Probabilità

PROBABILITA"

CAPITOLO 12

12 1 .

. nascita risale alla metà del XVII secolo

PROBABILITÀ = insieme dei criteri con cui si misura D = carteggio tra Pascal e Fermat, dove

la possibilità che un evento incerto si manifesti analizzavano dei giochi d'azzardo

esperimento casuale = operazione/attività che si esegue più volte e il cui risultato ad ogni replica è incerto

es. lancio moneta o estrazione pallina da un’urna

D

CARATTERISTICA IMPORTANTE: esperimenti possono

essere ripetuti nelle stesse condizioni

↓ ciò consente di costruire modelli matematici che descrivono il

comportamento di eventi casuali associati alla ripetizione dell'esperimento

si ha un insieme di dati che:

1. sono ottenuti effettivamente replicando più volte un esperimento casuale

2. sotto certe condizioni, sono equiparabili

sono generati da un meccanismo casuale

12 2

.

.

ESPERIMENTO = attività che può essere condotta e ripetuta in condizioni controllate per studiare un fenomeno di interesse

↓

esperimento deterministico se produce un unico prevedibile risultato ciascuna replica dell'esperimento darà luogo

D

= se l’acqua viene portata a 100º l'unico risultato è che bollirà allo stesso risultato

J

esperimento casuale se gli esiti non possono essere previsti con certezza la singola esecuzione di un esperimento

= lancio di una moneta D casuale è detta PROVA

* i possibili esiti sono noti e specificabili singolo evento detto EVENTO ELEMENTARE

D

prima che l'esperimento venga eseguito ed è indicato con ω

insieme di tutti gli eventi elementari è detto

D SPAZIO CAMPIONARIO ed è indicato con Ω

* lo spazio campionario può essere costruito con l'ausilio di un diagramma chiamato albero degli eventi

ESEMPI:

- ·

soluzione soluzione

soluzione soluzione

lo spazio campionario può contenere un numero finito, un’infinità numerabile e un'infinità non numerabile di eventi elementari

= detti CONTINUI

= detti DISCRETI

spazio campionario è sempre riducibile a un insieme di punti, ognuno dei quali rappresenta un evento elementare

semplice se è costituito da un singolo evento elementare

EVENTO = sottoinsieme dello spazio campionario Ω composto se è costituito da due o più eventi elementari

si realizza se si manifesta uno degli eventi elementari che lo compongono

ESEMPI:

eventi di maggiore interesse = quelli composti, i cui eventi elementari condividono qualche proprietà comune

data la corrispondenza tra eventi e insieme di punti, lo studio delle relazioni

tra eventi è riconducibile allo studio delle relazioni tra insiemi

illustrazione utile per descrivere gli insiemi e per mostrarne le relazioni reciproche è il diagramma di Venn

= diagramma che rappresenta insieme con punti contenuti in

un cerchio, rettangolo o altra figura geometrica piana

• spazio campionario = rappresentato con un rettangolo

• generico evento = rappresentato con un cerchio o

un’ellisse nel rettangolo

siano A e B 2 eventi arbitrari dello spazio campionario Ω

(a) EVENTO UNIONE di A e B, indicato con A B = formato da tutti gli eventi elementari che

∪

appartengono ad A, a B o ad entrambi

(b) EVENTO INTERSEZIONE di A e B, indicato con A B = formato da tutti gli eventi elementari che

∩

appartengono sia ad A che a B i due eventi si dicono disgusti o incompatibili se non hanno

alcun evento elementare in comune, cioè se A B = 0 detto anche evento impossibile

∩

-

(c) EVENTO COMPLETARE di A, indicato con A = formato da tutti gli eventi elementari di Ω che non

appartengono ad A

ESEMPIO: soluzione

le operazioni di unione e intersezione possono essere estese a più di 2 eventi

siano A , A , …, A k eventi definiti sullo spazio campionario Ω

1 2 k

• la loro unione, indicata con A A … A , è data dall'insieme degli

1 2 k

∪ ∪ ∪

eventi elementari che appartengono ad almeno uno di essi

• la loro intersezione, indicata con A A … A , è data dall'insieme

1 2 k

∩ ∩ ∩

degli eventi elementari che appartengono a tutti gli A

i

gli eventi A , A , …, A costituiscono una PARTIZIONE DELLO SPAZIO CAMPIONARIO Ω se sono soddisfatte le tre condizioni:

1 2 k

1. A = o

/ /

1

2. Ai Aj = o con i = j

/

/

∩

3. A A … A = Ω

1 2 k

∪ ∪ ∪

funzione P(•) assegna una probabilità a ogni elemento di una famiglia di sottoinsiemi di Ω

queste sono erratiche per piccoli valori di n e tendono

dominio = è costituito da una collezione di insiemi a stabilizzarsi intorno a dei valori costanti, p e p , al

A B

crescere di n

ciò porta ad identificare le probabilità degli

eventi A e B con le loro frequenze relative

MISURA DI PROBABILITÀ = funzione definita su una data famiglia di sottoinsiemi di Ω che soddisfa le seguenti proprietà

stabilisce che la probabilità non è negativa

• P(A) > 0, per ogni evento A

• P(Ω) = 1 assegna probabilità 1 all'evento certo che un qualsiasi evento elementare si verifichi

asserisce che la probabilità che uno di essi

• P(A A …) = P(A ) + P(A ) + …, per ogni sequenza di eventi disgiunti

1 2 1 2

∪ ∪ si realizzi è pari alla somma delle loro

probabilità

questi 3 assiomi costituiscono i fondamenti della teoria della probabilità e

sono conosciuti come ASSIOMI DELLA PROBABILITÀ di Kolmogorov

da questi assiomi si possono derivare ulteriori proprietà

• P(o) = 0

/

• P(A) < 1, per ogni evento A

- regola dell’evento complementare

• P(A) = 1 - P(A), per ogni evento A regola della somma

• P(A A ) = P(A ) + P(A ) - P(A A ), dove A1 e A2 sono eventi arbitrari

1 2 1 2 1 2

∪ ∩

interpretazione CLASSICA = probabilità dell'evento A è il rapporto tra il numero di casi favorevoli al verificarsi di A e

(Pierre-Simon Laplace) il numero totale di casi possibili, purché siano equiprobabili

2 limiti: soffre di circolarità ed è applicabile solo quando gli eventi elementari sono equiprobabili

interpretazione FREQUENTISTA = se si ripete un esperimento un gran numero di volte nelle

legge empirica del caso stesse condizioni, ciascuno dei possibili eventi si verificherà con

una frequenza relativa approssimativamente uguale alla sua

probabilità

problema = richiede che l'esperimento sia ripetibile, quindi non copre il campo degli eventi

non ripetibili la cui incertezza può essere comunque espressa in termini probabilistici individui diversi con la stessa o

interpretazione SOGGETTIVA = probabilità di un evento è il grado di convinzione diversa quantità di informazioni

che un individuo ha nel verificarsi di un evento possono arrivare a probabilità

differenti per il medesimo evento

* famiglia di eventi sui quali è definita la funzione P(•) può essere molto ampia processo di assegnazione delle probabilità

anche per uno spazio campionario che contiene un numero moderato di punti agli eventi è semplificato quando lo spazio

campionario è discreto

QUI è sufficiente assegnare una probabilità ad ogni evento elementare

spazio campionario continuo = assegnazione della probabilità P(•) va fatta prendendo in

considerazione famiglie di intervalli (impossibile assegnare probabilità ai singoli punti)

problema con riferimento a spazi campionari composti da un numero finito = probabilità di un qualsiasi evento A si ottiene

N di eventi elementari, nel caso in cui le probabilità di questi sono note sommando le probabilità degli eventi elementari

che appartengono ad A

Σ

P(A) = P(ω )

i

A

quando gli eventi elementari sono equiprobabili, diventa

P(A) = N / N,

A

dove N è il numero di eventi elementari contenuti in A

A

ESEMPI: soluzione

soluzione

soluzione soluzione

dati due eventi A e B di Ω, interessa la probabilità di B supponendo che A si sia già verificato

indicata con P(B|A) ed è chiamata

es. lancio di una moneta = probabilità dell'evento "croce nel 1º lancio" (evento B), PROBABILITÀ CONDIZIONATA

ammesso che si sia verificato l'evento "almeno 2 volte testa" (evento A)

se A e B sono 2 eventi dello spazio campionario Ω e P(A B)

∩

P(B|A) =

P(A) > 0, la probabilità condizionata di B dato A è P(A)

ESEMPI: soluzione soluzione nota come REGOLA DEL PRODOTTO

la probabilità dell'evento (A B) può essere scritto come P(A B) = P(B|A)P(A)

∩ ∩

scambiando i ruoli di A e B, si può scrivere P(A B) = P(A|B)P(B)

∩

* può essere generalizzata al caso di k eventi

ESEMPIO: soluzione

12 6

.

. due eventi A e B si dicono INDIPENDENTI se

concetto molto importante = indipendenza tra eventi D P(A B) = P(A)P(B)

∩

dati 2 eventi A e B, con P(A)>0 e P(B)>0, queste condizioni sono equivalenti:

a. P(A B) = P(A)P(B)

∩ ciò mostra come la relazione di indipendenza tra due eventi sia simmetrica

b. P(B|A) = P(B) D

c. P(A|B) = P(A)

* la condizione b. stabilisce che, se A e B sono indipendenti, la probabilità di B non

viene alterata dall'informazione che l'evento A si è verificato

* la condizione c. indica che, se A e B sono indipendenti, la probabilità di A non

viene alterata dall'informazione che l'evento B si è verificato

ESEMPI: soluzione

c

·

on

soluzione ⑭

la definizione di indipendenza può essere estesa al caso di tre o più eventi

tre eventi A, B e C sono indipendenti se sono soddisfatte le seguenti condizioni

P(B C) = P(B)P(C)

P(A B) = P(A)P(B) ∩

∩ P(A B C) = P(A)P(B)P(C)

P(A C) = P(A)P(C) ∩ ∩

∩

12 F

. .

si hanno due urne:

• la prima, U , contenente 4 palline bianche e 6 nere estrazione a sorte di un'urna e poi di una

1 D

• la seconda, U , contenente 3 palline bianche e 5 nere pallina dall'urna selezionata

2

se la pallina estratta sia di colore bianco, qual è la probabilità che provenga dall'urna U1,

se le due urne hanno la stessa probabilità di essere selezionate?

quando un evento A può essere visto come il risultato ("effetto") di uno tra k possibili eventi

problemi così si verificano

("cause"), C , C , ..., C , che costituiscono una partizione dello spazio campionario

1 2 k

considerando la partizione dello spazio campionario Ω formata dai k eventi C , C , ..., C

1 2 k

allora la probabilità di C , ammesso che A si sia verificato, è data da

i nota come

P(C )P(A|C )

i i

P(C |A) =

i FORMULA DI BAYES

D

k

Σ P(C )P(A|C )

j j

1

=

j

* P(C |A) = probabilità a posteriori ; P(C ) = probabilità a priori della causa C

i i i

ESEMPI: soluzione soluzione

soluzione

VARIABILE CASUALE = quantità il cui valore dipende dall'esito di un esperimento casuale

detta anche variabile aleatoria o variabile stocastica

es. esperimento del triplo lancio di una moneta

si può creare una variabile casuale assegnando a ogni

esito dell'esperimento il numero di volte che appare testa

es. esperimento del lancio di 2 dadi

si associ a ogni esito la somma dei numeri sulle facce superiori

con l'introduzione della

dato lo spazio campionario Ω di un esperimento casuale, una variabile casuale X(ω) è una variabile casuale X si opera la

funzione definita su Ω che associa un numero reale x ad ogni evento elementare ω di Ω trasformazione degli eventi

elementari di Ω in punti

dell'asse reale

numero finito di valori

variabile casuale X è detta DISCRETA se può assumere infinità numerabile di valori

indicato con x uno specifico valore della variabile casuale X, la probabilità da assegnare a

questo valore è data dalla probabili