono identificando tutte le coppie ordinate fra loro equivalenti. Ogni sottoinsieme

,



di , costituito da tutte le coppie fra loro equivalenti in costituisce una classe di

0

equivalenza che verrà identificata prendendo una coppia qualunque della classe, di

solito quella che noi chiamiamo frazione ridotta ai minimi termini. L'insieme di tutte

:

queste classi, l'insieme quoziente, definisce l'insieme



 

 0

 .



Ad esempio sono equivalenti fra di loro le coppie ordinate:

(2, 3), (4, 6), (-2, -3), (-12, -18),…

Come rappresentante di questa classe di equivalenza si prende la coppia (2, 3) che definisce

quella che chiamiamo frazione ridotta ai minimi termini. … diventa lo zero dei

La coppia (0,1), equivalente alle coppie del tipo (0,2), (0, -3),

razionali. (2, 2), (7, 7), … diventa l'unità dei

La coppia (1,1), equivalente alle coppie del tipo (-3,-3),

razionali.

I numeri interi, contenuti nei razionali, sono tutte le coppie del tipo (x, 1).

5 Corpo ordinato dei numeri razionali 

Enunciamo qui, senza dimostrarle, le proprietà dell'insieme quando venga strutturato con

le operazioni interne '+' , '' e venga munito di una relazione d'ordine.

a) (,+,) é un corpo commutativo: questo significa che

(,+) é una struttura di gruppo abeliano

(\{0},) é una struttura di gruppo abeliano

la moltiplicazione é distributiva rispetto all'addizione

Raffaele Santoro: I numeri reali e la potenza del continuo Pagina 4



b) é totalmente ordinato dalla relazione ''. In simboli:

  (riflessività) (1)

x : x x  

x y

   

 (antisimmetria) (2)

x , y : x y

 

y x  

x y

    

 (transitività) (3)

x

, y , z : x z

 

y z

    (4)

x

, y : x y oppure y x ),

Le (1), (2) e (3) sono le note proprietà della relazione di ordine largo (in mentre la

, 

(4) stabilisce che la relazione é di ordine totale in cioè che l'insieme é totalmente

ordinato dalla relazione ''.

c) La relazione d'ordine é compatibile con l'addizione:

        (5)

x

, y

, z : x y x z y z

d) Il prodotto di di due numeri maggiori o uguali a zero é un numero maggiore o uguale a

zero:  

0 y

   

 (6)

x , y : 0 xy

 

0 y

Si chiama corpo totalmente ordinato ogni corpo che soddisfa agli assiomi da (1) a (6).



e) Il corpo é denso:

      ,

x

, y

, x y

, z tale che : x z e z y 

cioè, comunque sono assegnati due numeri razionale x e y, con x y, esiste almeno un

numero razionale z (e quindi infiniti) compreso tra x e y.

f) Valore assoluto di un numero razionale: 

 x SE 0 x

 

x  

 .

x SE x 0 

Rispetto all'addizione ed alla moltiplicazione in valgono le seguenti proprietà.

  

x y x y



xy x y

g) Intervalli



In si chiama intervallo aperto determinato da a e b il sottoinsieme di numeri razionali

compresi in senso stretto tra a e b. In simboli:

Raffaele Santoro: I numeri reali e la potenza del continuo Pagina 5

 

     

a

, b x a x b (a b)

Se a = b, nessun x soddisfa la condizione di sopra e abbiamo:

   .

a, a

L'intervallo chiuso di estremi a e b é dato da:

 

     

a

, b x a x b (a b).

Se a = b, abbiamo:

   



a

, a a .

Spesso vengono utilizzati anche gli intervalli semiaperti (o semichiusi):

 

    

a

, b x a x b

 

    

a

, b x a x b .

 

l b a

Il numero é il diametro dell'intervallo determinato da a e b. Risulta sempre

  .

l 0 perché a b

Gli intervalli hanno un rappresentazione intuitiva sulla retta numerica:

Un intervallo chiuso di diametro nullo ha un solo elemento. Un intervallo aperto o

semiaperto di diametro nullo è vuoto.

6 Successioni di numeri razionali   

Si chiama successione di numeri razionali ogni applicazione di in :

:  

: 

n a .

n

Raffaele Santoro: I numeri reali e la potenza del continuo Pagina 6

a =(n) si chiama termine generale della successione. La successione sarà indicata

n

simbolicamente con (a ).

n

Esempi:

1 1 1 1





a) 1

, , , , a n

2 3 4 n 

1 3 5 7 2 n 1





b) , , , , a n

3 6 9 12 3

n

  

  n 1

… a 1

c) 1, -1, 1, -1, n   

 n 1

1

1 1 1 1 

  

d) a

1

, , , , , 

n n 1

2 4 8 16 2



k n 3





0.3, 0.33, 0.333, …

e) a n k

10



k 1

 



a a 1

1 2

f) 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, …    



a a a ( n 2

)

 

n 1 n n 1



 a 1



 2 n 1

1 1 1 



g) 1

, , , 1

, , 1



2 3 4  a 

 2 n n 1

  

h) 2, 2, 2, 2, …  .