Frazioni e numeri periodici: Approfondimento e comprensione

Frazioni generatrici e numeri periodici

Sunto

Si tratta di un lavoro relativo allo studio delle frazioni e dei numeri periodici, in particolare si affronta il problema della ricerca delle frazioni generatrici. I libri di testo non giustificano l'algoritmo che parla «..di tanti nove quante sono le cifre del periodo e di tanti zeri quante sono quelle dell'antiperiodo..», ecc. Eppure tutti gli studenti imparano a fare i calcoli senza comprenderne il motivo.

Presenterò tre modalità.

Una introducendo i numeri reali come «scatole cinesi», una con la serie geometrica ed infine una più semplicistica e poco rigorosa.

Si è cercato di rendere più chiaro un particolare aspetto della disciplina.

Affrontare tali argomentazioni con la dovuta precisione favorirà sicuramente lo studente nell'acquisizione di contenuti fondamentali della matematica. Le approssimazioni, talvolta necessarie, che si è costretti a compiere rendono più sterile l'insegnamento della stessa e contribuiscono all'errata convinzione che essa sia una materia per pochi eletti.

Roberto Gentile

Insegnante di matematica e informatica presso l’I.PC. “Caracciolo-S. Rosa” di Napoli

roberto.gentile@istruzione.it

Introduzione

I numeri reali e le scatole cinesi ≤ li chiamiamo numero

Siano a e b una coppia di numeri razionali con a b

≤ ≤

Intervallo l'insieme [a, b] = { x razionale : } e definiamo Sc scatola

a x b

cinese una successione di numeri intervallo I₁, I₂, ……………, I_n, ………. tale che

1 2 n

Ognuno è contenuto nel precedente e il limite per n che tende all'infinito della loro ampiezza è zero.

Ciò equivale ad affermare che l'estremo inferiore dell'insieme delle ampiezze degli intervalli I è zero.

n

Notiamo che ogni scatola cinese può contenere al più un numero razionale e che ogni espansione decimale definisce una Sc tale che w(I_n) (dove w indica l'ampiezza) è 10^-n e gli elementi di I sono multipli di 10^-n.

n

Sia S={Sc} classe delle scatole cinesi ed R una relazione di equivalenza così definita:

Ù ∩ ≠ ∅ ∀ ∈ Ν

) R (I')

(I I' n

n n n n 1

Ciò accade se posto I = [a, b] e I' = [c, d] per ogni n naturale

n n n n n n

≤

r = max{a, c} min {b, d}= s

n n n n n n

Dunque, un elemento dell'insieme quoziente S/R è detto numero reale ed è chiaramente una classe di equivalenza di S rispetto alla relazione R.

Osserviamo che se r è un numero razionale, la classe (I_n) da essa determinata è data dagli intervalli del tipo I_n=[r, r] per ogni n naturale. Pertanto si definiscono razionali le classi che contengono un numero razionale e irrazionali altrimenti.

Facciamo alcuni esempi:

Sc razionale

[0;1], [0.1; 0.2], [0.16; 0.17], [0.166; 0.167], ……………..

È una successione che determina 1/6, come si può constatare eseguendo la divisione, mentre

Sc irrazionale

[1;2], [1.4; 1.5], [1.41; 1.42], [1.414; 1.415], ……………..

. In tal caso si può usare un algoritmo per il

È una successione che determina 2

calcolo della radice quadrata.

Operazioni aritmetiche e relazione d'ordine

Introduciamo le operazioni aritmetiche e una relazione d'ordine.

∈ S

Se (I_n) e (I'_n)

= [a, b] e I' =[a', b']

con I n n n n n n

Per ogni n naturale sia J = I + I'

n n n ∈

(J_n)=(I_n)+(I'_n) J_n =[a+a', b+b'] S

∈

Siano A e B e sia (I_n) un rappresentante di A e (I'_n) un rappresentante di B, si può definire A+B =((I_n)+(I'_n)) che risulta essere ben data perché non dipende dalla scelta dei due rappresentanti.

La classe nulla risulta (0), infatti A+(0) = (0)+ A = A, dove (0) è la classe