Appunti Progettazione funzionale

Complementi di cinematica

I sistemi meccanici sono realizzati tramite la connessione di vari membri secondo una catena cinematica che può essere di tipo seriale, dove ogni accoppiamento tra corpi è di tipo binario, parallela, nella quale si realizza un circuito chiuso, o, nei casi più complessi, da una composizione delle due tipologie, con più anelli chiusi e catene aperte.

Metodi per lo studio cinematico

Uno dei metodi per lo studio cinematico di sistemi di corpi rigidi viene proposto da Denavit e Hartenberg, i quali dimostrano che le equazioni cinematiche di un sistema meccanico possono essere ottenute attraverso la scrittura di apposite matrici 4×4 (trasformazioni omogenee) che definiscono la posa dei corpi rigidi (posizione e orientamento) della catena cinematica.

• Applicabilità a qualsiasi sistema meccanico attraverso regole standardizzate
• Minimo numero di equazioni e di coordinate (una equazione per ogni gdl)
• Utilizzo di coordinate relative (utili nel caso di giunti motorizzati)

La rappresentazione di Denavit-Hartenberg è un metodo sistematico di descrivere attraverso quattro parametri la relazione cinematica tra una coppia di membri adiacenti connessi in modo seriale.

L'origine della terna nasce dall'intersezione dell'asse del giunto (n+1)-esimo con la normale comune tra l'asse stesso e l'asse del giunto n-esimo. L'asse z è scelto su tale normale, mentre l'asse x (n+1) giace sull'asse del giunto n-esimo; l'asse y completa la terna ortogonale destrorsa. (In figura vengono evidenziati i 4 parametri , , , ).

Poiché ogni giunto è elementare, uno solo dei due parametri è variabile (chiamato variabile di giunto o variabile di coppia) e governabile con un motore, mentre l'altro rimane costante. In definitiva, nel passaggio da un corpo all'altro lungo la catena cinematica, 3 dei 4 parametri sono costanti, poiché legati alla geometria del meccanismo, e uno solo risulta variabile.

La trasformazione omogenea nasce dalla composizione di due rototraslazioni, una attorno l'asse z e l'altra attorno all'asse x ("i" rappresenta una terna intermedia centrata nel punto di figura):

Dalla composizione delle due trasformazioni, si ha quella complessiva tra sistema di riferimento (n-1) e quello n-esimo:

Analisi di posizione

Passiamo all’analisi di posizione di un sistema meccanico: in un’analisi diretta, indipendentemente dal tipo di giunto, lo spostamento relativo al giunto "i" viene indicato con d_i, pertanto è:

• d_i = θ_i per giunti rotoidali
• d_i = d_i per giunti prismatici

La matrice di trasformazione di ogni membro, quindi, può essere pensata come costruita a partire dalla conoscenza di tre parametri costanti, che definiscono la geometria del membro e del suo accoppiamento, ed una variabile, ovvero la variabile di giunto d_i.

Se si ripercorre a ritroso tutta la catena cinematica seriale del sistema meccanico si può esprimere la posizione e l’orientamento del terminale in funzione degli spostamenti dei giunti intermedi:

Il problema cinematico diretto (in termini di posizione) consiste nel determinare la posizione e l’orientamento del membro terminale del sistema meccanico (o di qualunque altro punto della struttura) in funzione degli spostamenti (noti) dei giunti.

Il problema è risolto calcolando direttamente la formula precedente, che diventa un prodotto di matrici note; pertanto esso, che è già posto in forma esplicita, è facilmente risolubile e fornisce sempre una sola soluzione nel caso di strutture seriali.

Il problema cinematico inverso (in termini di posizione) consiste nel determinare l’insieme di spostamenti dei giunti che portano il terminale del meccanismo in un assegnato punto con orientamento prefissato.

Anche questo problema si risolve a partire dalle equazioni riportate, che dopo aver svolto le moltiplicazioni indicate possono essere riscritte nella forma: In questo caso, il termine di sinistra è assegnato, mentre occorre calcolare le varie d_i , a partire dalla loro espressione contenuta nel membro di destra; il problema è molto complesso dal punto di vista numerico.

Possiamo formalizzare il problema, notando che lo studio cinematico viene descritto in termini di applicazione tra due spazi vettoriali notevoli:

• L’insieme delle "n" variabili di giunto può essere raccolto nel vettore delle coordinate interne n-dimensionale e lo spazio di tutti i vettori è chiamato spazio dei giunti (spazio con di solito pari 5 o più spesso ancora 6)
• La posizione e l’orientamento del dispositivo terminale possono essere raccolti anch’essi nel vettore delle coordinate esterne di dimensione "m" e lo spazio di tutti i vettori è chiamato spazio cartesiano o spazio di lavoro (solitamente è uno spazio a sei dimensioni).

L’analisi cinematica di posizione può anche essere riscritta in forma più generale a partire dall’espressione precedentemente introdotta: φ(q) = p(x).

Il problema cinematico diretto può essere pensato come la seguente applicazione non-lineare:

Utilizzando tale formalismo, il problema cinematico inverso consiste nell’invertire la precedente applicazione non-lineare per ottenere: q = φ^-1(p).

L’inversione di tale relazione per manipolatori seriali comporta vari problemi e non è calcolabile esplicitamente se non per casi particolari: si tratta, in definitiva, delle difficoltà tipiche della risoluzione di sistemi di equazioni non lineari.

Il sistema di equazioni ottenuto nella cinematica di posizione per un meccanismo seriale, può essere derivato rispetto al tempo con il fine di correlare le velocità dei giunti con le velocità cartesiane del suo terminale: ̇ = J(q) ̇ q.

La matrice Jacobiana dipende dalla configurazione del meccanismo (e solo da quella) e pertanto risulta variabile nel tempo.

In base alla scelta del vettore velocità nello spazio cartesiano si distinguono due diverse matrici Jacobiane:

• Jacobiano geometrico: la matrice esprime direttamente la velocità angolare del terminale
• Jacobiano analitico: la matrice Jacobiana esprime la derivata nel tempo degli angoli di Eulero.

Per il problema cinematico diretto abbiamo: ̇p = J(q) ̇q, mentre per quello inverso: ̇q = J^-1(q) ̇p.

Inoltre, nei punti di singolarità il meccanismo perde uno o più gradi di libertà dal punto di vista dello spazio cartesiano e cioè esiste una direzione (o sottospazio) dello spazio cartesiano, lungo la quale è impossibile muovere il dispositivo terminale, qualunque sia l’insieme delle velocità dei giunti. In definitiva, nei punti singolari il manipolatore solitamente non è più controllabile.

Per l’analisi di accelerazione, nel problema cinematico diretto si ha: ̈p = J(q) ̈q + J^-1(q) ̇q̇q, mentre in quello inverso si ha: ̈q = J^-1(q) ( ̈p - J(q) ̇q).

Analisi statica

L’analisi statica ha come scopo dello studio la determinazione delle forze e coppie di giunto che mantengono in equilibrio statico il manipolatore, quando esso è sottoposto alla forza di gravità ed a una generica interazione con l’ambiente.

Un altro aspetto fondamentale, collegato al precedente, è la determinazione delle forze e coppie di giunto che corrispondono ad una assegnata sollecitazione sul terminale. Infine, per il dimensionamento dei componenti meccanici e la progettazione meccanica dei membri di un meccanismo è anche importante valutare le forze e i momenti che si scaricano sui giunti.

Si consideri il diagramma di corpo libero di un generico membro “i” della catena cinematica: le forze interne generate dall’accoppiamento con il membro precedente possono essere schematizzate tramite il momento e la forza (che agisce nel punto i, origine della terna centrata su “i”). Tali sollecitazioni operano sul membro “i”, mentre “i” è sottoposto nello stesso punto agli sforzi - M_i-1, - F_i-1. Analogamente, all’altro estremo del membro “i” agiscono su di esso il momento e la forza M_i+1, F_i+1, a causa della interazione con il successivo membro “i+1”.

Il bilancio delle forze fornisce: M_i-1 + F_i-1 + W = M_i+1 + F_i+1, dove si è tenuto conto anche della forza peso, che agisce nel baricentro i, individuato dal vettore posizione rispetto all’origine della terna {i}. Per quanto riguarda l’equilibrio alle rotazioni, può essere scritto come segue, facendo polo nel baricentro i: M_i-1 + W_i = F_i+1.

Quando la forza e il momento di accoppiamento rappresentano le azioni che vengono esercitate dal telaio sul primo membro del robot; quando la forza F_i+1 ed il momento M_i+1 che agiscono sull’ultimo membro rappresentano l’effetto dell’interazione con l’ambiente e vanno quindi considerate quantità note.

In definitiva, sono state introdotte variabili vettoriali e si hanno a disposizione 2 equazioni vettoriali: pertanto il sistema è determinato e risolubile solo se viene assegnata l’entità della sollecitazione esterna W, M_i+1.

Le forze di accoppiamento tra i membri che nascono nei giunti (M_i-1, F_i-1) sono in parte sopportate dalla struttura dei giunti stessi e in parte sono a carico degli attuatori, che generano forze o momenti genericamente indicati con T.

Le quantità introdotte sono spesso riunite in un unico vettore; per quanto riguarda le azioni esterne, nel vettore di forza generalizzata: τ = [F M].

È importante rimarcare che l’intero sistema di sollecitazioni agenti sul terminale è stato ridotto al sistema equivalente costituito dai vettori forza e momento F, M, applicati al centro dell’ultima terna.

Assumendo che i meccanismi di giunto siano senza attrito, le coppie di giunto che sono richieste per bilanciare una assegnata forza generalizzata sul punto terminale sono date da: τ = J^-T(q) F.

Le coppie sono sempre univocamente determinate a partire da qualsiasi sollecitazione assegnata F, mentre non è vero il contrario; infatti, possono esistere delle componenti della forza esterna che, scaricandosi sulla struttura, sono indipendenti dalle coppie motrici sui giunti: τ = J^-T(q) F.

Inoltre, se l’interesse viene posto sulla forza generalizzata che i motori sono in grado di realizzare: τ = J^-T(q) F.

Deflessione e cedevolezza

Quando si applica una forza all’estremità terminale di un robot, quest’ultima si deflette di un’entità che dipende dalla rigidezza del braccio e dalla forza applicata. Questo fenomeno comporta una perdita di precisione nel posizionamento dell’organo terminale, che ha il compito di eseguire un determinato compito nello spazio operativo.

• Cedevolezza di riduttori e trasmissioni
• Limitata rigidezza di attuatori e sistema di controllo
• Deflessione statica dei membri della struttura

La successiva analisi trascura la deflessione statica dei membri, immaginati come corpi rigidi indeformabili, e si concentra sulle altre due cause, che vengono modellate congiuntamente tramite una costante elastica K, che mette in relazione la deflessione al giunto “i-esimo” con la forza o coppia trasmessa: Δθ_i = K^-1 τ_i.

La cedevolezza dei vari giunti viene modellata complessivamente dalla matrice di rigidezza dei giunti K: K = J^-1 Δθ.

Dove K è una matrice diagonale e definita positiva (autovalori strettamente positivi); la sua inversa, Δ = K^-1, è anch’essa diagonale e definita positiva e viene chiamata matrice di cedevolezza dei giunti.

Lo spostamento dei giunti essendo molto piccolo, provoca uno spostamento nello spazio di lavoro dato dalla relazione cinematica differenziale: Δx = J(q) Δθ.

Combinando le precedenti espressioni e tenendo conto della relazione fondamentale della statica τ = J^-T(q) F, si ottiene: Δx = K^-1 F, dove la matrice K_w è la matrice di cedevolezza del punto terminale ed è sempre simmetrica. Se lo Jacobiano è una matrice quadrata di rango pieno, la matrice di cedevolezza è invertibile e la sua inversa viene chiamata matrice di rigidezza del punto terminale: K_w = J^-T(q) K J^-1(q).

È evidente che la matrice dipende dalla configurazione del manipolatore e che, per una certa configurazione, la rigidezza del punto terminale dipende dalla direzione di applicazione della forza.

Si consideri il robot planare si vuole determinare la matrice di cedevolezza e trovare lo spostamento massimo e minimo del punto terminale del manipolatore. Lo spostamento e la forza del punto terminale sono rappresentati da vettori bi-dimensionali: Δx = [Δx, Δy], F = [F_x, F_y].

La matrice di cedevolezza vale:

1 / K_xx K_xy
K_yx 1 / K_yy

Dove si vede che è simmetrica. A questo punto, si determinano gli spostamenti massimo e minimo e le loro direzioni, quando una forza di ampiezza unitaria è applicata al punto terminale.

In definitiva, occorre trovare gli estremi: sotto la condizione di forza generalizzata unitaria al terminale: ||F|| = 1.

Al fine di risolvere questo problema di ottimizzazione vincolata si utilizza il moltiplicatore di Lagrange per definire la funzione di Lagrange L = Δx^T Δx - λ(||F||² - 1).

Occorre a questo punto imporre la stazionarietà: ∂L/∂Δx = 0 e ∂L/∂λ = 0.

Dall’equazione precedente segue che il moltiplicatore di Lagrange λ è l’autovalore della matrice di cedevolezza quadrata: cosi il problema di trovare il massimo e il minimo valore dello spostamento è fondamentalmente un problema agli autovalori.

La norma al quadrato dello spostamento del punto terminale è data da: λ_max ≤ Δx^T Δx ≤ λ_min per cui il massimo ed il minimo spostamento sono dati, rispettivamente, da √λ_max e √λ_min. La direzione nella quale lo spostamento si verifica è data dall’autovettore corrispondente all’autovalore minimo o massimo.

Ellissoidi di manipolabilità

Gli ellissoidi di manipolabilità in velocità costituiscono un modo per rappresentare la capacità di un manipolatore di sviluppare assegnate velocità al terminale. Si consideri l’insieme delle velocità ai giunti di modulo unitario e si voglia caratterizzare l’insieme delle velocità nello spazio operativo che sono generabili in una determinata configurazione. Introducendo la matrice Jacobiana, per la quale vale la relazione J(q) ̇q = ̇p, si ottiene: J(q) J^-1(q) = I.

La relazione ̇p^T J^-T(q) J^-1(q) ̇p = 1 rappresenta l’equazione di un ellissoide nello spazio delle velocità cartesiane, dove J^-1(q) risulta sempre simmetrica e semi-definita positiva: quanto più l’ellissoide è prossimo a una sfera, tanto più il terminale ha un comportamento isotropo in velocità.

Le direzioni degli assi principali dell’ellissoide sono determinate dagli autovettori della matrice J(q) (poiché coincidono con quelli della relativa inversa) mentre le dimensioni degli assi sono date dai valori singolari di J(q), qui riportati: σ_max ≥ σ_i ≥ σ_min.

Il termine σ_i indica il generico autovalore di J(q).

Una misura globale di manipolabilità può essere fornita dal volume dell’ellissoide, che risulta proporzionale alla quantità: |det(J(q))| = |σ_1 σ_2 ... σ_n|.

Questa relazione è valida per robot non ridondanti, ossia un'altra possibilità è quella di ricavare il “condition number” della matrice Jacobiana, definito come il rapporto tra il massimo e il minimo valore singolare della matrice stessa: κ(J) = σ_max/σ_min.