Problema di geometria di 2° grado. Nel triangolo rettangolo ABC, l'altezza relativa all'ipotenusa è AH. a) Se BC=12cm e AH= 4cm calcola il perimetro del triangolo ABC. b) Se AH= 12cm e il perimetro di ABH=36cm calcola l'area del triangolo ABC.

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1. Nel triangolo rettangolo ABC, l’altezza relativa all’ipotenusa è AH

a) Se BC = 12 cm e AH = 4 cm, calcola il perimetro del triangolo ABC.

b) Se AH = 12 cm e il perimetro di ABH = 36 cm, calcola l’area del triangolo ABC.

Svolgimento a cura di Francesca Ricci

a)

Il problema può essere risolto impostando un sistema a due incognite.

Chiamiamo il lato CH con x e il lato HB con y. Impostiamo il secondo teorema di Euclide, secondo il quale l’altezza, in un triangolo rettangolo, è media proporzionale fra le due proiezioni dei cateti sull’ipotenusa.

Abbiamo, quindi, che:

CH : AH = AH : HB

x : AH = AH : y

x : 4 = 4 : y

Da cui 4 × 4 = xy, quindi xy = 16.

Possiamo impostare la seconda equazione sapendo che l’ipotenusa, data dalla somma di CH e HB, è lunga 12 cm.

CH + HB = 12

Quindi x + y = 12.

Impostiamo quindi il sistema:

x y = 16
x + y = 12

Notiamo che il sistema è simmetrico e che possiamo ridurlo ad un’equazione del tipo

t² − st + p = 0

dove per s si intende la somma x + y, mentre per p il prodotto xy.

t² − (x + y)t + xy = 0

t² − 12t + 16 = 0

Risolviamo ora l’equazione:

t = (−b ± √(b² − 4ac)) / 2a

t = 6 ± √(36 − 16) = 6 ± √20 = 6 ± 2√5

a = 1

Poiché in un sistema simmetrico le soluzioni sono simmetriche, i valori trovati valgono, alternativamente, sia per la x che per la y.

Quindi:

x = 6 + 2√5;    x = 6 − 2√5
y = 6 − 2√5;    y = 6 + 2√5

b)

Chiamiamo con x il lato AB e con y il lato HB; anche in questo caso cerchiamo di impostare un sistema a due incognite.

Sappiamo che il perimetro del triangolo ABH è 36 cm, quindi:

AB + BH + AH = 36

x + y + 12 = 36

x + y = 36 − 12

x + y = 24