Probabilità

Probabilità e statistica

Lancio del dado, fenomeno aleatorio.

Ω spazio campionario, raccoglie tutti esiti di un fenomeno aleatorio.

Ω insieme di punti.

A = {famiglia di sottoinsiemi di Ω}

1. Ω ∈ A
2. A ∈ A, A^C ∈ A
3. A, B ∈ A, A ∪ B ∈ A
4. ∀n ∈ N ∀A₁, ..., A_n ∈ A ⇒ ∪_k=1ⁿ A_k ∈ A

A è un'algebra degli insiemi.

Probabilità e statistica

Lancio del dado, fenomeno aleatorio.

Ω spazio campionario, raccoglie tutti esiti di un fenomeno aleatorio.

Ω insieme di punti.

A = {famiglia di sottoinsiemi di Ω}

1. Ω ∈ A
2. A ∈ A, A^C ∈ A
3. A, B ∈ A, A ∪ B ∈ A
4. ∀n ∈ N ∀A₁, ..., A_n ∈ A ⇒ ∪_k=1ⁿ A_k ∈ A

A è un'algebra degli insiemi.

σ algebra degli insiemi

Def Ω è una σ algebra degli insiemi.

1. Ω ∈ Q
2. A ∈ Q ⇒ A^C ∈ Q
3. {A_n}_n∈N A_n ∈ Q 1⇒^+∞∪_n=1 A_n ∈ Q

ϑ = Ω^C ∈ Q

(∪_n=1 A_n^C)^C = (∩_n=1 A_n) formula di de Morgan.

A_n ∈ Q ⇒ A_n^C ∈ Q

(∪_n A_n^C)^C ∈ Q = (∩_n=1 A_n)

Misura di probabilità

Def P:Q → [0,1] è una (misura di probabilità) probabilità se

1. P(Ω) = 1

2) A_i, B ∈ Ω: A ∩ B = ∅ ⇒ P(A ∪ B) = P(A) + P(B)

{A₁, ..., A_n} : A_i ∈ Ω, i = 1, ...n : A_i ∩ A_j = ∅ i ≠ j

P(∪_k=1ⁿ A_k) = Σ_k=1ⁿ P(A_k) additività finita.

(Ω, A, P) → Ω spazio campionario.

A σ algebra di sottoinsiemi di Ω.

P: A → [0,1]

P(∪_n≥1 A_n) = Σ_n≥1 P(A_n) (σ additività di P)

Costruiamo modello probabilistico

Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6} ω punti di Ω.

A := ℘(Ω)

(Ω, ℘(Ω))

P : ℘(Ω) → [0,1]

P = P(ξ_i ⊆ ξ) i = 1, 2, 3, 4, 5, 6.

Ω = ∪_i=1⁶ ξ_i ⊆ ξ

1 = P(Ω) = ∑_i=1⁶ P(ξ_i∈Ξ;) = ∑_i=1⁶ P = 6P | P = ¹/₆

Le A = esce un numero dispari.

A = {ξ₁ ∪ ξ₃ ∪ ξ₅}

P(A) = P(1) + P(2) + P(3) = ³/₆ = ¹/₂

Ω #Ω < 8

A = P(Ω)

(Ω, A) si considera una probabilità uniforme.

∃ P∈(0,1) : P#Ω = 11 = P(Ω) ; Ω = ∪_{w ∈ Ω} {ξ_ω}

#Ω · P = 1 ⇒ P = ¹/_#Ω

A ⊆ Ω A = ∪_w∈A {ξ_w}

P(A) = ¹/_#Ω · #A

(Ω, A, P)

Proprietà della probabilità

A,B∈a

B̅ ≡ (B∩A) ∪ (B∩A^c)

P(B) = P(B∩A) + P(B∩A^c)

1) ∃ E = Ω

1 = P(A) + P(A^c) => P(A^c) = 1 - P(A)

2) A ⊆ B

P(B) = P(A) + P(B ∩ A^c) ≥ P(A)

3) ξ Aⁿ ξ_{n ∈ N} A_n ∈ Q

P(∪_n A_n) = 1 - P(∩_n≥1 A_n^c)

4) A, B ∈ Q

P(A ∪ B)

A ∪ B = (A ∪ B^c) ∪ (A ∩ B) ∪ (A^c ∩ B)

P(A ∪ B) = P(A ∪ B^c) + P(A ∩ B) + P(A^c ∩ B)

P(A ∪ B) + P(A ∩ B) = P(A ∪ B^c) + P(A ∩ B) + P(A^c ∩ B) + P(A ∪ B)

P(A)

P(B)

P(A ∪ B) = P(A) + P(B) - P(A ∪ B)

Esempio

2 lanci consecutivi di un dado.

ℜ = ₁

w = (w₁, w₂) w_i ∈ {1, 2, 3, 4, 5, 6} i = 1, 2

#ℜ = 6 × 6 = 36

A = {esce almeno una volta '6'} = { (6,1), (6,2), (6,3), (6,4), (6,5), (6,6), (1,6), (2,6), (3,6), (4,6), (5,6) }

P(A) = #A / #ℜ = 11 / 36

A = A₁ ∪ A₂

A₁ = {w ∈ ℜ : w₁ = 6}

A₂ = {w ∈ ℜ : w₂ = 6}

P(A₁ ∪ A₂) = P(A₁) + P(A₂) - P(A₁ ∩ A₂) = 6/36 + 6/36 - 1/36 = 11/36

P(A₁ ∪ A₂) = 1 - P(A₁^c ∩ A₂^c) = 1 - 25/36 = 11/36