Cos'è un quadrato: caratteristiche e formule principali

In questo appunti troverai la definizione di quadrato, accompagnata da istruzioni e formule per il calcolo del perimetro, dell'area e della diagonale. Inoltre, a fondo pagina, potrai trovare un esercizio svolto correlato.

La definizione di quadrato e di quadrilatero

Il quadrato è una figura geometrica piana, appartenente all'insieme dei quadrilateri. Si definisce quadrilatero una figura geometrica delimitata da quattro lati, e che possiede quindi quattro angoli.

Più precisamente il quadrato è un quadrilatero regolare, il che significa che possiede quattro lati e quattro angoli congruenti. Altri esempi di quadrilateri regolari sono il triangolo equilatero e il rombo.

Come calcolare il perimetro di un quadrato

Sappiamo benissimo che il perimetro di una figura geometrica si calcola sommando tutti i suoi lati. Essendo una somma di lunghezze, la sua unità di misura è il metro (o i suoi sottomultipli). In particolare, la formula per calcolare il perimetro del quadrato sarà:

Dato che il quadrato possiede quattro lati tutti congruenti, la formula si può semplificare nel seguente modo:

Ricorda: in geometria il perimetro si scrive

, mentre la indica il semiperimetro.

Da questa formula è possibile ricavare anche la formula inversa che ti permette di calcolare la misura del lato del quadrato noto il perimetro. Essa è:

.
Attenzione: 2p è il "simbolo" riferito al perimetro, 2 non è incluso nel calcolo e non può essere semplificato con il 4 al denominatore!

Come calcolare l'area di un quadrato

Definiamo area la superficie di una qualsiasi figura geometrica delimitata dal suo perimetro. L'unità di misura utilizzata per l'area è il metro al quadrato e i relativi sottomultipli. La formula per il calcolo dell'area del quadrato è:
ovvero:

Anche in questo caso, è possibile ricavare una formula inversa adibita al calcolo del lato, nota la superficie. In particolare:

.

Come calcolare la diagonale di un quadrato

Il quadrato possiede due diagonali congruenti. Si definisce diagonale il segmento che congiunge due vertici consecutivi in una figura geometrica. Trattandosi di una lunghezza, l'unità di misura utilizzata è il metro e i relativi sottomultipli.
Se disegniamo una sola diagonale al quadrato, esso risulterà diviso in due triangoli isosceli rettangoli, aventi come lati uguali i due lati del quadrato e come ipotenusa la diagonale del quadrato.

Poiché siamo in presenza di un triangolo rettangolo, si può applicare il Teorema di Pitagora. Il Teorema di Pitagora afferma che la superficie del quadrato costruito sull'ipotenusa è pari alla somma di quelli costruiti sui cateti.

Considerando

l'area del quadrato costruito sull'ipotenusa e e l'area dei quadrati costruiti sui cateti, possiamo dire che, in termini matematici:
e che quindi ,
che equivale a dire .

Considerato uno dei due triangoli isosceli in esame, possiamo dedurre che la formula della diagonale del quadrato è

Oppure, più semplicemente:
Anche in questo caso, dalla formula diretta è possibile ricavarne una inversa, utile nel calcolo del lato avendo nota la misura della diagonale. In termini matematici:

Esercizio 1 di ricapitolazione sulle formule del quadrato

Consideriamo un quadrato cui superficie misura . Calcola la misura del lato e della diagonale.

Svolgimento

Poiché è nota l'area, possiamo utilizzare la formula inversa per calcolare la lunghezza del lato, cioè:
Infine utilizziamo la formula diretta del calcolo della diagonale per soddisfare la seconda richiesta:

Esercizio 2 di ricapitolazione sulle formule del quadrato

La diagonale di un quadrato è lunga . Calcola la misura dell'area e del perimetro.

Svolgimento

Utilizziamo la formula inversa ricavata dalla diagonale per calcolare il lato:

e infine le formule dirette di area e perimetro per ricavarne i valori:

e

Per ulteriori approfondimenti sul quadrato vedi anche qua