Dal problema al modello matematico 3 (ebook)

Revisionato il 08/10/2026

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Manuale di matematica per la classe V della scuola secondaria di secondo grado: Continuità, Limiti, Derivate, Grafico Integrali, Statistica; 397 pagine, centinaia di esempi, migliaia di esercizi, test e altro

…continua

397 pagine

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Carmelo Di Stefano

Dal problema al modello matematico

Volume terzo

Funzioni, Calcolo differenziale, Calcolo Integrale, Statistica

www.matematicamente.it - info@matematicamente.it

http://mathinterattiva.altervista.org/index.htm

ISBN 9788896354537

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Foto di copertina

Bastante Cyberpunk, The geometry three

http://www.flickr.com

C. Di Stefano, Dal problema al modello matematico – Vol 2 – Capitolo 5 – Unità 1

Presentazione

Nel corso della lettura dei volumi troverai diverse cose, che di seguito ti spiego brevemente.

All’inizio di alcune unità trovi un breve ripasso di argomenti svolti negli anni precedenti che ti risultano utili per affrontare serenamente la stessa unità. Vanno sotto il nome di Richiamiamo le Conoscenze.

In alcune unità vi sono anche argomenti di approfondimento, denominati con il titolo Quelli che vogliono sapere di più …

Le definizioni, i teoremi, i corollari e simili enti matematici sono contenuti all’interno di appositi box di un uguale colore, verde per le definizioni, celeste per i teoremi e così via.

Ogni tanto troverai anche un box che ti spiega il significato di alcuni vocaboli, si intitola Che cosa significa?

Poi ci sono dei box con delle informazioni storiche che si chiamano I Protagonisti, che contengono informazioni relativamente a famosi matematici citati nelle stesse pagine; e L’angolo storico, in cui invece ci sono informazioni di varia natura, su quando per la prima volta si sono incontrate le nozioni di cui si sta parlando e simili informazioni.

Trovi anche, ogni tanto, un box denominato L’antologia, in cui sono riportati passi di famose opere matematiche, commentate.

Vi sono anche dei box chiamati Enigmi matematici o Intervallo matematico, che si riferiscono in genere ad applicazioni giocose della matematica.

Alla fine di ogni argomento vi sono le relative verifiche. In esse sono presenti esercizi di tre livelli di difficoltà, opportunamente indicati.

Il Livello 1 è relativo a esercizi che sono spesso semplice applicazione di quanto detto nella teoria; quelli di Livello 2 o contengono calcoli più complicati, o hanno bisogno di un impegno maggiore; infine quelli di Livello 3 riguardano quesiti che devono essere impostati usando la fantasia e non in modo ripetitivo.

Questi ultimi sono riferiti ai più volenterosi. Per quelli a cui piace veramente ragionare e impegnarsi, alla fine di ogni unità sono presenti alcuni esercizi molto complessi, che vanno sotto il nome di La sfida.

Invece, per aiutarti, all’inizio di ogni gruppo di esercizi di livello 1 o 2 vi sono alcuni esercizi simili svolti.

Sono talvolta presenti box legati a importanti software matematici: Derive, Geogebra, Excel, Microsoft Mathematica.

In essi ti vengono spiegate brevemente alcune funzionalità dei software, ti si spiega velocemente cosa puoi fare con essi relativamente all’argomento affrontato e poi ti vengono proposti esercizi da risolvere con i detti software.

Ricorda che Geogebra e Microsoft Mathematica sono liberamente scaricabili da Internet, mentre Derive può essere scaricato liberamente solo in una versione di prova che, dopo 30 giorni, non ti permette più di salvare. Excel, o simile, è di solito installato in tutti i PC.

Alla fine dell’unità sono presentati, quando possibile, esercizi tratti dagli esami di stato, soprattutto del Liceo Scientifico, riferiti ad anni passati.

Sono anche presenti dei quesiti tratti da gare matematiche italiane ed internazionali, alcuni quesiti sono anche enunciati in lingua inglese. Così come quesiti tratti dai Test di ammissione alle Università o alle Accademie militari.

In alcune unità poi sono presentate anche delle proposte di attività interdisciplinari.

Infine sono proposti dei test, almeno 10 di numero, relativi ai più importanti argomenti dell’unità didattica.

Questi li trovi anche in formato multimediale scaricabili sempre dal sito http://mathinterattiva.altervista.org.

Un altro sito da cui puoi scaricare molto materiale didattico gratuito è http://matdidattica.altervista.org.

Buon lavoro

Carmelo Di Stefano

C. Di Stefano, Dal problema al modello matematico – Vol 2 – Capitolo 5 – Unità 1

Indice

9. Funzioni reali di una variabile reale

9.1 Caratteristiche delle funzioni

Richiamiamo le conoscenze Pag. 6
Verifiche 7
Intervalli di numeri reali 7
Verifiche 9
Definizione di funzione secondo Dirichlet 10
Verifiche 13
Dominio e codominio delle funzioni 17
Verifiche 19
Iniettività e suriettività di una funzione. Funzioni invertibili 25
Verifiche 28
Particolari simmetrie delle funzioni 33
Verifiche 37
Composizione di due o più funzioni 40
Verifiche 41
La sfida 43
Temi di esame assegnati agli esami di stato 44
Quesiti assegnati in gare nazionali e internazionali 45
Questions in English 46
Test di ammissione alle Università o alle Accademie militari 46
Risposte Test di ammissione alle Università o alle Accademie militari 49

9.2 Continuità delle funzioni

Richiamiamo le conoscenze Pag. 51
Topologia della retta 51
Verifiche 54
I limiti delle funzioni reali di una variabile reale 56
Verifiche 62
Operazioni aritmetiche con i limiti e forme indeterminate 65
Verifiche 71
Continuità di una funzione 76
Verifiche 82
L’angolo di Geogebra 85
Giochiamo alla matematica 85
I limiti notevoli 86
Verifiche 91
La sfida 98
Temi di esame assegnati agli esami di stato 99
Quesiti assegnati in gare nazionali e internazionali 101
Questions in English 102
Test di ammissione alle Università o alle Accademie militari 103
Risposte Test di ammissione alle Università o alle Accademie militari 103

C. Di Stefano, Dal problema al modello matematico – Vol 2 – Capitolo 5 – Unità 1

10. Il calcolo differenziale

10.1 Le derivate

Concetto di derivata di una funzione Pag. 105
Verifiche 113
Derivate delle funzioni elementari 116
Verifiche 120
L’angolo di Derive 122
L’angolo di Geogebra 122
L’angolo di Microsoft Mathematics 122
Operazioni aritmetiche elementari con le derivate 123
Verifiche 126
L’angolo di Derive 129
L’angolo di Microsoft Mathematics 130
Derivate delle funzioni composte e delle funzioni inverse 130
Verifiche 133
Teoremi del calcolo differenziale 138
Verifiche 149
La sfida 156
Temi di esame assegnati agli esami di stato 157
Quesiti assegnati in gare nazionali e internazionali 159
Questions in English 161
Test di ammissione alle Università o alle Accademie militari 162
Risposte Test di ammissione alle Università o alle Accademie militari 163

10.2 Rappresentazione grafica delle funzioni

Estremi relativi di una funzione Pag. 165
Verifiche 171
Temi di esame assegnati agli esami di stato 181
Rappresentazione grafica di una funzione 191
Verifiche 197
L’angolo di Derive 202
L’angolo di Geogebra 202
L’angolo di Microsoft Mathematics 202
La sfida 204
Temi di esame assegnati agli esami di stato 205
Quesiti assegnati in gare nazionali e internazionali 225
Questions in English 226

11. Il calcolo integrale

11.1 Integrazione indefinita

Richiamiamo le conoscenze Pag. 228
L’integrale come area di un trapezoide 228
Verifiche 232
L’operatore inverso della derivata 233
Verifiche 236
L’angolo di Derive 241
L’angolo di Geogebra 241

C. Di Stefano, Dal problema al modello matematico – Vol 2 – Capitolo 5 – Unità 1

L’angolo di Microsoft Mathematics Pag. 241
Integrazione per parti 242
Verifiche 244
Integrazione di funzioni razionali fratte 245
Verifiche 249
Integrazione per sostituzione 251
Verifiche 253
La sfida 254
Temi di esame assegnati agli esami di stato 255
Quesiti assegnati in gare nazionali e internazionali 256
Questions in English 256

11.2 Integrazione definita

Calcolo di integrali definiti e applicazione al calcolo di aree Pag. 258
Verifiche 262
L’angolo di Derive 268
L’angolo di Geogebra 268
L’angolo di Microsoft Mathematics 269
Volume di alcuni solidi di rotazione e lunghezza di alcune curve piane 269
Verifiche 272
Integrali impropri e generalizzati 275
Verifiche 277
L’angolo di Derive 278
L’angolo di Microsoft Mathematics 278
La sfida 279
Temi di esame assegnati agli esami di stato 279
Quelli che … vogliono sapere di più - Equazioni differenziali 297
Verifiche 303
L’angolo di Derive 306
Quesiti assegnati in gare nazionali e internazionali 308
Questions in English 309

12. Statistica

12.1 Statistica descrittiva

Prime nozioni Pag. 312
Verifiche 315
Rappresentazioni grafiche 317
Verifiche 320
L’angolo di Excel 326
L’angolo di Geogebra 327
Indici centrali 329
Verifiche 335
Enigmi matematici 343
Variabilità 342
Verifiche 346
L’angolo di Excel 347
L’angolo di Derive 348
L’angolo di Geogebra 348
La sfida 348
Temi di esame assegnati agli esami di stato 349
Quesiti assegnati in gare nazionali e internazionali 350

C. Di Stefano, Dal problema al modello matematico – Vol 2 – Capitolo 5 – Unità 1

Questions in English Pag. 352
Test di ammissione alle Università o alle Accademie militari 354
Risposte Test di ammissione alle Università o alle Accademie militari 358

12.2 Statistica inferenziale

Variabili casuali Pag. 360
Verifiche 362
Principali variabili casuali 365
Verifiche 371
L’angolo di Excel 376
Stime e decisioni statistiche 376
Verifiche 379
Correlazione e regressione lineare 381
Verifiche 385
L’angolo di Geogebra 388
L’angolo di Excel 389
Temi di esame assegnati agli esami di stato 389
Quesiti assegnati in gare nazionali e internazionali 390
Questions in English 391

9. Funzioni reali di una variabile reale

9.1 Caratteristiche delle funzioni

Prerequisiti

Sistema di riferimento cartesiano ortogonale
Rappresentazione grafica ed equazioni delle rette
Concetto di dominio e codominio di una funzione
Funzioni polinomiali
Funzioni logaritmiche ed esponenziali
Funzioni goniometriche

Obiettivi

Comprendere il concetto di funzione
Comprendere il concetto di rappresentazione grafica di una funzione
Sapere determinare dominio e codominio di una generica funzione
Sapere determinare se una funzione è invertibile e in caso affermativo sapere calcolare l’inversa
Sapere determinare la composizione di due o più funzioni

Contenuti

Topologia della retta
Definizione di funzione secondo Dirichlet
Classificazione delle funzioni
Dominio e codominio delle funzioni
Iniettività e suriettività di una funzione
Monotonia di una funzione
Particolari simmetrie delle funzioni
Invertibilità di una funzione
Composizione di due o più funzioni

Parole chiave

Biiettività – Codominio – Dominio – Iniettività – Insieme di esistenza – Intervallo – Invertibilità – Monotonia – Suriettività – Trascendente

C. Di Stefano, Dal problema al modello matematico – Vol 3 – Capitolo 9 - Unità 1

Richiamiamo le conoscenze...

Insiemi di numeri reali

Risolvendo equazioni o disequazioni le soluzioni possono scriversi in diversi modi.

Per esempio le soluzioni della disequazione x – 2 > 0, possono scriversi: x > 2 o (2; +∞).

− ≥ ≥

Le soluzioni della disequazione x 2 0 possono scriversi: x 2 o [2; +∞).

− <

Le soluzioni della disequazione x 2 0 possono scriversi: x < 2 o (–∞; 2).

− ≤ ≤

Le soluzioni della disequazione x 2 0 possono scriversi: x 2 o (–∞; 2].

2 ≥ ≥ ∨ ≤ ∪

– 4 0 possono scriversi: x 2 x 2 o (–∞; 2)] [2; +∞).

Le soluzioni della disequazione x 2 ≠ ∪

> 0 possono scriversi: x 2 o (–∞; 2) (2; +∞).

Le soluzioni della disequazione (x – 2)

La funzione valore assoluto

A volte è utile considerare solo valori positivi, per esempio nel caso di misure fisiche di lunghezza, massa e simili. Non ha certo senso parlare di una stanza di –5 metri quadrati o di un masso di massa –3 Kg.

Per ovviare a tali inconvenienti si usa perciò una funzione che del numero considera solo la sua parte priva del segno, quella che in genere si chiama valore assoluto, ma che è chiamato, in diversi contesti, anche modulo, ampiezza o simili terminologie.

Definizione A ≥

 x se x 0

= 

Dato un numero reale x, diciamo suo l’espressione: .

valore assoluto − <

 x se x 0

Esempio A = = − =

2 2, 0 0, 4 4

Avremo .

Rappresentazione grafica di semplici funzioni razionali

Sappiamo già rappresentare semplici funzioni, quelle rettilinee, paraboliche, logaritmiche, goniometriche, esponenziali. Sappiamo perciò rappresentare alcune funzioni che si ottengono sommando o sottraendo alcune di queste.

Esempio B + < −

 x 4 x 1



= − − + − ≤ ≤



Vogliamo rappresentare la funzione f x x x

( ) 9 ( 1) 2 1 3

 − + − >

x x x

5 1 3



Osserviamo che y = x + 4 è una retta, quindi disegnarla solo per x < – 1, equivale a tracciare una semiretta.

= − − +

y 9 ( x 1) 2, la possiamo pensare ottenuta da

( ) ( ) ( )

2 2 2

− = − − ⇒ − + − =

2 2

y 2 9 ( x 1) x 1 y 2 3

cioè dalla circonferenza di centro (1; 2) e raggio 3. Pertanto dovremmo tracciare solo il suo arco i cui punti

= − + −

y x 5 x 1

hanno ascissa che vanno da –1 a 3. Infine è una parabola con asse di simmetria parallelo all’asse delle ordinate. Pertanto dobbiamo tracciare il suo arco che si ottiene per x > 3.

Infine la funzione è quella che vediamo di seguito, in cui la funzione è quella in rosso, mentre i tratteggi mostrano le funzioni da cui abbiamo “prelevato” alcuni pezzi. 6

C. Di Stefano, Dal problema al modello matematico – Vol 3 – Capitolo 9 - Unità 1

Verifiche

{ }

 

 ∈ ℝ

a b c

4 , , \ 0

 



a b c abc { }

{ } −

− ∈

∈

+ + +  ℝ

a b c

4 , , \ 0

ℝ

1. Semplificare , , , \ 0

a b c  

a b c abc 

 

0 altrimenti



 

2. Dimostrare che | – | = ma ( min( , )

x y x x, y) – x y ≤ ≤

3. Determinare minimo e massimo dell'espressione | – 2| + | – 4| – |2 – 6|, con 2 8.

x x x x [m = 0; M = 8]

Risolvere le seguenti equazioni e disequazioni:

∨ ≤ ≤

– |2 + 1|| = 3 [ = – 4/3 = 2] | – 1| + | + 1| = 2 [–1 1]

4. |

x x x x x x x

⋅ ∨

5. (1 – | |) (1 + ) > 0 [ < – 1 –1 < < 1] | – 1| + | + 2| < 5 [–3 < < 2]

x x x x x x x

−

x x

≤ ≤ ≤ ≤ ∨ ≤ ≤ > ∅

| – 2| 7 [–5 1 3 9] 0 [ ]

6. 1 x x x x

7. Trovare i valori del parametro reale per i quali l'equazione ||| | – 2| – | = 5 ha esattamente 5 soluzioni.

m x m

zioni. [ = 7]

Disegnare il grafico delle seguenti funzioni: >



+ > + ≤ − >

− +

  

2 x 1

1 0 1 0 4 1 2

x x x x x x

x x 1

= = =



  

f ( x )

8. ( ) ( ) ( )

f x f x f x

≤

− ≤ − > − + ≤

− + − 2

2 x 1

  

2 1 0 2 1 0 5 6 2

x x x x x x x

x x 1



− <

 x x

2 3 1

 3 x >

 

x ( )

( ) ( )

= = − − + ≤ ≤ = + ⋅ −

 

( )

f x

9. f ( x ) ( x ) x

4 2 1 1 4 f x 1 x 1 x

( ) ≤

− − − 0

 1 x 1 1  − + >

x x x

12 5 4



+ < − − < −

 

x x x x

6 1 2 4 5 4

 

= − − + − ≤ ≤ = − − + − ≤ ≤

2 2

 

10. f ( x ) ( x ) x f ( x ) ( x ) x

16 2 3 2 4 25 3 2 4 0

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