Una nota sui coefficienti delle potenze dello sviluppo in serie della funzione...

1

UNA NOTA SUI COEFFICIENTI DELLE POTENZE

DELLO SVILUPPO IN SERIE DELLA FUNZIONE

− t , E RELAZIONI CONNESSE

F(t) = −

ln(

1 t )

(A NOTE ON THE COEFFICIENTS OF THE POWERS

IN THE EXPANSION IN SERIES OF THE FUNCTION

− t

F(t) = , AND RELATED CONNEXIONS)

−

ln(

1 t ) di Pasquale Cutolo

(p.cutolo@inwind.it)

1 Premesse

Le potenze dello sviluppo in serie della Funzione

− t

F(t) = (1.01)

−

ln(

1 t )

presentano dei coefficienti che hanno particolari caratteristiche che andremo ad esaminare.

Nel presente studio vengono prese in esame delle relazioni utili per il calcolo dei coefficienti

C K delle potenze suddette.

k ! Infine, vengono prese in esame le relazioni che collegano i numeri con i numeri di

C K

Bernoulli, e con i numeri di Stirling di seconda specie.

ABSTRACT − t

The powers in the expansion in series of the Function F(t) = have coefficients with

−

ln(

1 t )

particular characteristics that we are going to examine. C K

In our study we examine some relations useful to calculate the coefficients of the above-

k !

mentioned powers

Furthermore, we consider the relations that link up the numbers with the Bernoulli’s

C K

numbers, and with the Stirling’s numbers of second kind

2. Svolgimento dello studio

Posto − K

t t

∑

= ≤

C

F(t) = , , (2.01)

t 1

− K

ln(

1 t ) k !

≥

K 0

abbiamo: +

K h K r 1

( ) ( )

t t t t

∑ ∑ ∑ ∑

= − = −

-t = (h=r+1) , (2.02)

C C

1 1 +

K K

!

k h k ! r 1

≥ ≥

≥ ≥

K h K 0 r 0

0 1

e quindi 2

K r

t t

∑ ∑

=

1 (2.03)

C +

K k ! r 1

≥ ≥

K 0 r 0

Derivando la (2.03), n volte, rispetto a t, e ponendo dopo t=0, ricaviamo:

⎛ ⎞ −

n

n ( )!

n k

∑ ⎜ ⎟ = 0

C

⎜ ⎟ − +

K

⎝ ⎠

k 1

n k

=

K 0

cioè n C 1

∑ =

K 0 , n (intero)>0, (2.04)

− +

k n k

! 1

= 0

K = =

Dalla (2.03), per k=0, ed r=0, abbiamo 1

C ; ritroviamo lo stesso valore (

C 1

) se passiamo

0 0

→ , di ambo i membri della (2.01)

al limite, per t 0 C

La (2.04) rappresenta una relazione attraverso la quale possiamo calcolare tutte le costanti K

Dalla (2.04), per n=1, 2, 3, 4, 5… , troviamo, rispettivamente:

1 1 1 19 9

= − = − = − = − = −

, , ,

C C C C , C ,…

1 2 3 4 5

2 6 4 30 4

C sono dei numeri razionali

Dalla (2.04) desumiamo, inoltre, che le costanti K

C sono dei numeri che godono delle seguenti proprietà:

Le costanti K

A) Integrando ambo i membri della (2.01), rispetto a t, tra i limiti 0 e 1, ricaviamo:

1

∑ C = ln2 (2.05)

+

K ( k 1

)!

≥

K 0

Infatti − − −

− −

− − 2

y y y

∞ ∞

t 1 e e

1 e

t

1 1

∫ ∫ ∫ ∫

− −

= =

= = =

y y

dt =ln2

dy

( ) e dy

dt t e ( )

− −

ln(

1 )

t y

ln y

t

0 0 0 0

Ricordiamo che − −

−

py qy

∞ q

e e

∫ = , (2.06)

ln

dy p

y

0

essendo p e q numeri reali positivi.

Ponendo nella (2.06), q=2, p=1,otteniamo il valore fornito dalla (2.05)

Dividendo, per t, gli ultimi due membri della (2.01), ed integrando, rispetto a t,

B) tra i limiti 0 e 1, otteniamo: C

∑ γ

= −

K (2.07)

k ! k

≥1

K

γ =

essendo 0,5772156649 la ben nota costante di Eulero-Mascheroni.

Infatti, operando, abbiamo:

− ( )

1

1 dt

1 1 1

∫

∫ ∫ −

− = − − = =

1 y

dt t ( )

dt ln t e =

− 0

t

t ln

ln(

1 ) t

0 0 0

∞ ∞ ( )

( )

1

∫ ∫

− − − =

− − =

1 1

y y

e d ln y ln y

e dy y

ln

= − 0

0

y

( )

0 0

⎡ ⎤

∞ ( ) ( )

∫

− ∞ −

+ − 1

y y

= ( e ln y ) ln y e dy ln y

⎢⎣ ⎥⎦

0 0

0 lim

⎡ ⎤

∞ ( )

∫ γ −

− = Γ = Ψ = − =

y y

Ora, ln y e dy ' (

1

) (

1

) , mentre ( e ln y ) 0 ;

⎢⎣ ⎥⎦ → ∞

y

0 3

quindi: [ ]

lim lim lim

γ γ γ

− −

− − + = − + − = −

y y

( e ln y ) (ln y ) (

1 e ) ln y ,

→ → →

y 0 y 0 y 0

[ ]

lim −

− =

y

in quanto (

1 e ) ln y 0

→

y 0

C) Le costanti C , C ,....

C sono tutte negative, e lo dimostreremo.

1 2 n

Ammettiamo, per ipotesi, che le costanti C , C ,....

C siano tutte negative.

1 2 n

Per la (2.04), abbiamo:

n C C

C C C 1

1 1 1

∑ = + + + + + =

0 n

K 1 K

... ... 0 (2.08)

− + + − +

! 1 !

k n k n n k n k n

! 1 0

! 1 1

!

=

K 0

Sostituendo, nella (2.08), n+1 ad n, otteniamo:

+

1

n C

C

C C C

1 1 1 1

∑ = + + + + + =

+

n

0

K 1 1

K

... ... 0 (2.09)

− + + + − + +

! 2 0

! 2 1

! 1 ! 2 ( 1

)!

k n k n n k n k n

= 0

K

Moltiplicando ciascun termine della (2.08) per n+1, e ciascun termine della (2.09) per n+2, e

sottraendo, quindi, termine a termine, i risultati ottenuti, abbiamo

+ + + + + +

C C C

n n n n n n

1 2 1 2 1 2

− + − + + − +

1 2 K

( ) ( ) ... ( ) ...

+ − − + − +

n n n n k n k n k

1

! 1 2

! 1 ! 1 2

. (2.10)

+

+