Punti di discontinuità delle funzioni definite per intervalli

Continuità e discontinuità

In particolare devono essere verificate le seguenti 3 condizioni:

• [math]c \in D_f[/math]
  (il punto c deve appartenere al dominio di f)
• [math]\lim_{x\rightarrow c^-}{f(x)} = \lim_{x\rightarrow c^+}{f(x)} = l[/math]
  (i limiti sinistro e destro devono essere entrambi finiti e coincidere)
• [math]f(c)=l[/math]
  (il valore della funzione in c deve coincidere con il limite l)

Se qualcuna delle condizioni precedenti non è verificata allora si dice che c è un punto di discontinuità.

Si hanno 3 specie di punti di discontinuità.

• Discontinuità di I specie
  [math]\lim_{x\rightarrow c^-}{f(x)} = l_1[/math]
  [math]\lim_{x\rightarrow c^+}{f(x)} = l_2[/math]
  [math]l_1 \neq l_2[/math]
  Cioè i limiti sinistro e destro sono entrambi finiti ma diversi tra loro. In questo caso si definisce il salto della funzione la differenza tra i limiti
  [math]salto=l_2-l_1[/math]
• Discontinuità di II specie Almeno uno dei due limiti (sinistro o destro) o non esiste o è infinito.
• Discontinuità di III specie I due limiti sinistro e destro sono entrambi finiti, coincidono fra di loro ma o la funzione non è definita in c oppure
  [math]f(c) \neq l[/math]
  .

Studio delle discontinuità nelle funzioni definite per intervalli

Nelle funzioni definite per intervalli i punti di discontinuità si cercano tra i seguenti valori:

• Si prende ognuna delle espressioni della funzione e si determinano i punti di accumulazione del suo dominio (della singola espressione non della funzione) che appartengono al suo intervallo di competenza.
• I valori che sono di raccordo tra i vari intervalli di competenza delle singole espressioni.

Negli esempi seguenti si hanno le seguenti situazioni:

• [math]f(x)=\begin{cases} -x^2-1 & x<=0 \\ 2x & x>0 \end{cases}[/math]
  In questo caso le singole espressioni hanno come dominio tutto R quindi si studia solamente nell'unico punto di raccordo tra gli intervalli (x=0).
• [math]f(x)=\begin{cases} 2 & x<=0 \\ tg(x) & x>0 \end{cases}[/math]
  In questo caso la seconda espressione non esiste per
  [math]x \neq \frac{\pi}{2}+k \pi[/math]
  , quindi i punti di discontinuità si studiano per questi valori e in più per il valore di raccordo degli intervalli (x=0).