Probabilità e statistica

Indice

Introduzione dei concetti base …………………………………………..…….…….2

Statistica descrittiva ……………………………………………………..…26

Variabile aleatoria ………………………………………………………30

Variabile aleatoria discreta ……………………….………………….…….....…35

Variabile aleatoria continua ………………..……………………………..……36

Funzione densità di probabilità …………………….…………………..……50

Variabile aleatoria di tipo uniforme ………….…………...……51

Variabile aleatoria di tipo uniforme generalizzato ………….…………........................................……53

Variabile aleatoria gaussiana ………….…………........................................……58

Funzioni di variabili aleatorie ………….…………..........................................……63

Trasformazione di tipo affine ………….…………………………………....……75

Variabili aleatorie vettoriali ………….………………………………...….…103

Variabili aleatorie indipendenti ………….………….....….114

Variabile aleatoria vettoriale multidimensionale ………….……………..……115

Trasformazioni di variabili aleatorie vettoriali ………….………………………………....……122

Variabile aleatoria chi quadro ………….………………………………...……124

Variabile aleatoria di Student ………….…………................................…….126

Variabile aleatoria di tipo Fisher

Introduzione dei concetti base

Ciò che affronteremo si baserà su due concetti di base, due fattori fondamentali su cui andremo a lavorare e che andremo a caratterizzare nel modo più esaustivo possibile.

Il primo concetto fondamentale è quello di popolazione: quando andiamo ad affrontare un’osservazione di un dato problema la popolazione rappresenta l’insieme di tutte le possibili osservazioni (dimensioni N).

Alcuni tipi di popolazioni sono:

• Misure sperimentali, in linea di principio infinite, che possono essere effettuate durante l’osservazione di un dato problema.

Il fatto che possano essere infinite è legato al fatto che teoricamente potremo ripetere numerose volte, in maniera continuativa, le stesse misure sperimentali su un determinato processo.

In questo caso abbiamo visto un esempio di una popolazione di dimensioni infinite.

• Lancio dei dadi: è un processo che effettivamente restituisce in genere risultati diversi, la popolazione dei possibili lanci di dado che possiamo effettuare è in linea di principio di dimensioni infinite.
• Risultati delle elezioni politiche in un paese: in questo caso si ha a che fare con una popolazione finita ma in genere molto grande, ciascun elemento della popolazione ha in genere esiti diversi (qualcuno avrà votato un partito piuttosto che un altro) e pertanto esisterà un’eterogeneità presente nella popolazione dei risultati delle elezioni politiche.

In genere ogni elemento della popolazione ha un valore diverso.

Il secondo concetto fondamentale è quello di campione: insieme dei valori osservati, è pertanto un sottoinsieme della popolazione.

La dimensione del campione n è il numero dei valori che sono effettivamente osservati, in genere: ≪

Esempi di campione sono:

• Numero finito di prove sperimentali che si è, nella realtà, effettuato: non si può nella realtà eseguire un numero infinito di prove sperimentali, ciò a cui abbiamo accesso è un sottoinsieme della potenziale popolazione di tutte le possibili osservazioni sperimentali.

Il campione è in genere costituito da un insieme finito, può essere sia grande che piccolo.

• Proiezioni dei risultati elettorali ottenute grazie ai cosiddetti “exit poll” (sondaggi di opinione): gli exit poll rappresentano delle proiezioni che si fanno in merito al risultato elettorale e si effettuano consultando un numero limitato di persone prima dei risultati elettorali, in modo da avere subito una stima di come andranno a finire le elezioni.

In sostanza il campione è un sottoinsieme della popolazione, è quella parte di popolazione che noi possiamo osservare, e la popolazione è l’oggetto che ha generato il campione.

In genere non è possibile conoscere tutta la popolazione, questo perché solitamente è costituita da un insieme infinito (es. misure sperimentali).

Nel caso delle elezioni politiche, se volessimo già avere un’idea di quelle che saranno le proiezioni dovremmo aspettare ore, inizialmente non si avrebbe un numero sufficiente di campioni.

Conoscere la popolazione non ha comunque senso applicativo, se per esempio consideriamo i crash test delle vetture abbiamo che una vettura dopo essere stata sottoposta alla misura, cioè al crash test, non è più utilizzabile.

Questo comporta il fatto che una casa automobilistica deve fare una selezione su un numero molto limitato di vetture, sperando che rappresentino al meglio la popolazione delle vetture che poi andranno ad essere commercializzate.

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Andiamo a dare una rappresentazione grafica della popolazione e del campione.

Supponiamo che la popolazione sia l’ovale blu, rappresentativo di tutte le possibili osservazioni del processo affetto da casualità che stiamo prendendo in considerazione, e ciò che stiamo facendo è estrarre un sottoinsieme (campione) dalla popolazione per mezzo di una campagna sperimentale.

Il campione può darci idea di quella che è la popolazione che lo ha generato, ciò che vogliamo fare noi è tentare di tornare indietro dal campione alla popolazione, ossia a partire dallo studio del campione che abbiamo a disposizione vogliamo sviluppare degli algoritmi e degli strumenti analitici che permettano di ottenere informazioni sulla popolazione che lo ha generato.

Quanto appena detto si fa sfruttando l’inferenza statistica.

Inferenza statistica Popolazione Campione

Caratterizzazione: Caratterizzazione:

Campagna sperimentale: statistica descrittiva teoria della probabilità e statistica

Processo induttivo

La caratterizzazione del campione si fa mediante la statistica descrittiva, mentre la caratterizzazione della popolazione si fa mediante la teoria della probabilità e statistica.

Statistica descrittiva

Quando si parla di errore nella misura sperimentale non bisogna intenderlo come uno sbaglio macroscopico che è stato compiuto per via di inefficienze, infatti per quanto una misura sperimentale possa essere precisa non può essere completamente priva di incertezze.

Esistono numerose sorgenti di errore che portano a possibili deviazioni dal valore vero:

• Lo strumento di misura che si utilizza ha una precisione finita.
• Errori umani di misura.
• Altro.

Da quanto detto è chiaro che nessuna grandezza fisica può essere misurata con assoluta certezza, qualunque sia lo strumento di misura utilizzato.

Un altro concetto molto importante per poter definire l’errore sperimentale è quello di esperienza replicabile: un esperimento si dice replicabile se è possibile ripeterlo più volte nelle stesse identiche condizioni.

Se per esempio stiamo eseguendo una misura di viscosità su un determinato polimero, possiamo ripetere la stessa identica misura nelle stesse identiche condizioni (T, P, composizione, ecc) volta dopo volta.

In presenza di esperimenti replicabili, le misure ottenute non sono generalmente uguali per effetto dell’errore nella misura.

Esiste sempre una piccola deviazione dal valore vero che non può essere assolutamente controllata, a volte può essere un numero piccolo che non desta preoccupazione o difficoltà nell’interpretazione del risultato e a volte può essere un numero più importante che fa sì che sia necessario attuare un’analisi più dettagliata.

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A titolo di esempio consideriamo un esempio di misura sperimentale, in particolare la misura della viscosità mediante un viscosimetro di Hoppler (fatto in casa): si tratta di un tubo riempito di un fluido di cui si vuole misurare la viscosità e di cui risulta essere nota la densità, in genere il tubo è immerso in un bagno termostatato che garantisce che il fluido rimanga alla temperatura stabilita.

Si inserisce una sfera di densità e raggio noto e si cronometra il tempo di discesa della sfera lungo la lunghezza L.

I viscosimetri di Hoppler professionali sono molto costosi ma offrono elevatissima precisione, noi stiamo considerando un viscosimetro fatto in casa, quindi sarà l’osservatore a dover cronometrare la discesa della sfera.

Δ Da tempo di caduta della sfera si può ricavare la viscosità dinamica del fluido come:

: densità della sfera.

″″ : densità della sfera.

( )Δ = − : costante strumentale.

Δ: costante strumentale.

Supponiamo di eseguire una misura di viscosità del kerosene e di ottenere 1.45 cp, ovviamente sarebbe scorretto affermare che questo è il valore vero della densità del kerosene, infatti andando ad eseguire un’ulteriore misura sullo stesso liquido e nelle stesse condizioni sperimentali potremmo ottenere un risultato pari a 1.42 cp.

Ogni volta che eseguiamo una misura ci esponiamo a tutta una serie di fenomeni che intervengono nella misura e che non possono essere controllati, in questo caso specifico tali fenomeni potrebbero essere:

• Tempo di riflesso dell’operatore.
• Fluttuazioni del liquido all’interno del tubo.
• Pareti del tubo non perfette: magari le pareti sono caratterizzate da rigature o scabrezza che influiscono sul moto della sfera.
• Fluttuazioni di temperatura, quindi di densità, nel liquido per via di una cattiva coibentazione della camicia termostatata.
• Altro.

Notiamo dunque che sono presenti numerose sorgenti che possono portare a perturbazioni del processo che stiamo prendendo in considerazione, il che implica che per quanto si possa essere meticolosi nell’eseguire una misura sperimentale, due esperienze replicabili portano sempre a risultati differenti.

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Supponiamo di ripetere l’esperienza per 20 volte nelle stesse condizioni, i risultati che si potrebbero ottenere sono: notiamo che in genere non osserviamo mai lo stesso valore ripetuto.

È bene evidenziare che nessuno dei valori misurati è il valore vero della viscosità del kerosene, ciascun valore infatti rappresenterà una piccola o grande deviazione dal valore vero della viscosità del kerosene.

Misurata Kerosene valore

Viscosità sene.

Prove sperimentali

Riportando tutti i punti sulla stessa ordinata possiamo iniziare ad apprezzare alcuni aspetti: la maggior parte dei risultati tra 1.35 e 1.45 e man mano che ci allontaniamo da questo trend centrale il verificarsi dei risultati diventa sempre più raro.

Esiste dunque una dispersione dei punti sperimentali che già ci può dare un’informazione sulla precisione con cui si sta lavorando.

Andiamo a vedere come prendere questo campione di dimensione n=20 di misure sperimentali effettuate sulla viscosità del kerosene e caratterizzarlo in maniera il più esaustiva possibile, in modo da cominciare ad avere qualche idea di quelle che risultano essere le informazioni pertinenti alla popolazione che lo ha generato.

La popolazione che ha generato questo campione di dati è rappresentata dalle infinite misure di viscosità che in linea di principio era possibile effettuare sul kerosene.

Definiamo con frequenza assoluta il numero di volte che una misura assume valori compresi in un certo intervallo di valori (classe).

Δ = 0.05:

Consideriamo una classe dei segmentini di spessore tra gli elementi che assumono valori compresi tra 1.20 e 1.25 ricade un solo punto sperimentale, nel segmento compreso tra 1.25 e 1.30 ricade un solo punto sperimentale, e così via.

Notiamo che per valori minori di 1.35 e maggiori di 1.50 i punti iniziano a diradarsi.

In conclusione, possiamo associare a ciascuna di queste classi di spessore 0.05 il numero di volte che è stato osservato un risultato sperimentale in quella determinata classe.

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Per eseguire il diagramma delle frequenze assolute dobbiamo riportare in un istogramma il numero di volte che una prova sta assumendo un certo valore: per la classe tra 1.20 e 1.25 ci sarà un bastoncino di altezza 1, la stessa cosa per la classe tra 1.25 e 1.30 e così via.

Questa rappresentazione inizia a diventare rappresentativa del nostro campione e prende il nome di frequenza assoluta del valore y del campione dei dati.

Quello che possiamo fare è considerare i valori che abbiamo ottenuto per ciascuna classe (es. 1, 1, 0, 7, …) e dividerli per il numero di misure sperimentali n (per noi n=20), ottenendo la frequenza relativa.

La frequenza relativa rappresenta la frazione di dati sperimentali che assumono valori in un dato intervallo Δ.

Le frequenze relative assumono valori minori o al massimo uguali ad 1 se tutti i punti sperimentali ricadono all’interno di una certa classe; la somma delle frequenze relative deve essere sempre pari a 1.

7 minori o al massimo uguali ad 1 se

5

20 tutti i punti sperimentali ricadono

4 20 all’interno di una certa classe; la

20 somma delle frequenze relative deve

2 essere sempre pari a 1.

11 20 ≤ 1

20

20 ∑ = 1

Un altro modo di rappresentare la distribuzione del campione con le frequenze relative è utilizzare la densità di frequenza relativa, definita come:

: densità di frequenza relativa.

: frequenza relativa.

= Δ

Δ: ampiezza della classe.

Per risalire alla percentuale di elementi appartenenti ad una data classe è necessario calcolare l’area sottesa dal rettangolo: per esempio l’area evidenziata in rosso rappresenta la percentuale di elementi che appartengono alla classe compresa tra 1.35 e 1.40.

Δ

Nel nostro caso il era pari a 0.05.

Da sottolineare che:

∑ Δ = 1

5

Una cosa che potremmo voler calcolare è la frequenza cumulativa: frazione dei dati sperimentali che assumono valori inferiori ad un certo valore.

Per ogni valore di y andiamo ad associare la somma di tutte le frequenze relative corrispondenti ai valori dei campioni più piccoli o uguali ad y, ossia andiamo ad associare la percentuale di elementi che assumono valori minori o uguali al valore attuale di y.

Nel caso specifico:

7 5

20 20

4

20 2

20

11 20

20

Vediamo che non è presente alcun elemento nella classe compresa tra 1.15 e 1.20, quindi nella nostra frequenza cumulativa la percentuale di elementi che hanno valore inferiore alla classe 1.15-1.20 è pari a zero.

Tra 1.20 e 1.25 abbiamo un punto sperimentale e pertanto nella frequenza cumulativa, in corrispondenza della classe tra 1.15 e 1.20, si avrà un piccolo salto pari alla percentuale di elementi che appartengono a classi minori o uguali alla classe 1.20-1.25.

Tra 1.25 e 1.30 c’è un ulteriore elemento per cui nella frequenza cumulativa sarà presente un ulteriore salto che porterà da 1 a 2.

20 20

Tra 1.30 e 1.35 non sono presenti elementi e pertanto la funzione cumulativa continuerà piatta.

7

Nella classe tra 1.35 e 1.40 si ha un salto di e di conseguenza nella funzione cumulativa arriveremo 20 9 a 20.

Continuando con questo ragionamento alla fine andiamo ad ottenere una spezzata che parte da 0, ossia la classe più in basso, e arriva ad 1 quando andiamo ad includere tutti gli elementi appartenenti al nostro campione.

In questo modo abbiamo la possibilità di rappresentare il nostro campione di dati sperimentali, notando come la funzione cumulativa è una funzione a gradini crescente che parte da 0 e arriva a 1.

L’utilità della funzione cumulativa sta nel fatto che ci permette di valutare la frazione di esperimenti che sono presenti tra più classi, per esempio se vogliamo conoscere la frazione degli esperimenti che hanno valore compreso tra 1.25 e 1.45 dobbiamo calcolare la frazione di punti che assumono valori minori di 1.45 e andiamo a sottrarre la frazione di punti che assumono valore inferiore a 1.25.

6 Il valo