Progettazione Funzionale

Introduzione al corso ed elementi di base

Cinematica del punto

La cinematica studia il movimento dei sistemi a prescindere dalle forze che sono applicate; quindi stiamo studiando la correlazione che c'è tra un punto ed un altro. Se definiamo l'essenza di un corpo rigido come un punto rigido all'interno di uno spazio, P. Tale punto si trova in una certa posizione rispetto ad una terna di riferimento, la terna di riferimento è una terna fissa. La descrizione della posizione del punto viene effettuata mediante le coordinate, che risultano essere le proiezioni di questo vettore rispetto alla terna di riferimento.

Proiettando il vettore posizione, ottengo le 3 coordinate, necessarie per la determinazione di un punto (x, y, z), quindi a sua volta per descrivere la posizione ho bisogno di 3 coordinate per i 3 gradi di libertà del punto stesso. Il vettore posizione, , è il vettore che congiunge l'origine degli assi al punto P, ed è descritto nelle sue componenti rispetto ai versori della terna di riferimento.

Un sistema di punti, rigidi tra loro, significa che le distanze tra loro non variano, anche in movimento. L'equazione di fianco descrive esattamente la definizione di corpo rigido, ovvero la distanza tra due punti del medesimo corpo rigido non varia tra loro.

Un'altra definizione importante nella cinematica è la traiettoria, che rappresenta la sequenza dei punti descritti da un punto nel tempo. Viene espressa mediante delle leggi temporali che esprimono, a loro volta, come ogni coordinata che descrive il punto rispetto alla terna di riferimento varia nel tempo.

È possibile introdurre l'ascissa curvilinea, che sostanzialmente ci permette di descrivere la traiettoria presa in considerazione, una volta che scelgo un riferimento sulla traiettoria e cerco di capire come il punto è posizionato rispetto al riferimento preso muovendomi lungo la traiettoria. In questo caso la descrizione parametrica non è dipendente dal tempo ma da un parametro nuovo, l'ascissa curvilinea.

Introdotto l'ascissa curvilinea, possiamo introdurre anche il concetto di velocità scalare, che per definizione risulta essere la derivata dell'ascissa curvilinea nel tempo ed è scritta in corsivo, perché esattamente uno scalare. Qualora invece fossimo interessati alla velocità vettoriale di un punto, sarà necessario derivare il vettore posizione (determinato rispetto ad una terna fissa nel tempo) rispetto al tempo per ottenerla. La notazione ci fa bene notare come invece in questo caso essendo una grande vettoriale è espressa in grassetto.

Quando faccio la derivata nel tempo, posso inserire l'ascissa curvilinea, derivando rispetto all'ascissa curvilinea e poi moltiplicando per la derivata dell'ascissa curvilinea nel tempo. Per tale funzione possiamo definire, come il secondo termine, ds/dt, rappresenta la velocità scalare, mentre dp/ds, rappresenta il versore tangente alla traiettoria. La moltiplicazione dei due termini mi rappresenta esattamente la velocità, che infatti per definizione è sempre tangente alla traiettoria.

Andando a derivare il vettore velocità ulteriormente nel tempo, arriviamo alle accelerazioni ed ottenendo esattamente l'equazione riportata sul fianco. All'interno del risultato definiamo come il primo termine esprime la componente tangente alla traiettoria sommato alla componente normale alla traiettoria, definita componente centripeta.

Ad ogni modo, è sempre dimostrabile che dt/ds è normale alla traiettoria. La dimostrazione viene fatta mediante sempre l'uso del limite del rapporto incrementale; facendo la differenza per h->0 mi trovo che i due vettori risultano essere perpendicolari tra loro. Nel caso della traiettoria rappresentata di fianco come possiamo vedere il limite del rapporto incrementale, andando a moltiplicare e dividere per Δα, diventa: In cui Δα/h risulta essere pari a 1/ρ mentre l'altro termine graficamente come possiamo vedere è esattamente il versore perpendicolare alla traiettoria.

Si arriva quindi alla seguente equazione dell'accelerazione: Quindi per una traiettoria sono stati definiti due versori, t ed n, rispettivamente tangenti e perpendicolari alla traiettoria stessa. Possiamo completare la terna sulla traiettoria inserendo il vettore binormale che per definizione risulta essere un vettore perpendicolare sia ad n e t e quindi uscente dal piano della traiettoria rappresentata.

Coppie cinematiche

Un corpo rigido ha 6 gradi di libertà nello spazio, 3 di traslazione e 3 di rotazione. Unendo vari corpi tra loro, inserendo una relazione di cinematismo tra loro, andiamo intrinsecamente ad inserire dei vincoli, limitando la possibilità di movimentazione del corpo qualora invece fosse completamente libero.

La coppia cinematica è l'insieme di almeno 2 corpi che entrano in moto relativo tra di loro (deve esserci sempre 1 gdl). L'obiettivo generale della progettazione funzionale è quello di creare un sistema di corpi che abbia una specifica movimentazione, uno specifico cinematismo, e ciò viene fatto essenzialmente ponendo tra i vari corpi le coppie cinematiche. Le varie tipologie di coppie cinematiche creano attriti e forze diverse su componenti. Non è importante inizialmente le dimensioni del sistema, ma la movimentazione che deve essere eseguita. Una volta capito come creare la movimentazione, si passa alla definizione di quali coppie cinematiche vanno utilizzate e con quali accortezze.

Coppie cinematiche inferiori

Le coppie cinematiche inferiori anche dette elementari, sono tutte quelle coppie cinematiche di superficie, ovvero le coppie cinematiche in cui si impone il contatto tra le superfici. Nell'uso corrente le coppie elementari sono spesso considerate solo quelle che lasciano un grado di libertà. Vediamole però con maggior precisione:

• R – Rotoidale: Se il corpo esterno non è vincolato abbiamo 7 gdl, 6 del sistema che può traslare e ruotare e 1 di rotazione relativa. Se il corpo esterno è invece vincolato abbiamo 1 gdl che corrisponde all'unico relativo, per la determinazione della disposizione del sistema.
• P- Prismatica: Se il corpo esterno non è vincolato abbiamo 7 gdl, 6 del sistema che può traslare e ruotare e 1 di traslazione relativa. Se il corpo esterno è invece vincolato abbiamo 1 gdl che corrisponde all'unico relativo, per la determinazione della disposizione del sistema.
• E - Elicoidale: Se il corpo esterno non è vincolato abbiamo 7 gdl, 6 del sistema che può traslare e ruotare e 1 di roto-traslazione (azioni legate tra loro) relativa. Se il corpo esterno è invece vincolato abbiamo 1 gdl che corrisponde all'unico relativo, per la determinazione della disposizione del sistema.
• F - Piana: Se il corpo esterno non è vincolato abbiamo 9 gdl, 6 del sistema che può traslare e ruotare e 3 di rotazione e traslazione relativa. Se il corpo esterno è invece vincolato abbiamo 3 gdl che corrisponde alle relative, per la determinazione della disposizione del sistema.
• C - Cilindrica: Se il corpo esterno non è vincolato abbiamo 8 gdl, 6 del sistema che può traslare e ruotare e 2 di rotazione e traslazione relativa. Se il corpo esterno è invece vincolato abbiamo 2 gdl che corrisponde alle movimentazioni relative, per la determinazione della disposizione del sistema.
• G – Sferica: Se il corpo esterno non è vincolato abbiamo 9 gdl, 6 del sistema che può traslare e ruotare e 3 di rotazione relativa. Se il corpo esterno è invece vincolato abbiamo 3 gdl che corrisponde alle movimentazioni relative, per la determinazione della disposizione del sistema.

Va anche definito come si deve però non sempre pensare solo ai gdl che rimangono liberi dopo l'applicazione di una coppia cinematica, ma è anche conveniente capire la coppia cinematica del caso in quella configurazione quanti e quali gradi di libertà va a limitare. Per esempio, nella sferica, supponendo il corpo esterno vincolato a terra, avremo 3 gdl dati dalle 3 rotazioni ma anche quindi 3 gradi di vincolo relativi alle traslazioni impossibilitate.

Coppie cinematiche superiori

Ovviamente qua rientrano tutte le altre tipologie di coppie cinematiche; ovvero quelle con contatto lineare o puntiforme. Un esempio importante di coppia superiore è esattamente la camma, che nel piano avevamo visto imporre contatto forzato tra i corpi lasciando liberi rotazione relativa e traslazione. Una particolarità delle coppie superiori è la presenza di corpi non rigidi che possono avere anche contatti superficiali, ad esempio le cinghie.

Equazioni di struttura

Il primo step cinematico che si deve risolvere di un sistema meccanico è quella di capire i gradi di libertà che servono per descrivere la mobilità del meccanismo. Quello che si intende fare è il trasporto delle equazioni di Groubler nello spazio; sapevamo che il pedice di c indica il numero di gdl lasciati dalla coppia cinematica. Nello spazio diventa:

E per l'ennesima volta i gdl di cui un sistema risulta essere caratterizzato è esattamente il numero di variabili necessarie per descrivere univocamente la mobilità del sistema stesso. Questa formula non può essere applicata sempre in modo univoco, in quanto si possono determinare dei casi in cui i vincoli inseriti sono ridondanti. Si può infatti verificare in presenza di questi che la formula restituisca un isostaticità o anche un iperstaticità ma effettivamente il corpo è dotato di mobilità.

Lezione progettazione funzionale 24/09

Catene cinematiche

Possiamo avere diverse soluzioni delle catene cinematiche, dobbiamo capire quali sono i punti principali della meccanica per passare dallo schema geometrico a quello cinematico che vediamo nella figura sopra. I due sistemi dal punto di vista cinematico sono gli stessi. Per ogni meccanismo prima di definire uno schema geometrico dobbiamo prima risolvere lo schema cinematico.

Topologia cinematica: indica l'informazione che rappresenta le connessioni fra i corpi tramite coppie cinematiche.

Catena chiusa: Una catena cinematica è detta chiusa quando tutti i suoi membri presentano almeno due coppie cinematiche, e formano, pertanto, una o più maglie chiuse.

Catena aperta: Una catena cinematica è detta aperta quando non presenta maglie chiuse per cui almeno uno dei suoi corpi è connesso agli altri tramite una sola coppia cinematica.

Catena mista: Una catena cinematica è mista se presenta parti con maglie chiuse e altre con sottoinsiemi aperti.

Se vogliamo ragionare sull'equazione di struttura per la catena mista vediamo che sotto abbiamo un quadrilatero articolato che sappiamo ha 1 gdl. Per rendere invece nota la meccanica dei componenti della parte aperta devo avere 2 informazioni: una del corpo 5 rispetto al 4 e una del corpo 6 rispetto al 5, appunto perché ho 2 coppie rotoidali.

Voglio studiare la cinematica della catena aperta, e voglio controllare il punto terminale dell'asta. Devo sapere i suoi gradi di libertà, applicando le equazioni di Goubler.

n = 6(m – 1) – 5c1 – 4c2 – 3c3 – 2c4 – c5 n = 6(4 – 1) – 3 * 5 = 3 gdl

La macchina ha 3 gdl cioè se vado ad attaccare un terminale alla macchina posso muoverlo con 3 gdl, se ci fosse una pinza al termine del corpo 4 posso spostarlo nelle direzioni x e y e dargli un orientamento desiderato.

n = 6(3 – 1) – 2 * 5 = 2 gdl

Se pensassi di eliminare il corpo 4 avrei: Allora se applicassi una pinza al terminale 3, potrei solo posizionare il corpo nelle coordinate x e y, ma NON posso decidere in che orientamento farlo. Avrei un orientamento obbligato dalla cinematica della macchina.

n = 6(2 – 1) – 1 * 5 = 1 gdl

Se vado ulteriormente a togliere il corpo 3 ho: In questo ulteriore caso ho un’asta che si muove su una circonferenza, ho 1 solo gdl. Questo mi dice che posso scegliere un solo valore da variare ad esempio la coordinata x, la coordinata y e l’orientamento saranno determinati dalla cinematica della macchina.

Molteplicità cinematica

La molteplicità di una coppia cinematica è pari al numero dei corpi ad essa connessi -1.

• Una coppia è equivalente a un numero di coppie binarie pari alla sua molteplicità.
• La scomposizione di una coppia a molteplicità n potrà dare luogo a n + 1 schemi cinematicamente equivalenti formati da sole coppie binarie, in cui n corpi sono connessi a un unico corpo.

Se ho 3 aste che si connettono a una singola cerniera posso pensare di svincolarla e avere una cerniera tra 2 aste e un’asta separata. Se ora penso di unire anche l’asta separata nella cerniera ho che questa può muoversi relativamente alle altre 2. Di fatto è come se aggiungessi un'altra cerniera.

Mobilità in caso di vincoli sovrabbondanti

Se sono presenti vincoli sovrabbondanti (sistema sovravincolato o internamente iperstatico) si può scrivere, nel caso generale:

Esempi di vari meccanismi (della meccanica applicata)

Sistema biella manovella: L’equazione di Grübler fornisce: = 3(4 – 1)– 2 * 4 = 1 grado di mobilità

m = 4 numero membri

c1 = 4 numero vincoli di classe 1 di cui: 3 coppie rotoidali e 1 coppia prismatica

Quadrilatero articolato: L’equazione di Grübler fornisce: = 3(4 – 1)– 2 * 4 = 1 grado di mobilità

m = 4 numero membri

c1 = 4 numero vincoli di classe 1, in questo caso 4 coppie rotoidali

Meccanismo camma piana: L’equazione di Grübler fornisce: = 3(3 – 1)– 2 * 2 – 1 = 1 grado di mobilità

m = 3 numero membri

c1 = 2 1 coppia rotoidale tra 1 e 2, 1 coppia prismatica tra 3 e 1

c2 = 1 1 coppia di tipo camma piana tra il cedente 3 e la camma 2 (2 gradi di libertà nel moto relativo: la camma può ruotare e strisciare)

Il vincolo di camma piana per definizione vincola i due corpi in contatto a non staccarsi, cioè vincola la traslazione dei due corpi a contatto. Attenzione i corpi non sono vincolati al rotolare, ma strisciano relativamente. Se fossero vincolati a rotolare non avremmo gradi di libertà.

Modifica del meccanismo a camma piana: L’equazione di Grübler fornisce: = 3(4 – 1)– 2 * 4 = 1 grado di mobilità

m = 4 numero membri

c1 = 4 1 coppia rotoidale tra 1 e 2, 1 coppia prismatica tra 3 e 1, 1 coppia di puro rotolamento tra la camma 2 e la rotella 4, 1 coppia rotoidale tra 4 e 3

Qui ho aggiunto un corpo e ho inserito però nel collegamento tra corpo 2 e 4 un vincolo che NON è quello di camma piana, ma è un vincolo di puro rotolamento, quindi i corpi 2 e 4 non possono strisciare tra loro. Se lasciassi il vincolo di camma piana avrei un meccanismo con 2 gdl, che sono la rotazione del corpo 2 e quella del corpo 4 che può quindi essere orientato come desidero.

Pentalatero articolato: L’equazione di Grübler fornisce: = 3(5 – 1)– 2 * 5 = 2 grado di mobilità

n = 5 numero membri

c1 = 5 coppie rotoidali tra i vari membri compreso il telaio

Per gestire il pentalatero ho quindi bisogno di 2 motori, va ricordato che posso posizionarli dove preferisco teoricamente, ma in pratica scegliamo sempre di legarli a telaio, perché dinamicamente i motori hanno una massa e quindi una forza peso. Possono comunque esserci casi particolari. Possiamo immaginare che vogliamo controllare il punto della cerniera tra i corpi 3 e 4, per scopi industriali, posso cioè muovere il punto nelle coordinate x e y come preferisco. Posso lasciare i motori a telaio perché ho una cinematica a catena chiusa, se avessi un braccio robotico (catena aperta) dovrei posizionare i motori sulle coppie rotoidali.

Arco a tre cerniere: (struttura isostatica): L’equazione di Grübler fornisce: = 3(3 – 1)– 2 * 3 = 0 grado di mobilità

m = 3 numero membri

c1 = 3 coppie rotoidali tra i vari membri compreso il telaio

L’arco a tre cerniere è una struttura isostatica fintanto che le cerniere non sono allineate, in quel caso vado a renderla labile.

Meccanismo iperstatico: L’equazione di Grübler fornisce: = 3(4 – 1)– 2 * 5 = – 1 grado di mobilità

m = 4 numero membri

c1 = 5 coppie rotoidali tra i vari membri compreso il telaio tenendo in considerazione due volte la coppia rotoidale tra le aste 2, 3 e 4

L’asta 4 vediamo che non ha alcuno scopo, visto che senza di essa comunque la struttura non può muoversi. Va quindi a generare un vincolo iperstatico.

Vincoli virtuali: L’equazione di Grübler fornisce: = 3(5 – 1)– 2 * 6 = 0 grado di mobilità

I gdl sono errati, il meccanismo ha 1 gdl

m = 5 numero membri

c1 = 4 4 coppie rotoidali 2 coppie prismatiche

L’aggiunta di un’asta 5 di lunghezza l/2 incernierata in M ed in O non cambia quindi il comportamento funzionale del meccanismo: tale asta impone infatti ad M di percorrere la stessa circonferenza di cui sopra; in presenza di un vincolo apparente o ridondante come questo non vale l’equazione di struttura per il calcolo dei g.d.l. L’asta incernierata al centro di da quindi un vincolo mal posto, non va realmente a vincolare il meccanismo.

L’equazione di Grübler fornisce: = 3(4 – 1)– 2 * 4 = 1 grado di mobilità

Meccanismo con 1 gdl

m = 4 numero membri