Quesito sulla funzione Zeta di Riemann

Quesito sulla Funzione Zeta di Riemann

Proposto dall’ing. Pasquale Cutolo

Introduzione

Partendo dalle sottostanti formule (A) e (B), dopo vari passaggi che sembrano del tutto regolari, abbiamo ottenuto risultati completamente diversi, (formule (3) e (7)).

Abbiamo, però, riscontrato che partendo dalla formula (8) abbiamo ottenuto lo stesso risultato di quello ottenuto partendo dalla formula (B).

Appare quindi chiaro che il risultato ottenuto partendo dalla formula (A), formula (3), è quello non attendibile.

Poiché il procedimento seguito per ottenere la formula (3) sembra del tutto regolare, chiediamo: dove è l’errore?

Le restanti parti rappresentano alcune considerazioni.

Relazioni iniziali

Consideriamo le relazioni:

m m 1

lim

(ln )

k (ln n )

∑ γ

− = , m∈N (A)

→ ∞ + m

k n m 1

≥1

k γ

∞ − k

( 1

)

1 ∑

ζ −

− k

k ( s 1

)

= (B)

( s ) − k !

s 1 = 0

k

γ

Le sono note come le costanti di Stieltjes

m

(vedasi [1], pag. 118; [2], pag. 12).

È noto inoltre che: m

lim (ln k )

∑

ζ ζ −

= m

( m ) ( m ) ( 1

)

= (1)

( s ) (

1

)

+

→ k

s 1 ≥

k 1

γ '

Nel prosieguo indichiamo con le costanti che figurano nella (A),

m

γ ''

e con le costanti derivanti dalla (B).

m

Prima considerazione

1) La (A) viene ricavata considerando la relazione:

+

m

m m m 1

lim (ln )

(ln ) (ln ) (ln )

k n

k x

∞

∑ ∑

∫ γ

− = −

dx '

= (A’)

→ ∞ + m

1

k x k n m

1

≥ ≥1

k 1 k

Per m = 0, dalla (A) ricaviamo la ben nota relazione:

lim n 1

∑ γ γ

− = = = 0,5772156649 (2)

[ ln n ]

→ ∞ 0

n k

=

k 1

γ

essendo nota come la costante di Eulero-Mascheroni.

Per m = 1, dalla (A’) otteniamo: lim

ln k 1

∑ γ

= + 2

' (ln n )

1 → ∞

k 2 n

≥

k 1

Utilizzando le formule (1), (A’) e (2), troviamo: γ ' 1

+

1

lim

lim

1 2

ln k

∑ γ +

− 2

2 (ln n )

n

' (ln )

ζ → ∞

1 → ∞ 1

' (

1

) n

n

2

k − = −

= = − =

≥

k 1 γ

ζ 2 1 lim 2

[ (

1

)] ∑ + 2

γ

2 + 2 ( 1

)

[ ] ( ln n ) lim

→ ∞

k n

≥

k 1 ln n

→ ∞

n

In generale, utilizzando la (A’) e la (2), ricaviamo:

1 +

m 1

m lim (ln n )

k

(ln )

∑ γ +

'

ζ m → ∞ +

( m ) (

1

) n m 1

k

= − − =

≥ m

m k 1

( 1

) = ( 1

)

+

ζ m 1 1 lim

[ (

1

)] ∑ + +

γ

m 1 + m 1

( ) ( ln n )

→ ∞

k n

≥

k 1

γ ' 1

+

m +

lim m 1

+

1

m

(ln n )

→ ∞ 1

n

− = −

m m

( 1

) ( 1

) (3)

= γ +

m 1

+

+ 1

m

( 1

)

lim ln n

→ ∞

n ζ

Seconda considerazione

2) Utilizzando la (B), che è lo sviluppo in serie di Laurent di ζ,

(s )

nell’intorno di s = 1, otteniamo: lim ζ

− = (4)

[( s 1

) ( s )] 1

→

s 1