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Punti di discontinuità della seguente funzione:

y = (x2 - 1) / (x2 + x - 12)

Dominio della funzione:

]-∞; -4[ ⋃ ]-4; 3[ ⋃ ]3; ∞[

oppure x → x < -4 ∨ -4 < x < 3 ∨ x > 3

ℝ - {-4, 3}

Valori candidati per essere discontinuità:

Punti di accumulazione del dominio che non appartengono al dominio:

x = -4  x = 3

Calcolo dei limiti e classificazione delle discontinuità:

limx→-4 (x2 - 1) / (x2 + x - 12) = ∞

Discontinuità di II specie

limx→-4− (x2 - 1) / (x2 + x - 12) = -∞

limx→-4+ (x2 - 1) / (x2 + x - 12) = -∞

f(-4) = ∄

limx→3 (x2 - 1) / (x2 + x - 12) = -∞

Discontinuità di II specie

limx→3− (x2 - 1) / (x2 + x - 12) = ∞

limx→3+ (x2 - 1) / (x2 + x - 12) = ∞

f(3) = ∄

Grafico

* * 5 2 4

-4 -2 -5

Creato da Roberto Caria per skuola.net

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Punti di discontinuità - Funzioni razionali fratte Pag. 1
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Sintesi

Studio dei punti di discontinuità delle funzioni razionali fratte

Definizioni

Una funzione f(x) si dice continua in c se:

[math]\lim_{x\to c}{f(x)}=f(c)[/math]

In particolare devono essere verificate le seguenti 3 condizioni:

  • [math]c \in D_f[/math]
    (il punto c deve appartenere al dominio di f)
  • [math]\lim_{x\rightarrow c^-}{f(x)} = \lim_{x\rightarrow c^+}{f(x)} = l[/math]
    (i limiti sinistro e destro devono essere entrambi finiti e coincidere)
  • [math]f(c)=l[/math]
    (il valore della funzione in c deve coincidere con il limite l)

Se qualcuna delle condizioni precedenti non è verificata allora si dice che c è un punto di discontinuità.

Si hanno 3 specie di punti di discontinuità.

  • Discontinuità di I specie

    [math]\lim_{x\rightarrow c^-}{f(x)} = l_1[/math]

    [math]\lim_{x\rightarrow c^+}{f(x)} = l_2[/math]

    [math]l_1 \neq l_2[/math]

    Cioè i limiti sinistro e destro sono entrambi finiti ma diversi tra loro. In questo caso si definisce il salto della funzione la differenza tra i limiti

    [math]salto=l_2-l_1[/math]
    .

  • Discontinuità di II specie

    Almeno uno dei due limiti (sinistro o destro) o non esiste o è infinito.

  • Discontinuità di III specie

    I due limiti sinistro e destro sono entrambi finiti, coincidono fra di loro ma o la funzione non è definita in c oppure

    [math]f(c) \neq l[/math]
    .

Studio delle discontinuità nelle funzioni razionali fratte

Nelle funzioni razionali fratte si possono avere le seguenti situazioni:

  • Il valore c annulla il denominatore ma non il numeratore.
    • C sarà un punto di discontinuità di II specie e in c la funzione avrà un asintoto verticale.
  • C annulla sia il numeratore che il denominatore; si possono avere allora le seguenti situazioni:
    • C è una radice con molteplicità del numeratore maggiore o uguale alla molteplicità del denominatore.
      • C sarà una discontinuità di III specie.
    • C è una radice con molteplicità del numeratore minore della molteplicità del denominatore.
      • C sarà una discontinuità di II specie e in c la funzione avrà un asintoto verticale.

Negli esercizi allegati per la risoluzione si scompongono sia il numeratore che il denominatore per effettuare la semplificazione e quindi stabilire il tipo di discontinuità.

  • [math]f(x) = \frac{x^2-1}{x^2+x-12}[/math]

    In questo caso il denominatore si annulla per i valori 3 e -4 ma il numeratore no quindi si hanno discontinuità di II specie (vedi calcoli allegati).

  • [math]f(x) = \frac{x^2-4x+3}{x^2+x-12}[/math]

    In questo caso una radice del denominatore è anche radice del numeratore (x=3) e quindi 3 sarà una discontinuità di II specie mentre -4 è una radice solo del denominatore, quindi in -4 ci sarà una discontinuità di II specie (vedi calcoli allegati).

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