Problema di geometria di 2° grado. Nel triangolo rettangolo ABC, l'altezza relativa all'ipotenusa è AH. a) Se BC=12cm e AH= 4cm calcola il perimetro del triangolo ABC. b) Se AH= 12cm e il perimetro di ABH=36cm calcola l'area del triangolo ABC.

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1. Nel triangolo rettangolo ABC, l’altezza relativa all’ipotenusa è AH.

a) Se BC=12cm e AH= 4cm calcola il perimetro del triangolo ABC.

b) Se AH= 12cm e il perimetro di ABH=36cm calcola l’area del triangolo ABC.

Svolgimento a cura di Francesca Ricci

a)

Il problema può essere risolto

impostando un sistema a due incognite. x y

Chiamiamo il lato CH con x e il lato HB

con y. Impostiamo il secondo teorema di

Euclide, secondo il quale l’altezza, in un

triangolo rettangolo, è media

proporzionale fra le due proiezioni dei

cateti sull’ipotenusa. Abbiamo, quindi,

che: 

CH : AH AH : HB



x : AH AH : y



x :4 4: y

   

Da cui 4 4 xy xy 16

Possiamo impostare la seconda equazione sapendo che l’ipotenusa, data dalla somma di CH e HB, è

lunga 12 cm.

 

CH HB 12

Quindi  

x y 12  

xy 16



Impostiamo quindi il sistema:  

x y 12



Notiamo che il sistema è simmetrico e che possiamo ridurlo ad un’equazione del tipo

   

2

t st p 0

dove per s si intende la somma x+y, mentre per p il prodotto xy.

 12t 16 

   

2 2

t (x y)t xy 0 t 0

→

Risolviamo ora l’equazione:

 

2

b b

  

  ac



   16

2

2 2 6 6

    16    

t 6 36 6 20 6 2 5

a 1

Poiché in un sistema simmetrico le soluzioni

sono simmetriche, i valori trovati valgono,

alternativamente, sia per la x che per la y.

Quindi:

 

   

x 6 2 5 x 6 2 5

 

   

 

y 6 2 5 y 6 2 5

b)

Chiamiamo con x il lato AB e con y il lato HB; anche in questo casa cerchiamo di impostare



un sistema a due incognite.

Sappiamo che il perimetro del triangolo ABH è 36 cm, quindi

  

AB BH AH 36

 12 

x y 36

  12

x y 36

 

x y 24

