Probabilità

Probabilità

Capitolo 12, 12.1. La nascita risale alla metà del XVII secolo.

Probabilità = insieme dei criteri con cui si misura la possibilità che un evento incerto si manifesti. D = carteggio tra Pascal e Fermat, dove analizzavano dei giochi d'azzardo.

Esperimento casuale = operazione/attività che si esegue più volte e il cui risultato ad ogni replica è incerto.

Es. lancio moneta o estrazione pallina da un’urna.

D caratteristica importante: esperimenti possono essere ripetuti nelle stesse condizioni. Ciò consente di costruire modelli matematici che descrivono il comportamento di eventi casuali associati alla ripetizione dell'esperimento.

Si ha un insieme di dati che:

• Sono ottenuti effettivamente replicando più volte un esperimento casuale.
• Sotto certe condizioni, sono equiparabili.

Sono generati da un meccanismo casuale.

Esperimento deterministico ed esperimento casuale

12.2. Esperimento = attività che può essere condotta e ripetuta in condizioni controllate per studiare un fenomeno di interesse.

Esperimento deterministico se produce un unico prevedibile risultato: ciascuna replica dell'esperimento darà luogo allo stesso risultato. D = se l’acqua viene portata a 100º l'unico risultato è che bollirà. J

Esperimento casuale se gli esiti non possono essere previsti con certezza. La singola esecuzione di un esperimento casuale è detta prova.

= lancio di una moneta. D

I possibili esiti sono noti e specificabili prima che l'esperimento venga eseguito. Singolo evento detto evento elementare ed è indicato con ω.

Insieme di tutti gli eventi elementari è detto spazio campionario ed è indicato con Ω.

Lo spazio campionario può essere costruito con l'ausilio di un diagramma chiamato albero degli eventi.

Esempi: soluzione soluzione soluzione soluzione.

Lo spazio campionario può contenere un numero finito, un’infinità numerabile e un'infinità non numerabile di eventi elementari = detti continui = detti discreti.

Spazio campionario è sempre riducibile a un insieme di punti, ognuno dei quali rappresenta un evento elementare.

Evento e diagramma di Venn

Semplice se è costituito da un singolo evento elementare.

Evento = sottoinsieme dello spazio campionario Ω; composto se è costituito da due o più eventi elementari. Si realizza se si manifesta uno degli eventi elementari che lo compongono.

Esempi: eventi di maggiore interesse = quelli composti, i cui eventi elementari condividono qualche proprietà comune.

Data la corrispondenza tra eventi e insieme di punti, lo studio delle relazioni tra eventi è riconducibile allo studio delle relazioni tra insiemi.

Illustrazione utile per descrivere gli insiemi e per mostrarne le relazioni reciproche è il diagramma di Venn = diagramma che rappresenta insieme con punti contenuti in un cerchio, rettangolo o altra figura geometrica piana.

• Spazio campionario = rappresentato con un rettangolo.
• Generico evento = rappresentato con un cerchio o un’ellisse nel rettangolo.

Siano A e B 2 eventi arbitrari dello spazio campionario Ω.

(a) Evento unione di A e B, indicato con A ∪ B = formato da tutti gli eventi elementari che appartengono ad A, a B o ad entrambi.

(b) Evento intersezione di A e B, indicato con A ∩ B = formato da tutti gli eventi elementari che appartengono sia ad A che a B. I due eventi si dicono disgiunti o incompatibili se non hanno alcun evento elementare in comune, cioè se A ∩ B = 0, detto anche evento impossibile.

(c) Evento complementare di A, indicato con A = formato da tutti gli eventi elementari di Ω che non appartengono ad A.

Esempio: soluzione.

Le operazioni di unione e intersezione possono essere estese a più di 2 eventi.

Siano A₁, A₂, …, A_k eventi definiti sullo spazio campionario Ω.

• La loro unione, indicata con A₁ ∪ A₂ ∪ … ∪ A_k, è data dall'insieme degli eventi elementari che appartengono ad almeno uno di essi.
• La loro intersezione, indicata con A₁ ∩ A₂ ∩ … ∩ A_k, è data dall'insieme degli eventi elementari che appartengono a tutti gli A_i.

Gli eventi A₁, A₂, …, A_k costituiscono una partizione dello spazio campionario Ω se sono soddisfatte le tre condizioni:

• A_i = o/ /1.
• A_i ∩ A_j = o con i = j//.
• A₁ ∪ A₂ ∪ … ∪ A_k = Ω.

Misura di probabilità e assiomi

Funzione P(•) assegna una probabilità a ogni elemento di una famiglia di sottoinsiemi di Ω.

Queste sono erratiche per piccoli valori di n e tendono a stabilizzarsi intorno a dei valori costanti, p_A e p_B, al crescere di n.

Dominio = è costituito da una collezione di insiemi.

Ciò porta ad identificare le probabilità degli eventi A e B con le loro frequenze relative.

Misura di probabilità = funzione definita su una data famiglia di sottoinsiemi di Ω che soddisfa le seguenti proprietà.

• P(A) > 0, per ogni evento A: stabilisce che la probabilità non è negativa.
• P(Ω) = 1: assegna probabilità 1 all'evento certo che un qualsiasi evento elementare si verifichi.
• P(A₁ ∪ A₂ ∪ …) = P(A₁) + P(A₂) + …, per ogni sequenza di eventi disgiunti: asserisce che la probabilità che uno di essi si realizzi è pari alla somma delle loro probabilità.

Questi 3 assiomi costituiscono i fondamenti della teoria della probabilità e sono conosciuti come assiomi della probabilità di Kolmogorov.

Da questi assiomi si possono derivare ulteriori proprietà:

• P(o) = 0/.
• P(A) < 1, per ogni evento A.
• Regola dell’evento complementare: P(A) = 1 - P(A), per ogni evento A.
• Regola della somma: P(A₁ ∪ A₂) = P(A₁) + P(A₂) - P(A₁ ∩ A₂), dove A1 e A2 sono eventi arbitrari.

Interpretazioni della probabilità

Interpretazione classica = probabilità dell'evento A è il rapporto tra il numero di casi favorevoli al verificarsi di A e il numero totale di casi possibili, purché siano equiprobabili. Pierre-Simon Laplace.

2 limiti: soffre di circolarità ed è applicabile solo quando gli eventi elementari sono equiprobabili.

Interpretazione frequentista = se si ripete un esperimento un gran numero di volte nelle stesse condizioni, ciascuno dei possibili eventi si verificherà con una frequenza relativa approssimativamente uguale alla sua probabilità. Legge empirica del caso.

Problema = richiede che l'esperimento sia ripetibile, quindi non copre il campo degli eventi non ripetibili la cui incertezza può essere comunque espressa in termini probabilistici.

Interpretazione soggettiva = probabilità di un evento è il grado di convinzione che un individuo ha nel verificarsi di un evento. Individui diversi con la stessa o diversa quantità di informazioni possono arrivare a probabilità differenti per il medesimo evento.

Famiglia di eventi sui quali è definita la funzione P(•) può essere molto ampia, anche per uno spazio campionario che contiene un numero moderato di punti. Processo di assegnazione delle probabilità agli eventi è semplificato quando lo spazio campionario è discreto.

Qui è sufficiente assegnare una probabilità ad ogni evento elementare.

Spazio campionario continuo = assegnazione della probabilità P(•) va fatta prendendo in considerazione famiglie di intervalli, impossibile assegnare probabilità ai singoli punti.

Problema con riferimento a spazi campionari composti da un numero finito = probabilità di un qualsiasi evento A si ottiene, N di eventi elementari, nel caso in cui le probabilità di questi sono note, sommando le probabilità degli eventi elementari che appartengono ad A.

Σ P(A) = P(ω_i) A.

Quando gli eventi elementari sono equiprobabili, diventa P(A) = N_A / N, dove N_A è il numero di eventi elementari contenuti in A.

Esempi: soluzione soluzione soluzione soluzione.

Probabilità condizionata e regola del prodotto

Dati due eventi A e B di Ω, interessa la probabilità di B supponendo che A si sia già verificato.

Indicata con P(B|A) ed è chiamata probabilità condizionata.

Es. lancio di una moneta = probabilità dell'evento "croce nel 1º lancio" (evento B), ammesso che si sia verificato l'evento "almeno 2 volte testa" (evento A).

Se A e B sono 2 eventi dello spazio campionario Ω e P(A) > 0, la probabilità condizionata di B dato A è P(B|A) = P(A ∩ B) / P(A).

Esempi: soluzione soluzione.

Nota come regola del prodotto: la probabilità dell'evento (A ∩ B) può essere scritto come P(A ∩ B) = P(B|A)P(A).

Scambiando i ruoli di A e B, si può scrivere P(A ∩ B) = P(A|B)P(B).

Può essere generalizzata al caso di k eventi.

Esempio: soluzione.

Indipendenza tra eventi

12.6. Due eventi A e B si dicono indipendenti se P(A ∩ B) = P(A)P(B).

Concetto molto importante = indipendenza tra eventi. D

Dati 2 eventi A e B, con P(A) > 0 e P(B) > 0, queste condizioni sono equivalenti:

• P(A ∩ B) = P(A)P(B).
• P(B|A) = P(B). D ciò mostra come la relazione di indipendenza tra due eventi sia simmetrica.
• P(A|B) = P(A).

La condizione b. stabilisce che, se A e B sono indipendenti, la probabilità di B non viene alterata dall'informazione che l'evento A si è verificato.

La condizione c. indica che, se A e B sono indipendenti, la probabilità di A non viene alterata dall'informazione che l'evento B si è verificato.

Esempi: soluzione c·on soluzione ⑭.

La definizione di indipendenza può essere estesa al caso di tre o più eventi.

Tre eventi A, B e C sono indipendenti se sono soddisfatte le seguenti condizioni:

• P(B ∩ C) = P(B)P(C).
• P(A ∩ B) = P(A)P(B).
• P(A ∩ B ∩ C) = P(A)P(B)P(C).
• P(A ∩ C) = P(A)P(C).

Formula di Bayes

12 F. Si hanno due urne:

• La prima, U₁, contenente 4 palline bianche e 6 nere.
• La seconda, U₂, contenente 3 palline bianche e 5 nere.

Estrazione a sorte di un'urna e poi di una pallina dall'urna selezionata. D

Se la pallina estratta sia di colore bianco, qual è la probabilità che provenga dall'urna U1, se le due urne hanno la stessa probabilità di essere selezionate?

Problemi così si verificano quando un evento A può essere visto come il risultato ("effetto") di uno tra k possibili eventi ("cause"), C₁, C₂, ..., C_k, che costituiscono una partizione dello spazio campionario.

Considerando la partizione dello spazio campionario Ω formata dai k eventi C₁, C₂, ..., C_k, allora la probabilità di C_i, ammesso che A si sia verificato, è data da, nota come formula di Bayes.

P(C_i|A) = P(C_i)P(A|C_i) / Σ_j=1^k P(C_j)P(A|C_j). D

P(C_i|A) = probabilità a posteriori; P(C_i) = probabilità a priori della causa C_i.

Esempi: soluzione soluzione soluzione.

Variabile casuale

Variabile casuale = quantità il cui valore dipende dall'esito di un esperimento casuale.

Detta anche variabile aleatoria o variabile stocastica.

Es. esperimento del triplo lancio di una moneta: si può creare una variabile casuale assegnando a ogni esito dell'esperimento il numero di volte che appare testa.

Es. esperimento del lancio di 2 dadi: si associ a ogni esito la somma dei numeri sulle facce superiori.

Dato lo spazio campionario Ω di un esperimento casuale, una variabile casuale X(ω) è una funzione definita su Ω che associa un numero reale x ad ogni evento elementare ω di Ω.

Con l'introduzione della variabile casuale X si opera la trasformazione degli eventi elementari di Ω in punti dell'asse reale.

Variabile casuale X è detta discreta se può assumere numero finito di valori o infinità numerabile di valori.

Indicato con x uno specifico valore della variabile casuale X, la probabilità da assegnare a questo valore è data dalla probabili.