Dal problema al modello matematico 1 (ebook)

Carmelo Di Stefano

Dal problema al modello matematico

Vol. 1

Logica e Geometria Analitica

© Matematicamente.it - settembre 2013

www.matematicamente.it - info@matematicamente.it

http://mathinterattiva.altervista.org/index.htm

ISBN 9788896354476

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Creative Commons BY-NC-ND

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citati correttamente sono pregati di mettersi in contatto con l’autore o con l’editore per gli interventi che si

riterranno necessari; si fa presente che questo libro non ha scopo di lucro.

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C. Di Stefano, Dal problema al modello matematico Vol. 1 Capitolo 1 - Unità 1

Presentazione

Nel corso della lettura dei volumi troverai diverse cose, che di seguito ti spiego brevemente.

All’inizio di alcune unità trovi un breve ripasso di argomenti svolti negli anni precedenti che ti risultano utili

per affrontare serenamente la stessa unità. Vanno sotto il nome di Richiamiamo le conoscenze. In alcune

unità vi sono anche argomenti di approfondimento, denominati con il titolo Quelli che vogliono sapere di

più … e simili enti matematici, sono contenuti all’interno di appositi box di un

Le definizioni, i teoremi, i corollari

uguale colore (verde per le definizioni, celeste per i teoremi e così via)

Ogni tanto troverai anche un box che ti spiega il significato di alcuni vocaboli, si intitola Che cosa significa?

Poi ci sono dei box con delle informazioni storiche che si chiamano I Protagonisti, che contengono infor-

L’angolo storico,

mazioni relativamente a famosi matematici citati nelle stesse pagine; e in cui invece ci

sono informazioni di varia natura, su quando per la prima volta si sono incontrate le nozioni di cui si sta par-

L’antologia,

lando e simili informazioni. Trovi anche, ogni tanto un box denominato in cui sono riportati

passi di famose opere matematiche, commentate. Vi sono anche dei box chiamati Enigmi matematici o In-

tervallo matematico, che si riferiscono in genere ad applicazioni giocose della matematica.

Alla fine di ogni argomento vi sono le relative verifiche. In esse sono presenti esercizi di tre livelli di diffi-

coltà, opportunamente indicati. Il Livello 1 è relativo a esercizi che sono spesso semplice applicazione di

quanto detto nella teoria; quelli di Livello 2 o contengono calcoli più complicati, o hanno bisogno di un im-

pegno maggiore; infine quelli di Livello 3 riguardano quesiti che devono essere impostati usando la fantasia

e non in modo ripetitivo. Questi ultimi sono riferiti ai più volenterosi. Per quelli a cui piace veramente ra-

gionare e impegnarsi, alla fine di ogni unità sono presenti alcuni esercizi molto complessi, che vanno sotto il

nome di La sfida

Invece per aiutarti all’inizio di ogni gruppo di esercizi di livello 1 o 2 vi sono alcuni esercizi simili svolti.

Sono talvolta presenti box legati a importanti software matematici: Derive, Geogebra, Excel, Microsoft Mathematica. In essi ti vengono spiegate brevemente alcune funzionalità dei software, ti si spiega velocemente

cosa puoi fare con essi relativamente all’argomento affrontato e poi ti vengono proposti esercizi da risolvere

con i detti software. Ricorda che Geogebra e Microsoft Mathematica sono liberamente scaricabili da

Internet, mentre Derive può essere scaricato liberamente solo in una versione di prova che, dopo 30 giorni,

non ti permette più di salvare. Excel, o simile, è di solito installato in tutti i PC.

dell’unità sono presentati, quando possibile, esercizi tratti dagli esami di stato,

Alla fine soprattutto del Liceo

Scientifico, riferiti ad anni passati. Sono anche presenti dei quesiti tratti da gare matematiche italiane ed in-

ternazionali, alcuni quesiti sono anche enunciati in lingua inglese. Così come quesiti tratti dai Test di am-

missione alle Università o alle Accademie militari.

In alcune unità poi sono presentate anche delle proposte di attività interdisciplinari.

numero, relativi ai più importanti argomenti dell’unità didattica.

Infine sono proposti dei test, almeno 10 di

Questi li trovi solo in formato multimediale scaricabili sempre dal sito http://mathinterattiva.altervista.org.

Un altro sito da cui puoi scaricare molto materiale didattico gratuito è http://matdidattica.altervista.org.

Buon lavoro

Carmelo Di Stefano

ii – –

C. Di Stefano, Dal problema al modello matematico Vol. 1 Capitolo 1 - Unità 1

Indice

1. Le basi del ragionamento

1.1 Concetti logici applicati alle matematiche

Richiamiamo le conoscenze Pag. 7

Che cosa sono le matematiche? 7

Nozione di problema 8

Concetto di verità 9

Nozione di definizione 10

L’Antologia 12

Verifiche 13

Assiomi e teoremi 14

L’Antologia 16

Verifiche 16

I principi della logica classica 17

Verifiche 20

L’angolo di Derive 21

La sfida 22

Quesiti assegnati in gare nazionali e internazionali 22

Questions in English 23

Test di ammissione alle Università o alle Accademie militari 23

Scheda Interdisciplinare 25

Risposte Test di ammissione alle Università o alle Accademie militari 26

1 – –

C. Di Stefano, Dal problema al modello matematico Vol. 1 Capitolo 1 - Unità 1

1.2 Verso il concetto di dimostrazione

Richiamiamo le conoscenze Pag. 28

Verifiche 29

L’angolo di Derive 30

L’angolo di Excel 31

I Quantificatori 32

Verifiche 35

L’angolo di Derive 39

L’Antologia 39

Il calcolo proposizionale 41

Verifiche 45

L’angolo di Derive 46

Enigmi matematici 46

Il concetto di dimostrazione 48

Verifiche 54

Intervallo Matematico 59

L’Antologia 61

La sfida 62

Quesiti assegnati in gare nazionali e internazionali 63

Questions in English 66

Test di ammissione alle Università o alle Accademie militari 67

Scheda Interdisciplinare 70

Quelli che … vogliono sapere di più – I sillogismi aristotelici 72

Verifiche 74

Risposte Test di ammissione alle Università o alle Accademie militari 76

1 – –

C. Di Stefano, Dal problema al modello matematico Vol. 1 Capitolo 1 - Unità 1

1.3 Insiemi dotati di struttura

Richiamiamo le conoscenze Pag. 78

Verifiche 79

L’angolo di Derive 81

Strutture algebriche 82

Verifiche 85

I Gruppi 87

L’Antologia 89

Verifiche 90

Anelli, Corpi e Campi 93

Verifiche 96

Isomorfismi 96

Verifiche 97

La sfida 98

Quesiti assegnati in gare nazionali e internazionali 99

Questions in English 99

Quelli che … vogliono sapere di più - Ordine dei sottogruppi 100

Verifiche 101

2. Geometria delle coordinate

2.1 Risoluzione dei sistemi lineari

Richiamiamo le conoscenze Pag. 104

Verifiche 106

L’angolo di Derive 108

L’angolo di Microsoft Mathematics 109

Risoluzione di un sistema lineare di n equazioni in n incognite 110

L’Antologia 121

Verifiche 122

L’angolo di Derive 129

L’angolo di Microsoft Mathematics 130

Inversione di matrici 130

Verifiche 133

L’angolo di Derive 139

L’angolo di Microsoft Mathematics 139

Intervallo matematico 140

Risoluzione di sistemi lineari di n equazioni in m incognite 142

Verifiche 146

di Derive

L’angolo 155

L’angolo di Microsoft Mathematics 156

Temi di esame assegnati agli esami di stato 157

La sfida 158

… vogliono sapere di più

Quelli che - Metodo di diagonalizzazione di Gauss 159

Verifiche 164

2.2 Il riferimento cartesiano ortogonale

Richiamiamo le conoscenze Pag. 168

Concetto di sistema di riferimento 169

Verifiche 171

Concetto di sistema di riferimento sul piano 175

Verifiche 180

2 – –

C. Di Stefano, Dal problema al modello matematico Vol. 1 Capitolo 1 - Unità 1

L’angolo di Geogebra e Cabri Pag. 182

L’angolo di Derive 183

L’angolo di Microsoft Mathematics 184

Intervallo matematico 185

Geometria dei punti e delle figure poligonali 186

Verifiche 187

Suddivisione di un segmento in un dato rapporto 195

Verifiche 197

Aree di figure poligonali 201

Verifiche 204

L’angolo di Geogebra e Cabri 206

L’angolo di Derive 207

La sfida 208

Quesiti assegnati in gare nazionali e internazionali 209

Questions in English 210

Test di ammissione alle Università o alle Accademie militari 211

Risposte Test di ammissione alle Università o alle Accademie militari 211

3. Rette e trasformazioni geometriche

3.1. Curve di primo grado

Richiamiamo le conoscenze Pag. 213

Concetto di luogo geometrico–analitico 214

L’Antologia 219

Verifiche 221

L’angolo di Derive 223

Equazione della retta 224

Verifiche 231

L’angolo di Geogebra e Cabri 238

L’angolo di Derive 239

Posizioni reciproche di due rette 240

Verifiche 245

L’angolo di Geogebra e Cabri 255

L’angolo di Derive 256

Fasci di rette 257

Verifiche 258

L’angolo di Derive 262

Temi di esame assegnati agli esami di stato 263

La sfida 264

Quelli che … vogliono sapere di più – Cenni sulla programmazione lineare 265

Verifiche 269

L’angolo di Derive 277

Quesiti assegnati in gare nazionali e internazionali 277

Questions in English 279

Test di ammissione alle Università o alle Accademie militari 280

Risposte Test di ammissione alle Università o alle Accademie militari 283

3.2 Trasformazioni geometriche

Richiamiamo le conoscenze Pag. 285

Trasformazioni geometriche 287

Verifiche 290

Composizione di trasformazioni geometriche 292

3 – –

C. Di Stefano, Dal problema al modello matematico Vol. 1 Capitolo 1 - Unità 1

Verifiche Pag. 294

Inversione di trasformazioni geometriche 295

L’Antologia 297

Verifiche 298

L’angolo di Derive 299

Leggi delle trasformazioni isometriche 300

Leggi della traslazione 300

Verifiche 303

Leggi delle simmetrie 305

Verifiche 309

Leggi delle rotazioni 317

Verifiche 319

L’angolo di Geogebra e Cabri 323

L’angolo di Derive 324

Enigmi matematici 324

Leggi delle trasformazioni di similitudine e di affinità 325

Verifiche 328

L’angolo di Geogebra e Cabri 331

L’angolo di Derive 332

Leggi delle trasformazioni di similitudine 333

Verifiche 334

L’angolo di Derive 338

Leggi delle trasformazioni di affinità 339

Verifiche 342

L’angolo di Derive 346

Temi di esame assegnati agli esami di stato 347

Giochiamo alla matematica 348

La sfida 349

Quesiti assegnati in gare nazionali e internazionali 352

Questions in English 352

Test di ammissione alle Università o alle Accademie militari 353

Risposte Test di ammissione alle Università o alle Accademie militari 353

4. Geometria delle coniche

4.1. Le sezioni coniche

Le coniche Pag. 355

L’Antologia 359

Verifiche 360

Posizioni reciproche di retta e conica e di due coniche 361

Verifiche 365

Fasci di coniche 370

Verifiche 372

Test di ammissione alle Università o alle Accademie militari 374

Risposte Test di ammissione alle Università o alle Accademie militari 374

4.2 Le circonferenze

La circonferenza Pag. 376

Verifiche 380

L’angolo di Derive 391

L’angolo di Geogebra e Cabri 392

4 – –

C. Di Stefano, Dal problema al modello matematico Vol. 1 Capitolo 1 - Unità 1

Fasci di circonferenze Pag. 393

Verifiche 395

Temi di esame assegnati agli esami di stato 397

La sfida 399

Quesiti assegnati in gare nazionali e internazionali 401

Questions in English 402

05Test di ammissione alle Università o alle Accademie militari 403

Risposte Test di ammissione alle Università o alle Accademie militari 405

4.3 Le ellissi

L’ellisse Pag. 407

Verifiche 415

L’angolo di Derive 427

L’angolo di Geogebra e Cabri 427

Fasci di ellissi 428

Verifiche 430

Intervallo matematico 433

La sfida 434

Test di ammissione alle Università o alle Accademie militari 434

Risposte Test di ammissione alle Università o alle Accademie militari 435

4.4 Le iperboli

L’iperbole Pag. 437

Verifiche 444

Fasci di iperboli 457

L’antologia 460

Verifiche 461

L’angolo di Derive 464

L’angolo di Geogebra e Cabri 465

Intervallo matematico 465

Temi di esame assegnati agli esami di stato 466

La sfida 468

Test di ammissione alle Università o alle Accademie militari 469

Risposte Test di ammissione alle Università o alle Accademie militari 469

4.5 Le parabole

La parabola Pag. 471

Verifiche 477

L’angolo di Derive 491

L’angolo di Derive 494

L’angolo di Geogebra e Cabri 495

Fasci di parabole 499

Verifiche 500

L’angolo di Derive 501

Temi di esame assegnati agli esami di stato 502

Enigmi matematici 509

La sfida 509

Quesiti assegnati in gare nazionali e internazionali 510

Questions in English 511

Test di ammissione alle Università o alle Accademie militari 512

Risposte Test di ammissione alle Università o alle Accademie militari 513

5 – –

C. Di Stefano, Dal problema al modello matematico Vol. 1 Capitolo 1 - Unità 1

Le basi del ragionamento

1.1 Concetti logici applicati alle matematiche

Prerequisiti

• Conoscenze grammaticali elementari
• Nozione di enunciato logico.
• Nozione di raggruppamento di oggetti in base a una loro caratteristica o prerogativa.

Obiettivi

• Riconoscere la necessità di introdurre, alla base della matematica, delle affermazioni indimostrabili.
• Riconoscere l’opportunità di dimostrare fatti anche apparentemente ovvi e intuitivi.
• Distinguere in un teorema ipotesi e tesi.
• Distinguere il Teorema come risultato sicuro, ossia sostenuto da una dimostrazione, dalla congettura, ossia risultato presunto, sostenuto da un certo numero di prove, anche infinito.
• Riconoscere e assimilare il significato della dimostrazione matematica di un fatto.
• Essere consapevoli che infinite verifiche non dimostrano alcunché, mentre un solo controesempio serve ad abbattere la presunta verità di un fatto.
• Imparare a distinguere ciò che è necessario da ciò che è superfluo.
• Acquisire l’abilità di suddividere i problemi in altri più semplici.
• Riconoscere l’opportunità di raggruppare sotto un unico nome oggetti che hanno qualcosa che li accomuna.
• Familiarizzare con le opportune simbologie.

Contenuti

• Che cosa sono le matematiche?
• Nozione di problema
• Concetto di verità
• Nozione di definizione
• Assiomi e teoremi
• I principi della logica classica

Parole chiave

– – – Assioma – – – –

Enunciato Congettura Dimostrazione o postulato Teorema Corollario Ipotesi Tesi

6 – –

C. Di Stefano, Dal problema al modello matematico Vol. 1 Capitolo 1 - Unità 1

Richiamiamo le conoscenze

Enunciati logici

Un enunciato logico è una frase del linguaggio comune, dotata di senso, alla quale possiamo associare in

modo univoco un valore di verità, della quale possiamo cioè dire in modo definitivo se è vera o falsa.

Così sono veri i seguenti enunciati logici indipendentemente dal fatto che ciascuno di noi conosca o meno i

fatti citati:

• L’Italia è una repubblica.
• Giove è il pianeta più grande del sistema solare.
• Pitagora è nato a Samo.

Sono invece falsi gli enunciati logici che seguono:

• Il Brasile confina con Cuba.
• Giulio Cesare è vissuto 100 anni dopo la nascita di Cristo.
• I Pink Floyd hanno scritto la famosa canzone Let it be.

Non sono enunciati logici le seguenti frasi, perché si riferiscono a opinioni personali, indipendentemente dal

fatto che possano essere condivisibili da un numero enorme di persone:

• I Genesis sono stati il miglior gruppo rock degli anni ottanta del XX secolo.
• Il calcio è lo sport più appassionante.
• Il tedesco è una lingua difficile.

Nemmeno le seguenti scritte sono enunciati logici:

• Quanto tempo manca alla mezzanotte?
• Stai dopo come allora.
• Ammaammsas dlklkd.

Esse sono rispettivamente una domanda, una successione disordinata di parole della lingua italiana senza un

significato logico, una serie di simboli privi di senso nella lingua italiana (e non solo in quella).

Che cosa sono le matematiche?

La matematica può definirsi come quella disciplina nella quale non sappiamo di cosa stiamo parlando, né se ciò che stiamo dicendo è vero.

Bertrand Russell

Nel corso dei secoli le matematiche non sono state quasi mai considerate solo ed esclusivamente come uno

strumento di calcolo, ma piuttosto sono state assunte come discipline simbolo del ragionamento e della pre-

cisione.

Si narra che il famoso filosofo Platone avesse fatto scrivere sulla porta della propria scuola: Non entri chi

non sappia di geometria.