Appunti Progettazione Funzionale

Matrice di trasformazione

Per descrivere la posizione di un corpo nello spazio, si utilizza un sistema di riferimento. Si sceglie un sistema di riferimento solidale al corpo. Il vettore posizione di un punto del corpo è dato da: ^AP = [P_x P_y P_z]^T solidale al corpo. I versori della terna [^AX̂, ^AŶ, ^AẐ] possono essere espressi attraverso le coordinate dei suoi versori [^BX̂, ^BŶ, ^BẐ].

Matrice di rotazione

Allora vengono espresse nel sistema di riferimento [^AX̂, ^AŶ, ^AẐ], le direzioni: La matrice composta dai tali vettori è detta matrice di rotazione:

La matrice di rotazione non è singolare. La matrice di rotazione è ortonormale:

[^AR_B]^-1 = [^AR_B]^T

[^AR_B][^BR_A]^-1 = [^AR_B]^T

Rappresentazione della rotazione

^AP = [^AB_ONG ^AR_B]^TBP

Matrrice omogenea:

[^AP] = [^AB^-1][^AR_B]

Ponendo la posizione e l'orientamento di un corpo rigido, si definisce la posa.

[^AP] = [^AR_B ^AR_B0]

[0 0 0 1] = [^AR_B ^AR_B0] [^BP][0 0 0 1]

Matrice di trasformazione notazione omogenea

Matrice di trasformazione

Per descrivere la posizione di un corpo nello spazio, si fa riferimento a un sistema di riferimento. È possibile fissare un sistema di riferimento direttamente al corpo. Il vettore posizione di un punto del corpo è dato da:

^AP = ( P_AP_B )_{solidale al corpo}

I versamenti della terna FB rispetto alla terna FA, possono essere espressi attraverso le coordinate dei suoi versori X_B, Y_B, Z_B. Anche essi vengono espressi nel sistema di riferimento FA, li chiamiamo X_A, Y_A, Z_A

Matrice di rotazione

La matrice composta dai 3 vettori è detta matrice di rotazione

_AR_B = [ ^XG ^YB ^ZB ] = [ ^{XTXA YTYA ZTZA} ]

La matrice di rotazione non è singolare. La matrice di rotazione è ortonormale:

_AR_B ^AR_B^-1 = ^{^}R_B^T

Rappresentazione della rotazione

^AP₂ = ^AR_B ^BP

Vettore omogeneo:

^AP₂ = ^BR_-1 ^BP

Conoscere la posizione e l'orientamento di un corpo rigido significa conoscerne la pose

[ _AP^' ] = [ _^B_{R ^}R_BCG ][ _BP^' ]

Modello cinematico - trasformazione omogenea

x_i^i-1 = T_i^i-1 x

Analisi di pursuing - analisi energia

In mancanza di informazione di ogni membro più esterno fondato come esegua a sopra della consona di 3 parametri esterni e da una variabile, ovvero la variabile di giunto q_i:

i_e^i-1 = T_i^i-1(q_i)

q_i = Q_i: PER GIUNTI ROTOIDALI

q_i = d: PER GIUNTI PRISMATICI

Per esterno congegno questa si ha: iⁿ = i₀ⁿ(q₁, ..., q_n)

In relazione energetica di una si ha: o₁ = o₁^t - ri_i = I_tu

Analisi di posizione - analisi inversa

Il problema cinematico diretto consiste nel determinare la posizione e l'orientamento degli membri terminali del sistema meccanico in funzione delle posizioni dei giunti. Nel caso di strutture semplici fornisce sempre una soluzione. Per strutture parallele si ha una complessità maggiore.

Il problema cinematico inverso consiste nel determinare l'unione di spostamenti dei giunti che porta il terminale del meccanismo in un assegnato punto con orientamento prefissato.

T_n^o(q₁, q₂, ... q_n) ora il termine di sinistra è assegnato e bisogna calcolare le q_i.